《数学物理方法》第6章 勒让德函数

1、第二篇 特殊函数与狄拉克d函数,本篇介绍 勒让德(Legendre)函数， 贝塞尔( Bessel )函数; 狄拉克(Dirac) d函数的来源、定义和性质,第6章 勒让德函数,本章首先求出勒让德方程和关联勒让德方程的有界解(称为相应方程的本征函数)，进而给出它们的微分表达式，积分表达式，母函数，递推公式，正交性、正交归一关系式与完备性等,6.1 勒让德方程与勒让德多项式,本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程的级数解法，随后求出勒让德方程的通解，舍去不符合有界性条件的特解，最后规定最高次幂项系数，即得勒让德多项式,4,6.1.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法,二阶线性齐次常微分方程的标准形式

2、是 式中w(z)是待求的复变函数; p(z)和q(z)是已知的复变函数，称为方程的系数 一般来说，方程在复平面的不同区域的解可以有不同的形式通常的问题是：求方程在某点z0的邻域内满足一定条件如初始条件w(z0) = C0 , w(z0) = C1 的解,5,级数解法对方程没有特殊的要求它的基本方法是：把方程的解表示为以z0为中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数代入方程及定解条件，求出所有待定系数即可 方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z)及q(z)的解析性决定,6,常点、正则奇点、非正则奇点,如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方程的常点； 如果z0最多是：)p(

3、z)的一阶极点，)q(z) 的二阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： )或)= )和) 如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程配非正则奇点。,7,定理1,在常点z0的邻域|z- z0|R内，方程(6. 1. 1)有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 , w(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2),8,定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|R内，方程的解为,C00 ， D00。 r1和r2称为方程的指标方程,9,指标方程的确定：将,代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个根就是r1和r2(取r1r2) w2(z) 含或不含

4、对数项，取决 r1和r2是否为零与整数；系数a是否为零而定,10,定理1和定理2的证明见有关专著,本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线性齐次常微分方程的级数解法 第6章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解)， 第7章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域内求解) 若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表示，函数可用y表示，即方程(6. 11)可改写为 y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)0 (6. 1. 5),11,6.1.2 勒让德方程的本征值问题,二阶线性齐次常微分方程 (1-x2)y(x)-2xy(x)-l(l+1)y(x)0 -1 x 1 (6.1.6) 称为勒让德方程 方程中的 l(l+

5、1)=l 是待定参数 y(x)是待求函数,12,在x=0的邻域求勒让德方程的有界解,在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称为勒让德方程的本征值问题方程中的参数l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征函数 理论和实例都可以证明(见11.4节)，不是l 取任何值时方程都有非零解 因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归结为求解本征值l = l(l+1) 与本征函数y(x).,13,1. 级数解的形式,可见，x=0是方程的常点方程的解具有形式,为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x)分别延拓为 但为叙述与书写方便，仍采用xz的记号

6、,14,(1-x2)y“(x)-2xy(x)-l(l+1)y(x)0 得：,将 代入勒让德方程,将 代入勒让德方程,(6.1.8),将 代入勒让德方程,15,16,17,2. 系数递推公式,由此得系数递推公式,23,24,6.1.9,18,3. 由递推公式求系数，得通解,19,勒让德方程的通解可表示为,它们是勒让德方程的两个线性无关的特解,20,4. 有界解的要求，自然边界条件,现在以y0(x)为例，求级数的收敛半径 令u=x2，则 级数Y0(u)相邻两项的系数分别为Cn和Cn-2由式(6. 1. 10)可得,21,这表明，在x=1处，两级数是发散的,22,物理量总是有界的,因此，在求解勒让德

7、方程时，要求解在x=1有界，并把“解在x=1有界”的条件称为勒让德方程的自然边界条件 为了得到在闭区间-1,1内有界的解，必须研究在什么条件下，这两个无穷级数才能中断为多项式.,23,5. 本征值与本征函数,从系数递推公式(6.1.9), 若l为偶数：l =2n(n为正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止将k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为 重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl 根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为,(6.1.16),24,同理，若l为

8、奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级数y1(x)到x2n+1项为止将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为 重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, 均为零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl 类似地，取常数C0=0，则勒让德方程的解为,25,因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德方程的解都中断为 l 次的多项式(6.1. 16)或式(6. 1.17)，因而在x=1保持有界这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2, 本征函数y(x)如式(6.1.16)或式(6.1.17)所示,26,6.1.3 勒让德多项式,勒让德方程是线性齐次方程

9、，将式(6. 1.16)，式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数 (1-2xt+t2)-1/2 的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl为 再利用系数递推公式(6. 1.9)求出低次幂项的系数,得到的多项式称为勒让德多项式，记作Pl(x),27,将式(6. 1.9)以Ck表示Ck+2改为以Ck+2表示Ck,28,29,为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在1.1节已用过的简写记号,(6.1.20),30,s = 0对应最高次幂 x = l,而s= l/2 对应最低次幂：若 l 为偶数,对应 x 零次幂；若 l 为奇数，则对应于 x 壹次幂。由式(6.

10、1.20)可求出头几个勒让德多项式：,31,勒让德多项式的函数曲线如图6. 1所示,32,由式(6. 1.20)可以直接得到关于Pl(x)的奇偶性及若干特殊值：,(1) 奇偶性 Pl(-x) (-1)l Pl(x) (6.1.22) 这直接用-x替代式(6. 1.20)中的x，利用 (-x)l-2s =(-1)l (-x)l-2s 可得,33,(2) Pl(0)的特殊值,鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用，人们常利用它的微分表达式和积分表达式,34,作业- 6.1 第128页,6.2 勒让德多项式的微分与积分表达式母函数与递推公式,勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigu

11、es)公式; 母函数; 积分表达式施列夫利公式和拉普拉斯积分 递推公式,36,6.2.1 勒让德多项式的微分表达式罗德里格斯公式,证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明二项式展开定理为,37,对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到,为何求和指标的最大值为l/2，因为对于指数(2l-2s)l的项，在求l 阶导数后均为零，故：只含(2l-2s)l的项，即：s l/2的项这样当 l为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2为最大值。用简写符号表示就是 l/2,38,在等式右边的分子分母中同乘以(l-2s)！，有,罗德里格斯公式得证,39,6.2.2 勒让德多项式的母函数,若函数w

12、(x,t)的泰勒级数为 则w(x,t)称为Pl(x)的母函数(或生成函数) 勒让德多项式的母函数为 式中规定多值函数的单值分支为.,40,将x看作参数,w(x,t)作为t的函数在|t|1解析今在|t|1 的圆内将它展开为泰勒级数，可证明展开系数为,奇点 的|t12|1,证明 (1)在|t|1内，将w(x,t)展开为泰勒级数 其中al为泰勒系数, C为在|t|1内包围t=0点的回路,41,(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数),42,43,代入al ，便有,其中u平面的曲线C是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线C的像当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在曲线C的

13、内部，因此u=x在曲线C的内部 (3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分 (6.2.8) 最后的等式是罗德里格斯公式将式(6.2.8)代入泰勒级数，即得式(6.2.4).,44,6.2.3 勒让德多项式的积分表达式,勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为施列夫利(Schlfli)公式和拉普拉斯积分 1.施列夫利公式 将al Pl(x)代入式(6.2.7)，即施列夫利公式 式中u=x在曲线C的内部 2.拉普拉斯积分,45,拉普拉斯积分证明,在施列夫利公式中，取u平面的回路C为以x为圆心 ， 为半径的圆周，则,46,将以上各式代人施列夫利公式，即得拉普拉斯积分,47,【例6.2.1】试由拉

14、普拉斯积分证明勒让德多项式的特殊值,Pl(1) =1, Pl(-1) = (-1)l 6.2.11) 解 分别将x =1代入拉普拉斯积分，得,48,【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|1 (6.2.12),证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用复变积分的性质5，便有,49,6.2.4 勒让德多项式的递推公式,在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):,50,递推公式的证明方法：(1)母函数关系式为,对t求导得,两边乘以(1-2xt+t2)，再将母函数关系式代入左边，即有,两边比较 t l 的系数(l1)，即得式(6.2.13),51,52,(2)由母函数关系

15、式(6.2.18)两边对x求导，再与式(6.2.19)联立，可得比较等式两边t l的系数，即得式(6.2.14),53,54,其他证明方法？,55,56,作业- 6.2 第132页,6.3 勒让德多项式的 正交性与完备性,在介绍“正交性”含义的基础上，证明勒让德多项式的正交性； 计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多项式的正交归一关系式； 在介绍“完备性”含义的基础上，给出以Pl(x)为基将函数f (x)展开为广义傅里叶级数的条件，以及计算广义傅里叶系数的公式,58,6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式,1“正交性”与“正交归一关系式”浅析 (1)、三维欧几里得(Euclid)空间

16、三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或 ek (k，n1，2，3)表示，则有,因为e1e2(即ij)，故有e1e2 =0 ，式(6.3.1)表明e1与e2互相垂直，即正交 又因ele1=e2e2=e3e3=1,表明它们自身通过点积“”的运算等于1,称为归一,公式(6.3. 1)称为基矢系ek的正交归一关系式,59,(2) 函数空间(以三角函数为例),利用积化和差公式容易证明,(6.3.2),(6.3.3),的正交归一关系式,60,解 利用el 点乘第一式得,61,其实，不用这样麻烦：只要比较等式两边 ek 或cos(kpx/l)的系数就可。它的根据就是上面介绍的正交归一关系式,62,

17、2. 勒让德多项式的正交性,Pl(x)及Pk(x)分别是方程l 阶及k 阶方程的特解,证明 改写勒让德方程 (6.1.6) (1-x2)y“(x)-2xy(x)-l(l+1)y(x)0,63,用Pk(x)乘以第一式、 Pl(x)乘以第二式后相减，然后再对x作定积分，即有,64,对前两项作分部积分：,kl，故式中方括号不为零，即得(6.3.4)式,65,3. 勒让德多项式的模,矢量A的模定义为 如果将矢量的点积“” 换为 积分区间为Pl(x)的定义域，即得Pl(x)的模的定义 可证明,66,证明 思路 用两种方式计算母函数平方在-1,1区间上对x的积分，然后进行比较,(1)、利用勒让德多项式的正

18、交性(只有k=l 时积分才不为零)可得,(2)、利用展开式,(见例3.3.6-P64),67,将式(6.3.6)与式(6.3.7)联立，得,因为式(6.3.8)在|t|1区域内点点成立，可知t的同次幂项系数必须相等，即,68,由此得勒让德多项式的模,69,4.勒让德多项式的正交归一关系式,综合式(6.3.4)和式(6.3.9)，得,70,6.3.2 勒让德多项式的完备性,1. “完备性”浅析 (1)、三维欧几里得空间 三维欧氏空间中e1,e2,e3构成一个完备系，是指不存在任何矢量与e1,e2,e3都正交； 三维空间的任一矢量A均可用 ek (k=1,2,3)展开为 二维空间中el与e2构一个

19、完备系，是指在二维空间中不存在任何矢量与 el , e2都正交因而二维空间的任一矢量B均可用ek (k=1,2)展开为,71,那么，在三维空间中el与e2是否构成完备系呢？ 在三维空间中可以找到e3 ，与el , e2都正交 因此，三维空间的任意矢量不能用el , e2来展开，如 可见，在三维空间中el与e2就不构成完备系(缺了一个基矢，不完备了),72,(2)函数空间(以三角函数为例),三角函数系 也构成一个完备系,高等数学已证明，在-11内，若f(x)满足连续或只有第一类间断点(指f(x)在该点的跃度有限)，在区间内仅有有限个极大及极小值，则可展开为傅里叶级数,(6.3. 15),73,这

20、表明，三角函数系(6.1.15)的每一个函数 可以看作函数空间的“基矢”，满足一定条件的函数f(x)可以用这个函数系作为基来展开，这显示了函数系(6.3. 15)的完备性,74,2.勒让德多项式Pl(x)的完备性,若函数 f(x)在-1,1上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则f(x)在-1,1上可以展开为绝对且一致收敛的级数,称为广义傅里叶级数。 Pl(x)可以作为广来傅里叶级数展开的基，表明Pl(x)是完备的。,75,用Pk(x)乘以(6.3.17)式两端后，对x从-1到1积分，并利用正交归一关系式(6.3.12)，可得 将上式两端的 k用l 表示，即有,(6.3.19),(6.3.1

21、8),76,【例6.3.2】试将f(x)=x3展开为广义傅里叶级数,解 由于Pl(x)是l 次多项式， f(x)=x3是奇函数，最高次幂为三次，故 f(x)可按P1(x)及P3(x)展开为广义傅里叶级数。 本题可采用如下三个方法：,77,(方法一),按式(6.3.19)求展开系数后代入式(6.3.17),78,(方法二),由式(6.3.17)两边x的同次幂项系数相等求展开系数将P1(x)及P3(x)代入 由此得与方法一相同的结果,79,（方法三）利用习题6.3.1的结论,代入式(6.3.19)计算，亦得相同的结果,80,作业- 6.3 第138页,6.4 关联勒让德方程与 关联勒让德函数,本节

22、首先求出关联勒让德方程的有界解(关联勒让德函数)及其微分表达式随后计算关联勒让德函数的模，并给出它的正交归一关系式，接着介绍它的四个基本递推公式最后，以关联勒让德函数为基将满足一定条件的函数展开为广义傅里叶级数，并给出广义傅里叶系数的计算公式,82,6.4.1 关联勒让德方程的有界解,二阶线性齐次常微分方程,称为关联勒让德方程 现在，尝试用级数解法在x=1的邻域求解关联勒让德方程由于x=1是,83,故x =1是关联勒让德方程的正则奇点,在正则奇点x =1的邻域内，方程的解具有式(6.1.3)，式(6.1.4)给出的形式。 令,代入方程 (6.4. 1)，由(x1)的最低次幂项系数和为零得到指标

23、方程为4r2-m2= 0. 从而求得方程的指标r = m/2。但进一步将指标代入求系数时，却发现系数递推公式中出现三个待定系数，求解比较复杂,84,可见直接采用级数法求解关联勒让德方程并非好方法有没有其他捷径呢？ 考虑到m=0时，关联勒让德方程就简化为勒让德方程这样，通过这两个方程的联系应当可以找到这两个方程的解的联系,85,现在分别讨论m0及m0的情形：,(1) m0的情形 因为Pl(x)是勒让德方程的解，故有,(6.4.2) 将上式对x求m阶导数，,86,利用莱布尼茨公式,这就是 所满足的方程,计算式(6.4.3)的第一项与第二项(见本节习题)后，方程(6.4.3)可写成(6.4.4),8

24、7,前面尝试用级数法在x=1求解关联勒让德方程时，已求得方程的指标r1 = m/2自然猜想关联勒让德方程的解具有,的形式将式(6.4.5)代入式(6.4.1)，考查当y(x)满足关联勒让德方程时， w(x) 应满足什么方程结果得到 (6.4.6),88,比较式(6.4.4)与式(6.4.6)，,发现w(x)与P(m)(x)满足相同的方程将 w(x)=P(m)(x)代入式(6.4.5)，便得到关联勒让德方程的一个特解,89,(2) m0的情形,将m=-|m|代入关联勒让德方程，得 (6.4.8) 方程(6.4.8)与方程(6.4. 1)的差别仅是用|m|代替方程(6.4.1)中的m,故在(6.4.7)中用|m| 代替m即可得到式(6.4.8)的特解,(6.4.9),90,(3) 综合m0及m0的特解，便得到关联勒让德方程的特解,(6.4.10) Pl(x)是一个l 次多项式，易见这个解在区间-1,1是有界的所以式(6.4.10)就是满足关联勒让德方程和自然边界条件的特解,(6.4.10),91,讨论,第一，因为P(m)(x)含有 因子，是一个多值函数，支点为1和。为了得到单值分支，可以沿实轴作从-1到1再到的割线，并规定割线上