现代大气科学统计方法课件：第六章 气候序列的周期分析

1、第六章 气候序列的周期分析,一、谱的概念：对任一以T为周期的时间函数x(t),在满足狄氏条件下（绝对可积），可以展成如下的傅立叶级数， 令 其中ak，bk可由下列公式算出，,6.1 功率谱,求ak的过程，方程两边同乘 ，即任一k0对应的。则当kk0时，,例：求a1 方程两边乘 ，两边积分 实际计算时，将积分用求和近似代替，得到计算ak、bk的公式,则 令 则 其中 振幅谱： 位相谱：,二、功率谱的概念,若电阻为一个单位，瞬时电压用x(t)表示，则瞬时功率为x2(t)，它的总能量为 从统计学上，上式表示数学期望为0的方差。 1、离散功率谱 设,对数学期望为零的序列，a0=0, c0=a0=0,

2、则 称Sk2为离散功率谱。又称能谱密度。,2、连续功率谱,三、功率谱的估计,1、离散功率谱估计,例：,1）分别对不同的k，算F(k)； 2）给定显著水平，=0.05，F=3.59（n=20）， 若k=1时，F=3.6，则FF，显著； 对不同的k对应F值都做比较。,2、连续功率谱估计,检验：,根据自相关系数，r(1)，r(2)，r(3)确定检验谱，如果 r(1)，r(2)0或变为负，则用白噪音谱，如果r(2)r(1)2，r(3)r(1)3则用红噪音。看序列是否有较好的持续性。 1）原序列的功率谱可估计出； 2）估算出白噪音谱/红噪音谱的95%置信限上界； 3）比较1）和2）中数值大小，如果1）中

3、数值2）中数值，则周期显著。 P65 例6.1,6.2 窗口傅立叶变换,从物理直观上看，一个周期振动可以看成是具有简单频率的简谐振动的叠加，Fourier级数展开则是这一物理过程的数学描述。 重要性：域变换，把时间域和频率域联系起来，在时间域内难以观察的现象和规律，在频率域中往往能十分清楚地显示出来。 频谱分析本质上就是对F()的加工、分析和滤波等处理。,问题：,1、傅立叶变换的缺点？为什么会有这样的缺点？ 地球物理过程通常是非平稳的，人们希望知道信号在突变时刻所对应的频率成分，而傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。 频谱F()的任一频点值是由时间过程f(t)在整个时间域（-，）上

4、的贡献决定的；反之，过程f(t)在某一时刻的状态也是由频谱F()在整个频率域（-，）上的贡献来决定的。,例,由sin10t和sin20t构成的两个信号 准两年振荡和准四年振荡构成的两组气象要素变化序列 分别针对这两种情况，气候预测将完全不同，因此要想办法区分这两种情况。,问题,2、如何区分刚才的情况？ 加窗傅立叶变换,问题：,3、什么是加窗傅立叶变换？ 在Fourier变换的框架中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时间域上加窗来实现的，并且通过一个参数的平移来覆盖整个时间域。 采用一个窗函数g(t-)对信号f(t)的乘积运算实现在附近的开窗和平移，再进行Fourie

5、r变换，即加窗Fourier变换（WFT ），也称短时Fourier变换（STFT）。,问题：,4、窗口函数有何特点？加窗后的信号有何特点？ 窗口函数的宽度非常有限，在某一指定宽度内窗口函数的值不为零，在指定宽度外，窗口函数的值迅速衰减为0，故对信号加窗后，只在窗口函数不为零的信号可以显现出来，而在指定宽度以外的信号则不能显现。 该指定宽度称为窗口宽度或支撑区。,问题：,5、与传统Fourier变换相比，加窗Fourier变换有何优点？ 可以提取局部信息,窗口Fourier变换是能量守恒的变换 例,问题：,6、加窗Fourier变换的缺点? 不具有自适应性 实际的信号过程是很复杂的，无论是单一

6、的还是多分量的信号，为了提取高频分量的信息，时域窗口应尽量窄；对于慢变信号或低频成分，时域窗口应适当加宽，以保证至少包含一个周期过程。因此需要窗口宽度能根据实际信号的变化来调节，即需要窗口具有自适应性。而窗口Fourier变换的时-频窗口大小固定不变，只适合分析所有特征尺度大致相同的各种过程，不适于分析多尺度信号过程和突变过程。,6.3 小波（子波）分析,/research/wavelets/ 例：印度季风指数的子波变换,问题：,子波分析的原理及方法 与窗口Fourier变换相比，子波分析有何优点？为什么它能够克服窗口Fourier变换的缺点？ 序

7、列作子波分析之前，子波函数需作何种处理，为什么要作这种处理？ 什么是子波尺度，它如何确定？它与周期存在何种关系？ 什么是边界效应，为什么会产生边界效应？ 子波功率谱如何检验？ 什么是重构？如何利用子波变换后的结果进行重构？,提纲：,子波分析方法的原理 子波基础知识 与窗口Fourier变换的比较 子波基函数的选取 边界效应 子波尺度Fourier频率的关系 子波功率谱的显著性检验,窗口Fourier变换的平移,将窗口在整个时间区间进行滑动(平移)，即可得到在整个时间段上的窗口Fourier变换。 绘成图形则可得到横坐标为时间，纵坐标为频率（周期）的谱值二维图形。,窗口Fourier变换的缺陷：

8、,一个窗口宽度为T的函数在间距为t的整个时间序列上滑动，并进行Fourier变换，所以每一时间步的频率范围为T-1至2t-1，导致其不正确(inaccurate)和不有效(inefficient)。 不正确：来源于高频和低频分量的混淆，该混淆在整个窗口的频率范围内不会下降。 不有效：来源于在每一时间步上都必须分析T-1至2t-1的频率，而未考虑当前主要频率。,小波变换,子波变化可用来分析包含非静态功率的时间序列在不同频率的谱值。 给定时间序列xn，时间步长为t，n=0,1,N-1。 给定一个小波函数0()，它必须满足两个条件： 平均值为0， 具有时-频局部性。 例：Morlet子波 （1） 其

9、中0为无量纲频率，取为6。,序列xn的子波变换为 （2） *代表复数的共轭。 变换小波尺度s及将其在局部时间点n上进行滑动，则可得到相对于每个尺度的振幅及其振幅随时间的变化。 利用卷积定理，可将Wn写为,（4） 其中 （3） （5）,标准化,为了保证每个尺度s的子波变换及不同时间序列的子波变换之间可直接进行比较，每个尺度s的子波函数都先进行标准化，这样，它就具有单位能量： 其中 标准化后，对于每个尺度s都有 (7) 其中N为总样本数。 这样子波功率谱的大小就由Fourier系数决定，而与子波函数无关。,子波功率谱,常用子波函数()为复数，其子波变换Wn(s)也为复数，它包括实部和虚部，或用振幅

10、|Wn(s)|和位相表示。定义子波功率谱为|Wn(s)|2。对于实小波，其虚部为零。 为了方便对不同的子波功率谱进行比较，将子波功率谱进行标准化，标准化的功率谱为|Wn(s)|2/2，其中2为原序列的方差。,子波函数,子波函数的选取需注意以下几点： 正交或非正交：对于时间序列的分析，通常选取非正交函数。 复型或实型：复型子波既可以反映振幅又可以反映位相，而实型子波只反映一个分量，适用于孤立极点或不连续的变化。 宽度：时间范围窄的函数有好的时间分辨率而对频率的反映较差，但范围宽的函数时间分辨率不够高，但有好的频率分辨率。 形状：应当反映现有时间序列的特征。对于有突跃的时间序列，应当选取类似box

11、car子波，例如Harr子波；对于平滑变化的时间序列，应当选择平滑子波函数，类似余弦函数。如果主要对子波功率谱感兴趣，那么函数的选取对其影响不大。,常用子波基函数,Morlet子波：复子波 Paul子波：复子波 DOG子波：实子波 见表1,尺度的选取,其中s0为最小尺度，选取时应当使对应的傅立叶周期近似为2t； j为尺度分辨率，对Morlet子波最大取为0.5； J为尺度的个数。,影响边界,由于现有时间序列是有限的，在进行Fourier变换时需人为加入数据使时间序列长度为2的指数，故在子波变换后，在开始端和末尾端的子波功率谱会失真，将该范围称为cone of influence（COI）。 边界影响范围为e-folding time，详见表1。 在加入数据时通常选取0，因为通常是对数据标准化后才进行子波变换，可认为其平均值为0，故加入平均值。若原始数据非标准化数据，则要视具体情况而定。但是它遵循一个原则，即在子波变换前后，序列的能量守恒。,子波尺度和Fourier频率,对于每个子波尺度s，对应相应的Fourier周期。 对于Morlet子波，其关系式为 详见表1,重构,子波变换类似带通滤波