计算方法：第6章习题答案

1、第六章习题答案1.用二分法求方程在区间内的根，要求其绝对误差不超过解： 由于且当时，所以方程在区间内仅有一个实根。由解得所以需要二分7次，才能得到满足精度要求的根。取区间的中点将区间二等分，求得与同号，因此得到下一区间如此继续下去，即得计算结果。01（-）1.5（-）2（+）11.5（-）1.75（+）2（+）21.5（-）1.625（-）1.75（+）31.625（-）1.6875（-）1.75（+）41.6875（-）1.71875（-）1.75（+）51.71875（-）1.734375（+）1.75（+）61.71875（-）1.7265625（-）1.734375（+）71.7265

2、625（-）1.73046875（-）1.734375（+）计算结果如下表：。2.证明在内有一个根，使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？证明：设由于且当时，因此方程在区间内有一个根。由解得所以需要迭代14次，才能使求得的根的误差不大于。3.证明方程在内有根，使用二分法求这个根，若要求需二分区间多少等分？证明：设由于且当时，因此方程在区间内有一个根。由解得所以需二分区间19等分，才能满足4.能否用迭代法求解下列方程若不能，试将原方程改写成能用迭代法求解的形式。解： 故迭代格式收敛，可以用其来求解方程。设且可知在上存在一个根，即当时，可知不能用迭代格式来求解方程。可将方程变形为令所以迭代格式收

3、敛，可以用其来求解方程。5.为求方程在附近的一个根，设将方程改写成为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：迭代公式迭代公式迭代公式试讨论它们的收敛性。解：所以此迭代格式是收敛的。 所以此迭代格式是收敛的。 所以此迭代格式不收敛的。6.给出计算迭代格式，讨论迭代格式的收敛性并证明解：由题意可得出其迭代格式为由上式可知，当时，所以迭代格式是收敛的。由可得，解得：其中舍去。可得即解得7.用下列给定的方法求在附近的根，根的准确值为要求计算结果准确到四位有效数字。（1）用Newton法；（2）用弦截法，（3）用抛物线法，取解：用Newton法求解 将它们代入公式有， 取计算结果列于下表，并和比较得出结果，

4、012321.8888891.8794521.879385 解得用弦截法求解 取依迭代公式为进行计算。计算结果列于下表，并和比较0123421.91.8810941.8794111.879385解得用抛物线法求解 则 故 则根号前的符号为正。 迭代公式为 取计算 8.用Aitken加速迭代法求下列方程在指定区间内的根。 解：由迭代格式 则 在上因此迭代格式是收敛的。 相应于这一格式，可以得到Aitken加速迭代格式： 因此由解得同理，得 所以式的近似解为（2）为， 注：若取迭代函数，则因在上所以迭代格式不收敛。 但若用Aitken加速迭代格式 计算，结果是收敛的。9.设构造求解方程的Newto

5、n迭代格式；证明此迭代格式是线性收敛的。解：由从而有Newton迭代格式迭代格式为此外则所以此迭代格式是线性收敛的。10.设构造求解方程的Newton迭代格式；证明此迭代格式具有二阶收敛性。解：由 从而有Newton迭代格式 迭代格式为此外则所以此迭代格式具有二阶收敛性。11.用Newton迭代法求解方程在附近的一个实根，要求（准确值为）。解：由题意则 Newton迭代公式为 ， 即 取时，解得 同理，可得 因 所以用迭代法求方程所得的根为12.试导出计算的Newton迭代格式，使公式中既无开方又无除法运算。 解：令 则 由Newton迭代公式 ，有 即计算的Newton迭代格式为 。13.应用Newton迭代法于方程和分别导出求的迭代公式，并求 解：当 时故N