《物理学导论》（敬世超主编）习题解答第九章_真空中的稳恒磁场

1、第九章 真空中的稳恒磁场一、基本要求1. 知道基本磁现象，了解安培分子电流假说.2. 掌握磁感应强度的概念.3. 理解毕奥萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度.4. 理解稳恒磁场的规律：磁场高斯定理和安培环路定理，知道用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法.5. 理解安培定律和洛伦兹力公式，了解电偶极矩和磁矩的概念，能计算电偶极子在均匀电场中，简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩，能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场、纯磁场）中的受力和运动.二、重点和难点1. 重点（1）理解磁场的高斯定理和安培环路定理，理解磁场的基本性质

2、：无源有旋场.（2）掌握使用磁场叠加原理来分析磁场的分布特征，掌握计算磁场的两种基本方法.（3）知道计算载流导线或载流线圈在磁场中受到的磁力或磁力矩.（4）知道计算运动电荷或运动带电体产生的磁场，知道计算磁通量. 2. 难点（1）磁感强度的理解，磁感强度的矢量性.（2）毕奥萨伐尔定律及其应用.（3）非均匀磁场中载流导线所受磁力的计算. 平面载流线圈的磁矩.（4）平面载流线圈在非均匀磁场中的磁通量.（5）霍尔效应.三、基本内容1. 基本磁现象和安培分子电流假说基本磁现象：早期磁现象的认识：吸铁特性、磁极、同极相斥异极相吸；电流的磁效应：电流（或运动电荷）是产生磁场的场源.安培分子电流假说：安培认

3、为，任何物质的分子中都存在着等效圆形电流，该电流称为分子电流；每个分子电流相当于一个基元磁铁；物质对外显示出磁性，就是物质中的分子电流在外界作用下趋向于沿同一方向排列的结果.描述磁场的重要物理量-磁感强度B，并用图示法-磁感线描述了磁场的分布2. 恒定电流、磁感应强度的定义 电流强度的定义：电流密度适量的定义： j nnn磁感应强度矢量的定义： B的大小等于单位磁矩的线圈在场点所受的最大磁力矩；其方向与试探线圈在该点处于稳定平衡时法线的方向一致.其大小的数学表达式为： 3. 毕奥萨伐尔定律 微分形式：dB积分形式： BdB运动电荷产生的磁感应强度：dB 4. 磁场中的高斯定理和安培环路定理高斯

4、定理：通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量恒等于零，即BdS0 安培环路定理：在真空中的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过这个闭合曲线的所有电流强度的代数和的0倍，即Bdl 5. 安培定律： 微分形式：dfIdlB积分形式：f df IdlB洛伦兹力：fqvB6. 磁力的功：A d7. 带电粒子在电场和磁场中的运动： 带电粒子受力：同时受电场力和洛伦兹力的作用霍尔电势差： UH，其中KH为霍耳系数四、解题示范例9-1如右图所示的闭合弓形线框中通有电流，求圆心O处的磁感应强度. 解：O处的磁感应强度可视为部分圆弧和部分直导线的电流在O点处产生的磁感应强度的矢量叠加.圆弧在O点的

5、磁感应强度：，方向垂直纸面向外；直导线在O点的磁感应强度：，方向垂直纸面向里.总磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里.简注：读者应熟悉磁感应强度的叠加原理，记住简单形状如直导线在其周围、圆弧导线在其圆心处产生的磁感应强度的大小，并熟练掌握用右手定则判定磁感应强度的方向. 例9-2 如右图所示，无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔，空腔与导体的两轴线平行，间距为，若导体内的电流密度均匀为，的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度。解：假设空腔中通有相同电流密度的电流，则可通过下述方法求实心导体在空心部分产生的磁感应强度，即以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，得：，可求得，方向：逆

6、时针方向； 同理，假设空心部分有一与正向电流相等的反向电流，则该电流在空心处产生的磁感应强度可通过如下方法求解，即过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路，有，可求得 ，方向：顺时针方向. 所以总的磁感应强度为：，方向：沿a方向.简注：求空心导体中电流在空心部分产生的磁感应强度较常用的方法为补偿法，即假设空心部分通有正向电流后与实心部分电流构成高对称性电流，然后再假设通有反向电流.最后根据叠加原理求解即可.例9-3一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为，半径为。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为，求：（1）圆柱体内距轴线处的磁感应强度的大小；（2）两端面中心的磁感应强度的大小.解：如图中，选一矩形回

7、路经过r点.圆柱体转动相当于无数多个薄通电螺线管，因此根据通电螺线管内部、外部、端点处磁感应强度分布的特点，可得如下求解过程.（1）过点作一个闭合回路，此回路的电流. 根据安培环路定理 ，方向如图中箭头.（2）带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面的磁感应强度 简注：本题为求解电荷体移动产生的磁感应强度分布，方法类似电流.具体求解过程中需要考虑磁感应强度的叠加原理.例9-4如图所示，直导线中通以交流电并置于真空中，已知：，其中是大于零的常量.求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势.解：通电导线周围的磁感应强度为：，方向逆时针方向. 因此，磁通量为：.

8、简注：非均匀磁场中磁通量的求解通常要积分，即选取合适的面积元，使通过该面积元的磁感应强度近似均匀，然后再通过积分法进一步求解.例9-5 无限长直线电流与直线电流共面，几何位置如图所示.试求直线电流受到电流磁场的作用力.解：在直线电流上任意取一个小电流元，此电流元到长直线的距离为，无限长直线电流在小电流元处产生的磁感应强度为 ，因此小电流元受到的力为 ，所以直线电流受到的安培力为.简注：求解通电导线在非均匀磁场中受到的安培力，一般先在受力导线上任意取一电流元，分析该电流元受力的大小和方向，然后建立合适的坐标系并利用积分法进行求解.例9-6 如图所示，一半径为的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长

9、直导线的电流相同的电流.试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。解：轴线上长直导线受到半圆柱面电流产生的磁场的磁力，而半圆柱面可视为无限多个电流元产生磁场，相应电流元的磁感应强度为，方向垂直于轴线并有右手螺旋定则判定.故 .在垂直轴线的二维坐标系中分解可得，即；同理，即.因，所以.简注：同上题.第九章 习题解答9-1 选择题9-1-1 解 由图9-1-1可知，四条无限长电流在O点产生的磁感应强度大小相等，为.根据右手定则，左上和右下电流产生的磁场方向相反，而左下和右上电流产生的磁场方向相同，所以，故选（B）9-1-2 解 在、和区域中产生垂直纸面向内磁场的电流数分别为：3、4、2和3，根据磁感应

10、强度的叠加原理，区域中的向内磁感应强度最大，因此磁通量最大，故选（B）.9-1-3 解 磁感应强度的环路积分只与环路中电流的代数和有关，所以环路积分相等，但P1点和P2点周围电流分布不同，所以它们的磁感应强度不等，故选（D）. 9-1-4 解 当S面向电流移动时，穿过其各点的磁感应强度随距离变小而增大，但磁通量始终为零，不变，故选（D）9-1-5 解 I2在其左、右两边产生的磁场分别垂直纸面向外和内，根据安培定律，I2的左半导线受合力向右，右半导线受合力也向右，所以导线向右运动，故选（C）9-1-6 解 电子作匀速直线运动的条件是静电力和洛伦兹力互为平衡力，电子所受静电力始终向下；根据右手定则

11、，仅当电子向Z负方向运动时才可能受向上的洛伦兹力，故选（C）.9-1-7 解 根据右手定则，电子所受洛伦兹力的方向向右，所有右边主要聚集电子，左边聚集正离子，故选（A）. 9-1-8 解 由，因为磁矩与磁场方向相同，所以磁力矩为零，而，故选（B）.9-1-9 解 磁场对运动电荷不做功，因此动能不变，但电荷可能受洛伦兹力，所以动量可能改变，故选（C）.9-1-10 解 通电螺绕环中磁感应强度为，由可计算得，故选（B）. 9-2 填空题9-2-1 解 设导线间P点离左导线的距离为x,则其磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外，（A） P在中点，则x=d/2，代入可得，方向向外；（B），若令B=0，则可

12、求得x=d/3.9-2-2 解 本题采用补偿法，即假设在缺口处分别通有正、反向电流，电流线密度与圆筒相同，则正向电流与圆筒电流构成完整的无限长圆筒电流，其在内部产生的磁感应强度为零.所以轴线处磁感应强度相当于反向电流产生的，故，方向垂直缺口所对应半径且向右.9-2-3 解 通过袋形的磁通量为通过平面端口的相反数，为.9-2-4 解 通过直导线周围一个矩形线圈的磁通量为，其中R2和R1分别是线圈右、左边到直导线的距离，因图9-2-4中两线圈的右、左边到直导线的距离比相等，均为2，故两线圈中的磁通量相等，故答案为1：1.9-2-5 解由安培环路定理：Bdl ，可得（A）-0I1，（B）0（I1+I

13、2），（3）0.9-2-6 解 在均匀磁场中弯曲导线的安培力相当于首尾相连直导线所受的安培力，故磁场力大小为BId，方向垂直导线两端点连线向上.9-2-7 解 由，可得，.9-2-8 解 在圆盘中任选一半径为r,宽为dr的细圆环，该圆环的磁矩为，方向垂直盘面.所有细圆环的磁矩方向相同，因此盘的磁矩为，方向垂直盘面.细圆环在圆心处产生的磁感应强度为，且所有细圆环的磁感应强度方向相同，也垂直盘面，所以总磁感应强度为.9-2-9 解 由磁力矩公式，因为磁矩与磁感应强度垂直，所以，其中磁矩Pm由上题给出.9-3计算题9-3-1. 解:（1）导线水平段在P点产生的磁感应强度为零, 因此P点的磁感应强度由

14、竖直段产生, 即根据右手定则可判断其方向垂直纸面向外.（2）两水平段半长直导线在P点产生的磁场方向相同,因此相当于一无限长直导线. 所以P点的磁场为一无限长直导线和半圆共同产生的，即方向垂直纸面向里.（3）三边在P点产生的磁场完全相同，因此P点的磁感应强度为方向垂直纸面向里.9-3-2. 解: O点磁感应强度大小为部分圆弧和直线段共同产生，且它们的方向相同，所以方向垂直纸面向里.9-3-3. 解：导线可分为四段，其中水平部分在O点不产生磁场，因此O点的磁场为两半圆和竖直向下半无限长直导线共同产生的，即磁感应强度大小为方向垂直纸面向里.9-3-4. 解：取薄金属板上宽度为dx的长直电流元，其电流

15、为到P点的距离为x，该线电流在点P 激发的磁感应强度大小为因所有线电流在点P 激发的磁场方向均相同,故点P的磁感应强度为方向垂直纸面向外.9-3-5. 解：环心O在两根通电直导线的延长线上，故它们在O点产生的磁场为零，长为l的载流圆弧在其圆心处的磁场为，设左右两段圆弧的弧长分别为,则两者在O点的磁感应强度分别为考虑到两段圆弧在电路中是并联关系,而在并联电路中,电流分配与电阻成反比,电阻又与导线长度成正比，所以，因此可得.由此可得, 两段圆弧在O点的磁感应强度大小相等，方向相反.所以总磁感应强度为零,即.9-3-6. 解: 将无限长载流圆柱形金属薄片看作是由许多平行而无限长直导线组成,对应于范围

16、内无限长直导线的电流为，它在环心处产生的磁感应强度为对整个半圆柱金属薄片积分,得，故环心处磁感应强度为,方向沿x轴正向.9-3-7. 解: 由于此平面螺旋线圈绕得很密，可近似看成是由许多同心圆组成的，因为绕制均匀，所以沿半径方向单位长度的匝数为,在线圈平面内,取半径为的圆环作电流元，则此圆环的匝数为，等效电流为，该圆环电流在O产生的磁场为：方向垂直纸面向外；所以由叠加原理，O点磁感应强度为方向垂直纸面向外9-3-8 解: 沿圆周单位长度的线圈匝数为，在距O点x处取一弧宽为dl、半径为y的圆环，则圆环上绕有匝线圈.通过圆环上的电流大小为，该圆电流在球心处产生的磁感应强度为,方向沿x轴正向.由于所

17、有小圆环电流产生的磁场方向相同，所以,方向沿x轴正向.9-3-9 解: 根据电子绕核运动的角动量量子化假说：L=mva0=h/2, 可得电子的速率v=h/2ma0，从而求出等效电流i=ev/2a0=he/42ma02. 该电流在圆心处产生的磁感应强度为.9-3-10. 解: 带电圆环旋转时相当于一圆形电流，根据教材P358-359中圆形电流在圆心和轴线上任意点产生磁场的规律可得，（1）圆心处：；（2）轴线上：.9-3-11. 解: 带电直线沿直线运动相当于一无限长直线电流，根据无限长直线电流的磁感应强度分布规律可得.9-3-12. 解: 参考例9-4可得.9-3-13 解: 无限长通电柱体的磁

18、感应强度分布为， . 题中两导线轴线间区域中的磁场为两导线单独产生的磁场的叠加，而且两分磁场方向相同.因此磁通量对该式积分可得.9-3-14 解:（1）根据安培环路定理，磁感应强度的环路积分只与闭合路径所包围的电流有关，故参考上题可得；.（2）两柱面间磁通量为.9-3-15解: 单块无限大平面电流产生的磁感应强度为，方向见下图.由题意，电流流向相反，使得两平面电流在之间产生的磁场方向相同，两侧方向相反，因此有：（1）之间：，（2）两侧：.9-3-16解: 参考例9-2，可利用补偿法求解.本题中电流密度为，（1）圆柱体轴线上的磁感应强度为空腔中方向电流产生，即 ；（2）利用例9-2的结果可得.9-3