2017年高考数学天津理试题及解析

1、2017年高考数学天津理1.(2017年天津理)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xR|-1x5，则(AB)C= ( )A.2B.1，2，4C.1，2，4，6D. xR|-1x51.B 【解析】 (AB)C=1，2，4，61,5=1,2,4故选B2. (2017年天津理)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为（ ）A. B.1C. D.32. D 【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），则可行域为四边形ABCD及其内部，其中A（0，1），B（0，3），C（-，3），D（-，），易得直线y=-x+z过点B（0，3）时，z=x+y取最大值为3.故选D3. (2017年天津理

2、)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（ ）A.0B.1C.2D.33. C 【解析】初始N=19，进入循环后N的值依次为N=18,N=6,N=2，结束循环，输出N=2.故选C4. (2017年天津理)设R，则“|-|”是“sin ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. A 【解析】|-|0，但=0时，sin =0，不满足|-|，所以“|-|”是“sin ”的充分不必要条件.故选A.5. (2017年天津理)已知双曲线-=1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条

3、渐近线，则双曲线的方程为（ ）A. -=1B. -=1C. -=1D. -=1 5. D 【解析】由题意得a=b，=1c=4，a=b=2-=1.故选B6. (2017年天津理)已知奇函数f(x)在R上是增函数g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3)，则a,b,c的大小关系为( )A.abcB.cbaC.bacD.bca6. C 【解析】因为f（x）是奇函数且在R上是增函数，所以当x0时，f（x）0，从而g（x）=xf（x）是R上的偶函数，且在0，+）上是增函数，a=g(-log25.1)= g(log25.1)，20.82，又45.18，则2log2

4、5.13，所以020.8log25.13，g（20.8）g（log25.1）g（3），所以bac.故选C.7. (2017年天津理)设函数f(x)=2sin(x+),xR，其中0，|若f()=2，f()=0，且f(x)的最小正周期大于2，则( )A. =，=B. =，=-C. =，=-D. =，=7. A 【解析】由题意得其中k1，k2Z，所以=（k2-2k1）-，又T=2，所以01，所以=，由|得=，故选A8. (2017年天津理)已知函数f（x）=设aR，若关于x的不等式f（x）|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）A.-，2B.-，C. -2，2D. -2，8. A 【解析】不等式

5、f（x）|+a|可化为-f（x）+af（x），（*）当x1时，（*）式即-x2+x-3+ax2-x+3，即-x2+-3ax2-x+3，又-x2+-3=-（x-）2-（当x=时取等号），x2-+3=（x-）2+（当x=时取等号），所以-a，当x1时，（*）式为-x-+ax+，-x-a+.又-x-=-（x+）2（当x=时取等号），+2=2（当x=2时取等号），所以-2a2综上，-a2故选A9. (2017年天津理)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_9. -2 【解析】=-i为实数，则=0,a=-210. (2017年天津理)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为1

6、8，则这个球的体积为_10. 【解析】设正方体的边长为a，则6a2=18a=，其外接球直径为2R=a=3，故这个球的体积V=R3=11. (2017年天津理)在极坐标系中，直线4cos（-）+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为_11. 1 【解析】直线为2x+2y+1=0，圆为x2+（y-1）2=1，因为d=1，所以有两个交点12. (2017年天津理)若a，bR，ab0，则的最小值为_12. 4 【解析】=4ab+2=4，前一个等号成立的条件是a2=2b2，后一个等号成立的条件是ab=，两个等号可以同时成立，当且仅当a2=，b2=时取等号13. (2017年天津理)在ABC中，A=60，

7、AB=3，AC=2若=2，=-（R），且=-4，则的值为_13. 【解析】由题可得=32cos 60=3，=+，则=（+）（-）=3+4-9-3=-4=14. (2017年天津理) 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）14. 1 080 【解析】A4 5+C1 4C3 5A4 4=1 080. 15. (2017年天津理)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sin B=（1）求和sin A的值；（2）求sin（2A+）的值15. 解：（1）在ABC中，因为ab，故由

8、sin B=，可得cos B=.由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B=13，所以b=.由正弦定理=，得sin A=.所以，b的值为，sin A的值为.（2）由（1）及ac，得cos A=，所以sin 2A=2sin Acos A=，cos 2A=1-2sin2A=-.故sin（2A+）=sin 2Acos +cos 2Asin =.16. (2017年天津理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共

9、遇到1个红灯的概率16.解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=0）=（1-）（1-）（1-）=，P（X=1）=（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）=，P（X=2）=（1-）+（1-）+（1-）=，P（X=3）=.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E（X）=0+1+2+3=.（2）设Y表示第1辆车遇到红灯的个数，Z表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）=+=.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为17. (2017年天津

10、理)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（1）求证：MN平面BDE；（2）求二面角C-EM-N的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长17.解：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）（1）易得=（0，2，0），=（2，0，）设n=(x,y,z)为平面BDE的

11、法向量，则即不妨设z=1，可得n=（1，0，1）又=（1，2，），可得n=0因为MN平面BDE，所以MN平面BDE（2）易知n1=（1，0，0）为平面CEM的一个法向量.设n2=（x，y，z）为平面EMN的一个法向量，则因为=（0，-2，-1），=（1，2，-1），所以不妨设y=1，可得n2=（-4，1，-2）.因此有cos=-，于是sin=.所以，二面角C-EM-N的正弦值为.（3）依题意，设AH=h（0h4），则H（0，0，h），进而可得=（-1，-2，h），=（-2，2，2）由已知，得|cos=，整理得10h2-21h+8=0，解得h=或h=所以，线段AH的长为或18. (2017年天津

12、理)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4（1）求an和bn的通项公式；（2）求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*)18.解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q2+q-6=0.又因为q0，解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8，由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立，解得a1=1,d=3，由此可得an=3n-2所以，数列an的通项公式为an=3n-2，数列bn的通

13、项公式为bn=2n（2）设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，b2n-1=24n-1，有a2nb2n-1=（3n-1）4n，故Tn=24+542+843+（3n-1）4n，4Tn=242+543+844+（3n-1）4n+(3n-1)4n+1，上述两式相减，得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=-4-（3n-1）4n+1=-（3n-2）4n+1-8，得Tn=4n+1+所以，数列a2nb2n-1的前n项和为4n+1+19. (2017年天津理)设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线y2=2px（p0）的焦点，F到抛物

14、线的准线l的距离为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l上两点P，Q关于轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为，求直线AP的方程19.解：（1）设F的坐标为（-c，0）依题意，=，=a，a-c=，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2-c2=所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x（2）设直线AP的方程为x=my+1（m0），与直线l的方程x=-1联立，可得点P（-1，-），故Q（-1，）将x=my+1与x2+=1联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0或y=由点B异于点A，可得点B（，）由Q（-1，

15、），可得直线BQ的方程为（-）（x+1）-（+1）（y-）=0，令y=0，解得x=，故D（，0），所以|AD|=1-=.又因为APD的面积为，故=，整理得3m2-2|m|+2=0，解得|m|=，所以m=.所以，直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.20. (2017年天津理)设aZ，已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0，g(x)为f(x)的导函数（1）求g(x)的单调区间；（2）设m1,x0)(x0,2，函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求证：h(m)h(x0)0；（3）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的

16、正整数p,q，且1,x0)(x0,2满足|-x0|20.解：（1）由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a，可得g(x)=f(x)=8x3+9x2-6x-6，进而可得g(x)=24x2+18x-6令g(x)=0，解得x=-1或x=当x变化时，g(x), g(x)的变化情况如下表：x(-,-1)(-1, )(,+)g(x)+-+g(x)所以，g(x)的单调递增区间是(-,-1)，(,+)，单调递减区间是(-1, )（2）由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m)，h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m)令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f

17、(x)，则H1(x)=g(x)(x-x0)由（1）知，当x1,2时，g(x)0，故当x1，x0时，H1(x)0，H1(x)单调递减；当x（x0，2时，H1(x)0，H1(x)单调递增因此，当x1,x0)(x0,2时，H1(x)H1(x0)=-f(x0)=0，可得H1(m)0，即h(m)0令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x)，则H2(x)= g(x0)-g(x)由（1）知，g(x)在1,2上单调递增，故当x1,x0)时，H2(x)0，H2(x)单调递增；当x（x0，2时，H2(x)0，H2(x)单调递减因此，当x1,x0)(x0,2时，H2(x)H2(x0)=0，可得H2(m)0，即h（x0）0所以，h（m）h（x0）0（3）对于任意的正整数p，q，且1,x0)(x0,2，令m=，函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由（2）知，当m1,x0)时，h（x）的区间（m，x0）内有零点；当m（x0，2时，h（x）在区