《分式》总复习-华东师大版

1、分式总复习一. 本周教学内容： 分式总复习全章知识网络图 全章重点难点重点：同底数幂的除法、单项式除以单项式；分式的意义及相关概念、分式的基本性质；分式的四则运算；可化为一元一次方程的分式方程及其应用；零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数。难点：整式的除法运算、分式的运算及分式方程的解法、检验与应用、零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数（同底数幂的除法是基础和关键。）本章考点 同底数幂的除法、整式的除法、分式概念、分式的基本性质、分式的运算、分式方程的解法及应用题、零指数和负整指数、科学记数法。主要知识与技能整和一. 同底数幂的除法运算及应用1. 同底数幂的

2、除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。公式：（）。2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：（）。3. 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。公式：。4. ；（为正整数）；（为正整数） 。（为正整数）例1.计算下列各题：（1） ； （2） ；（3）；(4)；（5）；（6） 。例2.已知 ，求的值。分析：将指数相减恢复为幂的除法，将指数相乘恢复为幂的乘方。 解：。二. 分式有意义及分式值为零、为正、为负的条件1. 分式有意义：分式的分母0。2. 分式值为0：。3. 分式在分子、分母同号时值为正；分式在分子、分母异号时值为负。例1：求使下列各分式无意义的字母的值：（1）

3、（2） （3）分析：使分式无意义的条件为分母=0，则只求分母=0时的字母的取值即可。解：（1）由(x-1)(y+2) = 0 得 x=1或y=-2时分式无意义。（2）由 即得a=1时，分式无意义。（3）由即得时，分式无意义。例2：当a取何值时，下列各分式值为0：（1） （2）分析：分式值为0的条件是，因此有两个条件限制了字母的取值。解：（1） a=2时，分式值为0。（2） a=2时，分式值为0。例3：当a取何值时，下列各分式值为正？ （1） （2）分析：分式在分子、分母同号时值为正。解：（1） 则时分式值为正； （2） 则时分式值为正。三. 分式的运算约分、通分、加、减、乘除、乘方及混合运算1

4、. 分式基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。 公式： （M是不等于零的整式）。2. 分式的乘除法：实质是分式的约分。公式：。3. 分式的乘方：把分子、分母各自乘方。公式：，n为正整数。4. 分式的加减法：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：；（2）异分母分式相加减，先通分化为同分母分式再加减：。5. 分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号先算括号内的。在混合运算中要注意优化运算顺序，在法则、定律允许的前提下，尽量先进行乘除最后加减；此外，运算结果应是最简分式或整式。例1. 计算：（1） ； （2） ；（3）（公分母为） ；（4）（公分

5、母为） ；（5）；（6）解法1：(1)1；解法2：1例2. 若一个多项式与单项式的乘积是，求此多项式。解：由题意得（）（）则此多项式为。例3. 若，求A和B得值。解： 则 得 ，解得A=1，B=1。四. 分式的求值1. 直接给出字母的值先化简分式，然后代入求值。2. 给字母的比例关系设k 值，再代入求值。3. 给字母间的某种等量关系变形后整体代入求值。例1. 先化简再求值：，其中，。 解：，当，时，。例2. 若，求分式的值。解：因，则可设 ，（代入原分式。例3. 若，求的值。解：将代入原分式。例4. 若，求的值。解：因， 则可将两边同时乘以 得：代入原分式 。例5. 若，求的值。解：由 得 ，

6、 则有 即 ， 则原式 。五. 分式方程及应用1. 解分式方程得基本思想把分式方程“转化”为整式方程。2. 解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法（1）用去分母法解分式方程的具体步骤是：把方程两边都乘以最简公分母，约去分母解所得的整式方程验根。（2）用换元法解分式方程的具体步骤是：观察、分析方程的特点，探索换元的途径；设辅助未知数；换元把原方程化为只含有辅助未知数的方程；解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；验根，作答。3. 列分式方程解应用题的步骤是：(1)审清题意，设出未知数；(2)根据题意找相等关系，并列出分式方程

7、；(3) 解方程并检验根是否是原分式方程的根；(4) 检验所得的根是否符合实际问题的题意；(5)答题。例1. 解方程：（1） （分析：公分母是，去分母时注意遍乘）解：方程两边同时乘以，得： 解此整式方程得 ，检验：当时，故是原方程得根。（2） （分析：公分母是，去分母时注意遍乘）解：方程两边同时乘以，得 ： 解此整式方程得 ，检验：当时，=0 分式无意义，故是原方程的增根，原分式方程无根。例2. 在为何值时，关于的方程会产生增根？分析：分式方程中公分母为，方程要产生增根，公分母必须为零，即或，因此可通过或来讨论的值。解：方程两边同时乘以的，如方程产生增根，则增根为或，而增根又定是整式方程的解，

8、所以将和分别代入上整式方程可得：，故当时，原方程会产生增根。例3. 在为何值时，关于的方程的解为非负数？分析：将方程的解用含的代数式表示出来，再根据解非负列出关于的不等式以求出的范围；同时还要考虑排除在此范围内使方程产生增根的的值。解：方程两边同时乘以得：解此整式方程得： ，由题意得：，故得：；又因原方程的增根只能是，由；由，故时，才是原方程的根；综合上述，当且时，原方程的解为非负数。例4. 压缩机厂接受一批4800台的压缩机的订单，为了提前2天完成任务，必须把生产效率提高，问提高效率后，每天应生产多少台压缩机?分析：等量关系：原定时间 提高效率后用时 = 两天。解：设按原定天数，每天生产台，

9、那么提高效率后，每天生产(1）台，根据题意，得 2方程两边同乘以，得 480048002整理，得8x4800， 解得 600，经检验， 600是所列方程的根并适合原题意，（1） 600 800。答：提高效率后，每天应生产800台压缩机。例5. 有A、B两码头相距48千米，一货轮从A码头顺水航行到B码头后，立即逆水航行返回到A码头，来回共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求货轮在静水中的速度。分析：(1)顺水速度：，逆水速度： 。(2)等量关系：货轮顺流航行时间 + 货轮逆流航行时间 = 5小时。解：设货轮在静水中的速度为千米/时，根据题意，得 5方程的两边都乘以(4)( 4)，整理得： 解

10、这个方程，得120，2经检验，120，2都是原方程的根，但速度为负数不合题意，所以只取20答：货轮在静水中的速度为20千米/时。【模拟试题】1. ，求的值。2. 若分式的值为负数，则满足 。3. 当字母取何值时，下列分式有意义：（1） （2） （3）4. 下列分式中的字母取何值时，分式值为0？（1） （2） （3） （4） 5. 要使分式有意义，a取值必须满足（ ）Aa0 Ba3 Ca-1 Da3且a-16. 分式有意义的条件是（ ）Ax0 Bx-1且x0 Cx-2且x0 Dx-1且x-27. 若分式的值等于0，则x值等于（ ）A B1 C或1 D1或8. 计算：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）9. 求分式的最小值。10. 若，求的值。11. 若，求的值。12. 解下列方程：（1） （2） 13. 若分式方程产生增根，求的值。14. 当为何值时，关于的方程的解为正数？ 15. 某人每天早上在同一时刻从家骑车去工厂，若每小时骑16公里，可提前15分钟到达；若每小时骑9.6公里则迟到15分钟，求（1）此人家到工厂多远？（2）若想提前10分钟到达，他应怎么做？ 16. 自编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答。要求：联系实际生活；题目完整，题意清楚。【试题答案】1. 100 2. 3. （1） （2）任意实