数学物理方法课件：09第9章 拉普拉斯方程狄利克雷问题的傅里叶解

1、第九章 拉普拉斯方程的傅里叶解,拉普拉斯方程定解问题 圆域边值问题的解法 狄拉克函数,拉普拉斯方程圆域边值问题的解法,作业：习题九 3, 4, 6, 7,函数的基本性质,问题描述,介电常数为的电介质中放置电荷密度为(x,y,z)的带电体，求电势分布,静电场的基本方程：,高斯定理,环路定理,辅助方程,9.0 泊松方程与拉普拉斯方程,静电场的泊松方程,稳态热分布：各点温度不随时间变化,泊松方程,弹性体的静平衡：,泊松方程,没有热源、外力、静电荷，泊松方程 ,拉普拉斯方程,(介电常数均匀),矩形域上的边值问题,例1：散热片的横截面为矩形 0xa, 0yb， 它的一边 y=b 处于较高的温度 U，其它

2、三边 保持零度。求横截面上稳恒的温度分布。,解：定解问题,齐次边界条件 (3) ,拉普拉斯算符的极坐标形式,o,x,二维梯度算符沿径向和横向的分量：,沿径向和横向的单位矢量记为,极坐标系下的梯度算符,极坐标系下的拉普拉斯算符,9.1 圆的狄利克雷问题,问题：一个半径为 a 的薄圆盘，上下两面绝热， 圆周边缘的温度分布为已知函数 f ()， 求稳恒状态时圆盘内的温度分布,周期边界条件,原点约束条件,圆内的 Dirichlet 问题,步骤一：求满足齐次方程 (1) 和边界条件 (3)、 变量分离形式的特解,R(r) 满足,带入泛定方程 (1)：,满足,周期本征方程,两个本征函数！,步骤二：求解周期

3、本征方程,解为,解为,通解,通解,步骤三：将待求解展开为特解的线性叠加,边界条件,特解的形式：,解的约化Poisson 积分公式,调和函数可在圆内任意点处展开为泰勒级数,与解析函数的联系,设 在闭区域 |z| a 上解析,(柯西积分公式),取实部 Poisson 积分公式,其中,例2：求解泊松方程 (P226 第 8 题),解法一： 化为齐次方程,物理图像：接地导体柱面内有电荷分布,求解,解的形式,(2) ,比较两边的展开系数 非零系数,解法二： 极坐标，本征函数展开,u(r, ) 是 的周期函数，有傅里叶级数展开,常数变易法 ,二维拉普拉斯方程2u=0 的解,圆环区域：,圆内区域：,圆外区域

4、：,(u|r=0 有限),(u|r= 有限),9.2 狄拉克函数,1.函数的引入,例：单位质量均匀分布的线密度,总质量 m =1，集中在 x = 0 处 (一维质点),物理模型：质点、点电荷、点热源、瞬时力 ,函数的定义,定义：,总质量 m 集中放在直线上的 x = a 点，质量线密度,等价定义：若对任何连续函数 ，函数(x),则称(x) 为函数,满足,函数是广义函数(数学)、点源函数(物理),2.函数的性质,连续,(1),(2),(3),(4),f(x) 可导且只有一阶零点,(5),连续,判断(广义)函数相等的积分方法,设 f(x) 和 g(x) 是定义在区间 (a,b) 上的函数，,若对

5、(a,b) 上的任意绝对可积的光滑函数 ，,则必有,证明 (5)：,例3：(1)计算,(2)计算,解：(1),在区间 1,5中,(2),例4：瞬时力,解：对运动方程积分 ,再次积分 质点的运动,物理：质点在瞬时力作用下获得初速度,对运动方程两边作积分取极限,例5：求解热传导混合问题的格林函数,(P300),即，由 时刻、 x=处的瞬时点源产生的温度分布,对方程 (1) 两边作积分,解：,中值定理，,取极限0+：,t 时，G(x, t) 满足,分离变量法得出解的一般形式,(理解齐次化原理),定解问题,的解为,零时刻的瞬时热源与持续热源共同产生的温度分布,持续热源可看作若干前后相继的瞬时热源的叠加：,验证它满足初值条件和泛定方程：,t 0 时,若函数序列 满足,，则 fn(x) 弱收敛于,称区间 (a,b) 上的函数序列 fn(x) 弱收敛于函数,3.弱收敛,若对任何光滑函数 ，都有,记为,例6：以下函数序列弱收敛于,From wiki,第 j 个坐标位于,n 维空间的点,4.高维函数,：坐标为,