概率论与数理统计课件：ch1-5随机事件的独立性

1、,教学内容,Chapter 1 Random Events and Probability,第一章 随机事件及其概率,Content,1.1 随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率 1.3 古典概型 1.4 条件概率 1.5 随机事件的独立性,1.掌握事件的独立性 2.理解独立重复试验，掌握 有关事件概率的计算方法,教学要求, 1.4 随机事件的独立性,主要内容,Contents,Requests,一、事件的相互独立性 二、伯努利概型及二项概率公式,Chapter 1 Random Events and Probability,第一章 随机事件及其概率,Independence of Eve

2、nts,一、事件的相互独立性,Mutual Independence of Events,例,袋中有6个红球，4个白球现有放回 地抽取两次，每次抽取一个设,解,A=第一次取到白球，,B=第二次取到白球，,试求,1两个事件相互独立的定义,则称A与B相互独立.,对于事件A与B，若,The Definition of Mutual Independent two Events,事件A与事件B相互不影响对方发生,若 则,若 则,A 与 B 相互独立,对比乘法公式,事件A，B相互独立，,（充分性）,设,，由乘法公式得,故A，B相互独立,（必要性）,则A，B相互独立,设A，B为两事件 ，且,定理1,证,1

3、)“A与 B相互独立”和 “A 与 B 互斥” 有关系吗？ 2)在两个条件下 两者有关系吗？,思考,解答,1)没有关系.,2)有关系, “A与B 相互独立”和 “A 与 B 互斥” 不能同时成立,A与B 独立,则,注:若A,B既独立又互不相容,则 或,下例四个命题等价：,定理2,(1)事件A与B相互独立，,(2)事件A与 相互独立，,(3)事件 与B相互独立，,(4)事件 与 相互独立.,只证(1)与(2)等价，其余自证,常用,(1) (2),证,A,B,(积化差),(减法),(独立),(提公因式),(对立),证,A,B,(积化差),(减法),(独立),(提公因式),(对立),(2) (1),

4、从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记,抽到的牌是黑色的,问事件,是否独立?,解一,利用定义判断.,由,解二,利用条件概率判断.,由,关于事件独立性的判断,从例1可见，,判断事件的独立，,可利用定义或通,过计算条件概率来判断.,但在实际应用中，,常根据问题的实际意义直接的,去判断两事件是否独立.,例如，,甲、乙两人向同一目标射击，记事件,甲命中，,乙命中，,因“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，,独立.,关于事件独立性的判断,又如，,从中抽取2件，,设事件,若抽取是有放回的，,因第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.,若抽取是无放回的，,因第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.,2) 两两独立

5、 相互独立,2三个事件相互独立的定义,对事件A,B,C，若下面四个等式：,都成立，则称事件A,B,C相互独立.,1)若只有(1),(2),(3)成立，称A,B,C两两独立,The Definition of Mutual Independent three Events,注,3) 实际问题中，独立性是由实际情形判断.,3n个事件相互独立的定义,The Definition of Mutual Independent n Events,则称这n个事件 相互独立,设有n个事件 ,如果下列等式成立,了解,相互独立性的性质,性质1,性质2,相互独,立，,个事件换成它们的对立事件，,仍相互独立；,性质1

6、由定义直接推得，,定理2中证明，,对一般情形可利用数学归纳证之，,此处略.,加工某一零件共需经过四道工序,设第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的,零件的次品率.,解,本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.,设,为四道工序发生次品事件,加工出来的零件为次品的事件,的事件,故有,为,分别是2%, 3%, 5%,练习,加工某一零件共需经过四道工序,设第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的,零件的次品率.,解,本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.,分别是2%, 3%, 5%,例2,(1)串联系统,(2)并联系统

7、,(3)混联系统,设各元件的可靠性均p,一个元件(或系统)能正常工作的概率 称为元件(或系统)的可靠性,且各元件能否正常工作是相互独立的，,试求下列系统的可靠性：,1,2,n,1,2,n,经典,或,= 正常工作,= 正常工作,解,设,=第i个元件正常工作, i=1,2,n,1),2),3),i=1,2,n,设,补例,设各元件的可靠性均p,且各元件能否正常工作是相互独立的，,试求下列系统的可靠性：,课练,解,设,=第i个元件正常工作, i=1,2,3,4,法2:,法1:(事件关系),串联:,并联:,或,(事件概率),n个串联:,n个并联:,如图是一个串并联,的元件.,它们下方的数字,是它们各自正

8、常工作的概率,求电路系统的可靠性.,电路系统.,都是电路中,解,因各元件独立工,作,故有,其中,代入得,甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概,率为,问对甲而言,采用三局二胜制,有利,还是采用五局三胜制有利,设各局胜负相,互独立.,解,采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情,况是:,种结局互不相容,而这三,于是由独立性得,概率为,采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3 局,(可能赛 3 局,也可能赛 4 局或 5 局),“甲甲” 或 “乙甲甲” 或 “甲乙甲”.,甲最终获胜的,(可能赛 3 局,也可能赛 4 局或 5 局),而前面甲需胜二局.,例如,4 局,则甲的胜局情况是:,“甲乙甲甲”

9、,甲”,“甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容.,立性得甲最终获胜的概率为,一局必需是甲胜,且最后,共赛,“乙甲甲,由独,于是,即对甲来说采用五局三胜,制较为有利;,种赛制,即两,甲,乙最终获胜的概率相同.,二、伯努利概型及二项概率公式,伯努利概型,Bernoulli Probability and Binomial Probability Formula,Bernoulli Probability,且,每次试验的结果与其他次试验无关， 即每次试验中，A 发生的概率都是 P(A)=p.,也称n 重伯努利试验,-称为这 n 次试验是相互独立的,射击 放回抽样,而 ，则 n 重伯努利试验中事件,定理3

10、,(伯努利定理) 设在每次试验中，,p (0p1), 即 P(A)=p,事件A发生的概率为,A恰好发生k次的概率为,二项概率公式,Binomial Probability Formula,注,牛顿二项式定理,(也称为二项概率公式),证明,记“第i次试验中事件A发生”,这一事件为,则“事件A恰好发生k次”,(记作,),其中 是取遍 中的任意k个数,是取走,后剩下的n-k个数.,而对任意取出的,根据独立性及,有,伯努利概型,推论,设在一次试验中，,事件A发生的概率为,则在伯努利试验序列中，,事件A,在第k次试验中才首次发生的概率为,注意到,等价于,生”，,再由伯努利定理即推得.,“事件A第k次才首

11、次发生”,思考,设在一次实验中,事件A发生的概率为p. 现进行n次独立实验, 则A 至少发生一次的概率为,而A 至多发生一次的概率为,某型号高炮，每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时各射一发,(1)设需配置n门炮. 因为n门炮是各自独立发射的，因此该问题可以看作n重伯努利试验.,设A表示“高炮击中飞机”，P(A)=0.6,(1) 问：欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?,问题归结为求满足下面不等式的n:,B表示“敌机被击落”，,(2) 现有3门炮，欲以99%的把握击中一架来犯的 敌机，问：每门炮的命中率应提高到多少?,由,小结：对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题，应先求出事件的概率(含所求参数)，从而得到所求参数满足的方程或不等式，再解之.,(2)设命中率为p,由,解得,故至少应配置6门炮才能达到要求.,解此不等式得,得,即每门炮的命中率至少应有0.785.,从而得,某种小树移栽后的成活率为90%,区移栽了20棵,一居民小,求能成活18棵的概率.,解,观察一棵小树是否成活是随机试验,每棵小,树只有“成活”,且,可以认为,小