复变函数第2讲x

1、1,3 复数的乘幂与方根,1、乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2， Arg(z1z2)=Argz1+Argz2.,注意其几何意义.,2,结论 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。,3,2、幂与根,2.1定义z的n次幂：,则有,- 棣美弗公式.,2.2 定义z的n次根： 若有 w n=z,则称w为z的n次根，记为,定义,4,如何求z的n次根呢？,5,注：1任一非零复数开 n次方，有且仅有n个不同的根； 2它们均匀分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆周上.,6,例2.,例1.,7,8,4 区域，单连通，多连通,1、区域的概念,1.1 邻域：复平

2、面上以z0为中心，半径为的圆内所有点组成的集合称为z0的一个邻域,记为,去心邻域：由不等式 0|z-z0|所确定的点集。,以下设G为一平面点集.,9,1.3 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集.,1.4 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域.,D-区域,1.5 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点；,D的所有边界点组成D的边界.,10,1.6 闭区域: 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作 .,1.7 有界域与无界区域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆里面，则称D为有界的；否则称为无界

3、的.,例如,表示一个闭区域.,例如,11,2、 简单曲线（或Jordan曲线),令z(t)=x(t)+i y(t) atb ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.,2.1,12,13,3. 单连通域与多连通域,2.4 简单闭曲线的性质,14,例 |z|1是多连通区域。,注：1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或 裂缝. 2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部单连通，外部多连通. 3. 属于单连通区域D内的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点.,单连通区域,多连通区域,15,5 复变函数的极限与连续性,1、 复

4、变函数的定义,定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作： w=f(z).,如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.,16,在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y

5、, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.,17,如:,定义：若对集合A中的任一元素a，按照某种对应关系f，总有集B中的元素b相对应，则称 f 是集合A到集合B的一个映射，记为f: ab， a、b分别称为映射的原象和象.,18,在几何上， w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,19,因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，幅角是 原来的二倍.除此而外,我们还不难发现，这一映射还具有 这样的特性：,将顶点在原点的角形域映成角形域，只不

6、过夹角扩大为二倍.如：将z平面第一象限映成w平面一、二象限, 即上半平面; 将单位圆映成单位圆.,所以在该映射下,20,图示,21,解：原曲线的方程为：,记,则,-这就是象曲线的实参数方程.,消去参数，得,这是一个圆周.,于是象曲线方程为：,22,3、 复变函数的反函数,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*, G*中的 每一个点w必将对应着G中的点.按照函数的定义，在G*上 就确定了一个单值（或多值）函数，它称为w =f (z) 的反函数，也称为映射w =f (z)逆映射.,则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.,当它们都是单射时,称为一一对应.,23,4、

7、函数的极限,几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中.,24,注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别.主要是因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线.这一点跟二元函数的极限有相似之处.,所以，如果仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限存在。 如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定不存在.,25,相关性质,定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已经讨论过的问题。,26,证明：,27,反过来,28,5、函数的连续性,定理2,29,由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题.,本定理的证明可根据定理1立即得到.,相关性质,30,根据定理2和定理3还可推得:,定理4. 1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零) 仍是连续函数. 2)连续函数的复合函数还是连续函数.,2. 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数在曲线上是有界的.