数学物理方法课件：1_1 复数复变函数连续性

1、第一章 复变函数的基本概念,复数、复平面上的点集 复变函数的定义 复变函数的极限和连续性,复 数,复数的表示方法 1、代数表示 z=x+iy, (x,y是实数) 实部x =Re(z), 虚部y = Im(z) 2、三角表示 z=r(cos+isin) 模r=|z|, 辐角=Arg(z) 3、指数表示 z=rexp(i)或rei 其中 exp(i)=cos+i sin =Arg(z),复数的定义： z=x+iy 其中x, y是实数, i=,模和辐角、辐角主值,辐角主值：,辐角：在x-0-y平面上，原点到(x, y)的射线与x正方向的夹角。 0复数不定义辐角。,复数的代数运算,1. 两复数的和:,

2、2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,复数的四则运算法则与实数的保持一致,复数的其它运算,用指数形式表示的乘除法、幂和开方 (x1+ iy1) (x2+ iy2) = (x1 x2 y1y2)+i (x1 y2 + x2y1) r1exp(i1) r2exp(i2) = r1r2 expi(1+2) r1exp(i1)/r2exp(i2) = r1/r2 expi(1-2) 幂和开方 r exp(i)n = rn exp(in) r exp(i)1/n = r1/n exp(i/n),共轭复数 z = x + iy = x iy z = r exp(i) = r exp(-i),5,虚数i的

3、由来,许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值，如以现代的符号 表示他的成果，即,由于,是负数，所以他认为不可能解这方程。,而第一个对负数开方运算进行研究并得到 虚数及其 运算方法的人是卡尔达诺，在1545年，在他所著的 大术中，记载了以下的乘法运算：,6,当中 相等于根号， 是减（即负），表示-15，这就是最早表示虚数的方法。当时， 他称负数的平方根为诡辩量，并且怀疑运 算这些数的合理性，因此，卡尔达诺称正数的根为真实的根（real root），负数的根为虚构的根（fictitious root）。但实和虚的用法与现代的不同。,7,1637年，在

4、笛卡儿的几何学一书中第 一次出现了虚数的名称。imaginaires代表虚的，及reelles代表实的。 1777年，欧拉在一篇递交给彼得堡科学院 的论文微分公式中首次以i来表示: -1，但很少人注意到。 直到1801年，高斯才有系统 地使用这个符号，并沿用至今。,为什么引入复数？,数的扩张（完善化） 自然数 减法不封闭整数 除法不封闭有理数 不完备2 实数 方程可解性复数 Hamilton四元数,复数的几何含义,重要关系式 x = r cos y = r sin r = (x2+y2),思考：复数的特点？ 无序性，复数无大小； 矢量性，复数有方向；,向量表示,点表示,复数和x-y平面上的点一

5、一对应,复平面，扩充复平面,除北极点N外，复数球上任意一点与复平面上点一一对应。,无穷远点：假想复平面上有唯一一点，与点N对应，且复平面上任一直线都通过该点。z=,包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包含无穷远点的复平面称为有限平面或复平面,复平面上的点集：例题,指出下述等式或不等式表示的点集,提示2：,提示3：,（2）,（3）,提示1：数形结合,复变函数,概念 复数的集合D，对于D内的每一个复数z=x+i y，按照某种法则，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，称w是复变数z的函数，记作w=f(z).,例如：w=z2,注明：一个复变函数是由一对双元实函数所确定的,单值性和多值性 如果一个z对应于一个w，则称w=f(z)为单值函数； 如果一个z对应于多个w，则称w=f(z)为多值函数；,w=Arg(z),w=arg(z),例如：w=z2,w=Arg(z),w=arg(z),邻域、开集、区域的概念,邻域： z0的邻域就是以z0为中心，任意小为半径的圆（不包括圆周）。,开集： 设z是点集D的一点，若至少有一个完全包含在D内的邻域，则称z是D的内点；若D的每一点都是内点，则说D是开集。,区域： 称点集D为区域，如果D满足下述两个性质： 1、D是开