数学物理方法课件：4-留数定理

1、已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值有很强的内在联系。这突出表现在柯西积分公式(p29)及其推论。 本章：讨论这种关系的另一种表现形式解析函数的积分值与函数奇点的关系。,1,第四章 留数定理(3),2,4.1 留数定理 由柯西定理，若f(z)在l内解析， ， 若f(z)在l内有奇点，,复习：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则,重要例题结论：,4.1 留数定理,3,（一）留数定理,设函数f(z)在回路l所围区域 B上除有限个孤立奇点b1,b2, ,bn外解析，在闭区域 上除 b1,b2, ,bn外连续，则,其中Res f(bj)表示函数f(z)在点 bj邻域洛朗展开式中负一次

2、幂项系数，称为函数f(z)在孤立奇点bj处的留数(residue)。,4,1、 l内有一个孤立奇点 z=z0,5,2、 l内有n个孤立奇点 b1,b2, ,bn,留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和,6,将f(z)在无穷远邻域展开,即使无限远点不是奇点， Res f() 也可以不为零。,7,证明：,8,（二）留数的计算,9,3、单极点留数的计算 设 z0 是 f(z) 的一阶极点,因此,特殊情形 ，P(z)和Q(z)都在z0点解析，z0是Q(z)的一阶零点， P(z0) 0，从而z0是f(z)的一阶极点， 则,10,4、m (m2)阶极点留数的计算 设 z0 是 f

3、(z) 的 m 阶极点,求 a-1, 对照p38(3.3.4) ， (z-z0)m-1项前的系数可表为,11,例1：求 在z0= 1 处的留数. 解：,另解,z0= 1是单极点,12,例2：求 的极点，以及在极点上的留数。 解： 极点 为 n，无穷多个单极点,例3：求 的极点，以及在极点上的留数 解： 单极点 2i, 三阶极点0,13,z=2i z=0,例4：计算沿单位圆 | z |=1 的回路积分。,14,解：寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。,在单位圆外。,15,第55页 1(4). 确定函数 的奇点，求出函数在各奇点的留数。 解：单极点 z=ia, 单极点 z=-

4、ia,本性奇点z= ，,16,例：求 f(z) = z/(z-1)的Res f(),解：f(z) = z/(z-1)，在有限远的仅有单极点z=1，而 Res f(1)=1 Res f()+ Res f(1)=0 所以，Res f()=-1,本节作业：第55页 第1题（2，5）； 第2题（2，3）。,17,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,实变函数积分复变函数的回路积分 基本思想: 将在区间 l1=a, b 的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来。,可以看做复变函数在实轴上的线积分。,积分,18,方法一、通过变量变换，把区间l1=a, b映射成复平面的回路，把实数积分变成复平面的回路积

5、分。 方法二、如果 补充线段 l2,可构成回路积分l。l包围区域B，实函数f(x) 解析延拓到闭区域 B中，而实积分 成为回路积分的一部分。,如果左边积分和右边第二个积分可以利用复变函数理论容易求出，这样就可以完成实变函数定积分。,19,类型一： 其中：（1） R(cosx, sin x) 是 sinx, cosx 的有理式； （2）积分区间是 0, 2； (3) 在区间0, 2内，R无奇点。,变量变换,20,积分区域变换：线段到单位圆。,例1,解,p55,21,类型二： 其中：(1) 积分区间是 (-, + ); (2) 复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1, b

6、2bn) 外解析； (3) 当 z 在上半平面及实轴上时，zf(z)一致地 0； 如果 f(x) 是有理分式 (x)/ (x) ,则 (x)在实轴无零点， (x)的次数至少高于(x) 二次。,22,积分主值概念：反常积分 定义为 当 R1=R2 时， 称为 I 的积分主值 一般，积分主值存在，反常积分不一定存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！本类型积分要计算的是积分主值。,23,计算积分主值 将f(x)在复平面上延拓成 f(z),则 由留数定理： 当 R,左边的第一个积分即是要求的，第二个积分可证明当 f(z)满足条件（3）时为零。,24,所以,25,例3 计算,单极点,解：,26

7、,类型三：,（1）积分区间0, + ， （2）偶函数 F(z) 和奇函数 G(z)在实轴上 无奇点，在上半平面除有限个奇点 （b1, b2bn) 外解析； （3）当 z 在上半平面和实轴上 时， F(z) 及 G(z)一致地 0；,其中:,27,在第二积分中作代换，x=-y,同理,28,约当引理 如m为正数，CR 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上 时，f(z)一致地0则,证：,右第二项中, -,只需证明,有界。,30,如果 m0, 应改为下半平面计算，仍有上述结果。,31,由约当（Jordan）引理可证,由留数定理 可算出,所以,即使 f(x)非奇偶,也有,32

8、,由式,33,例6 计算,(1),(2),34,例7 计算,35,类型四：实轴上有单极点的积分,其中（1）被积函数 f(x) 在实轴上有单极点 z=， 除此之外 f(z)满足类型二或类型三【 f(z)应理解 为F(z)eimz或G(z)eimz】的条件。 即是（2）上半平面除有限个奇点（b1, b2bn) 外解析； （3）当 z 在上半平面和实轴上时， 一致地 |zf(z)|0 【类型二】；或F(z) 及G(z)一 致地 0 【类型三】。,36,先考虑只有一个单极点 ，由于 的存在，作如图所示积分回路。在回路内如有有限个奇点，则,当R时 第 3 部分积分为零。,37,因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。,如果是二阶以上的极点，第一项当0时，发散！,38,因此原积分为,注意：实轴上的奇点只能是单极点，不能是 二阶或二阶以上极点，更不能是本性奇点。 否则，积分（极点情形）或不存在（本性 奇点情形）。,如果实轴上有多