数学物理方法课件：7-数学物理定解问题

1、第七章 数学物理定解问题(5),1.数学物理方程（又称为泛定方程） 物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题的共性。 2.定解条件（包括初始条件与边界条件） 对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物理问题的个性。 定解问题 (泛定方程定解条件) 求一个偏微分方程的解 u( x, y, z, t )使之满足一定的初始条件和边界条件的问题称为定解问题。,1,7.1 数学物理方程的导出,2,导出步骤 确定物理量 u( x, y, z, t ):速度、位移、 确定研究微元，研究与邻近部分的相

2、互作用（抓主要矛盾，忽略次要因素） 短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整理数学物理方程,3,有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动列出弦的横振动方程。,（一）均匀弦的微小横振动,假定： 弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线 弦的质量线密度为； 静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); 弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； 张力 T重力 mg。,物理规律： 牛顿运动定律，弹性规律,小段B的纵向和横向运动方程分别为： x方向： y 方向： 因弦作微小横振动，故有 cos 1 1,

3、cos 21,确定物理量：位移量 u(x,t) 确定研究微元:小段 B(x,x+dx) 研究邻近点的相互作用：受力分析 短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响： 物理定律：F=ma 数学语言描述，并简化整理数学物理方程,4,5,x,u,o,T1,T2,x,x+dx,B,A,C,1,2,弦的长度近似不变，由胡克定律可知，弦上各点的张力与时间无关。,弦中各点的张力T 相等；张力既跟空间量无关，又与时间无关，记为常数T。进而：,6,(7.1.5),因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处，是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。,记 ，a是弦的振动传播速度，则,(7.1.6),如

4、果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向力作用，弦 y方向方程应为：,讨论P121,3,7,（二）均匀杆的纵振动,设有一柱体，横截面积为S，长为l，两端受拉力 f 的作用时，伸长l ，则应力（胁强）为 P=f /S，相对伸长（胁变）为 l / l ，由胡克定律，胁强与胁变成正比，比例系数为杨氏模量：,假定： 静止时杆位于x 轴，纵向振动时各截面的位移为 u(x,t) 坐标为 x的截面在 t 时刻沿 x方向的位移; 杆的质量体密度为，Young 模量为 E； 振动是无限小的。,8,设张应力为P（单位横截面两方的相互作用力），小段B (1)通过截面x，受到张应力P(x,t)S的作用，方向-x， (2

5、)通过截面x+dx，受到张应力P(x+dx,t)S的作用，方向+x。,t 时刻杆伸长,相对伸长量,由胡克（Hooke）定律,由牛顿运动定律,随x而异,9,由牛顿运动律,记,即,如果，杆每单位长度上每单位横截面所受纵向外力为F(x,t) ，则杆的受迫振动方程为：,10,可见：两个方程具有相同的形式，可以写成统一的形式，这一类方程统称为波动方程：,式中,以后将看到，a 是振动在弦上（横波）或杆中（纵波）传播的速度。在各向同性情况下，将一维波动方程推广至二维、三维空间：,其中,（七）扩散方程,物理过程：由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移称为扩散。,基本规律：粒子数守恒（或质量守恒）

6、,描述物理量：浓度的空间和时间分布,扩散流强度 单位时间通过单位横截面积的原子或分子数或质量表示。,11,12,确定物理量：浓度的空间和时间分布u(x, y, z, t),将扩散定律 写成分量形式,单位时间内x方向 净流入 dV 的粒子数为,13,单位时间内x方向 净流入 dV粒子数,代入,同理 y方向 z方向,所以,14,三维扩散方程,如果扩散系数D在空间中是均匀的，则,如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为,若存在源或汇，扩散源强度单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F( x, y, z, t)，此时,(7.1.24)应改为,(7.1.24),15,（八）热传导方程 物理过程：由于温度不均

7、匀，热量从温度高的地方向温度低的地方传导称为热传导。,描述物理量：温度的空间和时间分布,热流强度 单位时间通过单位横截面积的热量。,物理规律：热传导定律, 能量守恒定律,16,dt 内沿 x 方向净流入 dV 的热量,同理 y方向 z方向,若物体中存在热源，热源强度（单位时间在单位体积中产生的热量）为 F( x, y, z, t) ，则 dt时间内 dV内热源所释放的热量为 F( x, y, z, t) dxdydzdt,17,dt 时间内介质温度升高所需要的热量为,其中：为质量密度，c为比热,所以三维热传导方程为,18,三维 热传导方程,对于均匀物体，k、c、 是常数,其中：,一维热传导方程

8、为,若无热源和热汇，均匀物体热传导方程为齐次,热传导和扩散现象的两者的物理本质不同，但它们的泛定方程形式相同，都遵守输运过程的共同规律。这一类方程统称为输运方程。,19,（九）稳定浓度分布,扩散方程,的解一般含时u(x, y, z, t)，如果扩散源强度 F( x, y, z,)不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态，即 ut=0。,20,（十）稳定温度分布,热传导方程,的解一般含时u(x, y, z, t)，如果热源强度 F( x, y, z,)不随时间变化，热传导将持续进行下去，最终将达到稳定状态，即 ut=0。,21,（十一）静电场 电荷密度分布为 (x,y,z), 电

9、场分布满足方程 因此，存在标量势 u(x,y,z) 代入上式，有 Poisson 方程。 如果 (x,y,z)=0， Laplace 方程。,22,（十五）量子力学的薛定谔方程 质量为 m的微观粒子（如电子）在势场 V 中的运动满足Schrodinger 方程,若V与 t 无关（定态）, 令 分离变数, 可得,定态Schrodinger 方程,含时Schrodinger 方程,23,波动方程 (双曲型方程) 描述现象：声波、电磁波等波动过程 输运方程 (抛物型方程) 描述现象：热扩散、物质扩散等扩散过程 稳定场方程 (椭圆型方程) 描述现象：电势、稳定温度场分布等与时间无关的稳定场。,f0 称

10、为非齐次方程， f=0 称为齐次方程，u代表某个物理量的场，f 表示相应的源。,24,本节作业：第121页 第1题，第5题.,25,7.2 定解条件 边界条件 系统与外部的相互作用； 初始条件 系统过去的历史；,(一)、初始条件,扩散方程、热传导方程（时间的一阶方程）：初始分布,波动方程（时间的二阶方程）：必须知道初始位移分布及速度分布,注意：是整个系统在 t=0 时的分布，而不是仅仅知道某点或某几点的值。,26,例：一根长为l、两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离h，然后放手任其自由振动，写出它的初始条件。,27,没有初始条件的问题 在周期性外源引起的输运问题或周期性外力作用下的振动问题

11、中，经过很多周期之后，初始条件引起的自由输运或自由振动衰减到可以认为已消失，这时的输运或振动完全是周期性外源或外力所引起。我们可完全忽略初始条件的影响。 稳定场问题：如静电场、稳定的浓度分布和温度分布等，不存在初始条件问题。,28,（二）边界条件,以一维情况为例,边界条件：给出系统的边界在各个时刻的已知状态,第一类边界条件：直接给出边界上u的数值。 1）弦的横振动 两端固定 x=0端位移状态已知,2）杆的热传导 恒温 随时间变化的温度,第一类边条基本形式：,29,2. 第二类边界条件：直接给出边界上u的外法向导数的分布。 1）杆的纵振动（两端自由）,30,3）杆的热传导（两端有热流强度为 f(

12、t) 的热流流出）,两端绝热：,31,3. 第三类边界条件：给出边界上u及其外法向导数un的线性组合的值。,1）杆的两端用弹簧固定：倔强系数 k，杆处于平衡位置时弹簧无伸缩,32,2）杆的热传导：两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换,牛顿冷却定律：单位时间内通过单位横截面积与外界热交换流出的热量f(t)为h(u-)。 h:牛顿冷却系数 u:系统边界的温度 :外界的温度,33,讨论： 当hk时，系统与外界的热交换比系统内部的热传导快得多，热传导传到边界上的热量马上交换到外界去，系统边界的温度应与外界相同。 数学上，因hk，可以略去un ，得u |x=0,l = 当hk时，系统与外界的热交换比系统内

13、部的热传导慢得多，相当于绝热情况。 数学上，因hk，略去 hu，h ，得un |x=0,l =0,34,（三）衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点跃变点。在跃变点，某些物理量仍然是关联的，这就构成衔接条件。,（2）,35,再例如,用两根不同介质的杆接成的一根杆的纵振动问题中，在连接处位移相等,应力也相等,因此在连接点x=x0处有：,x0,再例如,在静电场中,在两种介质( I和 II )的分界面 上,电势相等,电位移矢量的法向分量也相等,因此在分界面处有：,x,36,（四）自然边界条件,处于物理上的合理性（如要求解为单值、有限）等原因，根据解的特性要求自然加上去的边界条件，故称为自然边界

14、条件。如 边界值为有限的： u |边界 有限 周期边界条件： u()= u(+2),37,没有边界条件的问题 半无界：研究靠近一端边界的有限时间内的场。 完全无界：研究远离边界的有限时间内的场。,38,P128, 8 一根导热杆由两段构成，已知两段热传导系数、比热、密度，初始温度是 u0 ，然后保持两端温度为零。试把这个热传导问题表为定解问题。,解 一维无源热传导方程为,或,定解问题是：,x,38,39,在交接面x=x2处: 温度相等 热流强度也相等,衔接条件：,x,40,总结：在交界面S上 电学问题， 间断，电位移矢量法向分量连续 热传导问题，间断，热流强度矢量法向分量连续 扩散问题， D间

15、断，扩散流强度矢量法向分量连续,衔接条件：,41,本节作业：第128页 第1、2、3、7 （下图）题,x,42,7.3 数学物理方程的分类,一般分类 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程; 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程。 线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程,43,（一）线性二阶偏微分方程的分类,1. 一般形式,(7.3.2),假定 a11，a12 ，a22 ，b1 ，b2 ，c，f 都是实数,2. 判别式,

16、3. 分类,0为双曲型，如波动方程 =0为抛物线型，如输运方程 0为椭圆型，如稳定场方程,线性的主要特征：满足叠加原理。,44,1. 算符,（二）叠加原理,线性偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来,写成算符形式: Lu=f ,其中 L 是线性微分算子.函数u使方程Lu=f 恒成立,称u为方程 Lu=f 的解.这里 Lu= f 可以是：(1)一般的线性偏微分方程和 (2)线性定解条件。 例如：,45,性质1: 若Lu1=0， Lu2=0，则 Lc1u1+c2u2=0 其中 c1 和 c2 是任意常数。,性质2: 若Lu1=f， Lu2=f，则 Lu1-u2=0 即非齐次方程(或非齐次定解条件

17、)的一个特解加上齐次方程(或齐次定解条件)的解仍是非齐次方程的解 。,2. 性质,46,如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作是几部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。(p128叠加原理),解为：,47,7.4 达朗贝尔公式 定解问题,（一）达朗贝尔公式 行波法,主要用于求解无界区域自由振动的波动方程的定解问题。 “没有边界的问题”： 实际物理系统总是有限的，必然有边界，如弦振动问题中，弦总是有限长； 当在不太长的时间内，另一端的影响没有来得及传回来，可以认为该边界不存在，或者说无限长，可以当做无界弦问题

18、。,48,求通解 对(1)式因式分解，有,定解问题是：,(1) (2),(7.4.1),若,A、B为常数，则方程（7.4.1）就变为 从而立即可求出其通解。,49,作变换：,即：,50,先对求积分，得,f()是任意函数,物理意义： 作坐标变换,51,在动坐标中，f2中与时间无关，以速度a 随动坐标一起 向右移动，即为行波。 f1是以速度a向左移动的行波。,2. 函数 f1与f2的确定,即,将初始条件 代入通解,52,由此解得,达朗贝尔（dAlembert）公式,53,行波,各一半,54,例p137,55,例p138,0,其中,56,0,u,57,达朗贝尔公式是根据行波法推得的一维无界弦的自由振

19、动问题的解，故只要遇到形如定解问题 的问题，或者变形后能够化为这类问题，均可以使用达朗贝尔公式直接求解。,58,3*. 用傅里叶变换求解无限长弦的自由振动,傅里叶变换可对空间变量进行。对于无界空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法，将w看做波数k。,(5.2.14),(5.2.15),为了将傅里叶变换应用于求解偏微分方程定解问题，必然涉及函数的一、二阶导数的傅里叶变换。,导数定理(p79):,更进一步:,59,定解问题是：,(1) (2),设 U(k,t)=F u(x,t), F(k)=F f(x), Y(k)=F y(x),作傅里叶变换后，定解问题变为( t 视作参数)：,(3)

20、(4),通解为,代入(4)，定出,60,所以,最后，对U(k,t)作逆傅里叶变换，应用延迟定理与积分定理,积分定理(p79):,延迟定理(p80):,达朗贝尔（dAlembert）公式,61,（二）*端点的反射,1. 端点固定,达朗贝尔公式是无限长弦的公式。,定解问题是,62,把端点固定的半无界弦的问题作为保持u |x=0 =0 的无界问题来处理，必须把 u(x, t)、 (x) 和 (x) 延拓到整个无界区域，即采用延拓法。,延拓法的基本思想： 把半无界问题延拓为无界问题，使延拓出的那一部分的作用正好代替边界的作用。,延拓为均匀无界弦的自由振动：,应满足初始条件,63,无界问题的解为,令其满足边界条件,由于初位移和初速度是独立的，故上式两项分别为零,因而无限长弦的初始位移 (x) 和初始速度 (x)都应当是奇函数。,令x=at,奇延拓,定解问题成为,解为：,以（7.4.11）代入上式,64,65,66,图7-17描画了只有初始位移而没有初始速度的情况。端点的影响表现为反射波（相位跟入射波相反）。,x,t0开始,67,2. 端点自由(杆),定解问题是,因 ux(0,t) =0，u(x,t)应当是偶函数。类似可导出无限长弦的初始位移 (x) 和初始速度 (x)都应当是偶函数。,68,定解问题成为,解为,以（7.4.16）代入上式,作偶延拓,69,70,3. 对于一般的强迫振动（非齐