数学物理方法课件：7_1 拉普拉斯变换

1、第七章 拉普拉斯(Laplace)变换,拉普拉斯变换的概念 拉氏变换的简单性质 拉氏逆变换 拉氏变换的应用举例：解常微分方程,目标要求 掌握拉氏变换的基本概念，理解其主要性质； 会求简单函数的拉氏变换； 理解拉氏逆变换，掌握其求解方法。,拉氏变换的概念,（1）：这是一种积分变换； （2）：s是复数，在积分中视为常数； （3）：拉氏变换存在的条件；（pp158，定理1） （4）：若f(t)连续，则f(t)和F(s)一一对应。,原问题 变换 较易解决的问题 （函数） （函数）,拉氏逆变换：,几个简单函数的拉氏变换,例1：单位跃迁函数,要保证t时，无穷积分收敛，则要求s的实部0,指数函数的拉氏变换,

2、例2：指数函数 (k是实数),要保证t时，上述无穷积分收敛，则要求k-s的实部k，那么,三角函数的拉氏变换,例3：三角函数 (k是实数),单位脉冲函数的拉氏变换,例4：单位脉冲(Dirac)函数,狄拉克(Dirac, 1902-1984),英国理论物理学家，量子力学的创始者之一 因狄拉克方程获得1933年诺贝尔奖 该方程从理论上预言了正电子的存在 年少的他害羞而孤独，对前途迷茫未卜 学业上连跳几级，在16岁时完成了中学学业 1921年，狄拉克以优异成绩从布里斯托尔大学毕业，但没能找到工作，1923年秋入学剑桥大学 1925年开始研究由海森伯格等人创立的量子力学，1926年发表题为量子力学的论文

3、 1928年他把相对论引进量子力学，建立了相对论形式的薛定谔方程狄拉克方程。,周期函数的拉氏变换,例5：用这条性质验证三角函数的拉氏变换，即,周期函数的拉氏变换 , t0, T0,拉氏变换的简单性质：微分性质,线性性质：和的拉氏变换等于拉氏变换的和,例6：求多项式函数 f(t)=antn + an-1tn-1 + a1t + a0 (n为正整数) 的拉氏变换。,微分性质：若 ，则,例6：求多项式函数 f(t)=antn + an-1tn-1 + a1t + a0 (n为正整数) 的拉氏变换。,象的微分,例7：采用上述性质，计算,积分性质,性质4（积分性质）设Lf(t)=F(s)，则,例8：采用

4、上述性质，计算,象的积分性质,例9：采用上述性质，计算,性质5（象的积分性质）设Lf(t)=F(s)，且积分,存在，则,拉氏变换的性质：位移性质,例10：采用上述性质，计算 ，其中n为正整数,性质6（位移性质）设Lf(t)=F(s)，则,拉氏变换的性质：延迟性质,性质7（延迟性质）设Lf(t)=F(s)，那么，函数,例11：采用上述性质，计算,的拉氏变换为,拉氏逆变换,定理1（存在性）设Lf(t)=F(s)，Re(s)c，那么，当t0时，在f(t)在每一个连续点处成立,其中积分是沿任一直线Re(s)=c进行的，且当t0时,拉氏逆变换,定理2（如何求？）设s1, s2, , sn是函数F(s)的

5、所有奇点，适当选取使这些奇点满足在Re(s)内，且当s时，F(s)0，则有,那么，求拉氏逆变换转化为求复积分或留数。,拉氏逆变换的计算,例12：求拉氏逆变换,拉氏逆变换的计算,例12：求拉氏逆变换,卷积和卷积定理,卷积公式,例如：,求f1(t)*f2(t).,卷积的性质,1、交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 2、分配律： f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+ f1(t)*f3(t) 3、结合律： f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),卷积定理即应用,卷积定理,那么,若,拉氏变换的应用：解常微分方程,例14：求解微分方程的特解,拉氏变换的应用：解常微分方程,Laplace变换：小结,1、Laplace变换的定义 2、 Laplace变换的性质：微分、积分、位移性质等（可灵活应用于求Laplace变换） 3、 Laplace逆变换的存在性（反演积分），如何求解？求F(s)est的留数总和。 4、Laplace变换