数学物理方法课件：4_2 泰勒级数罗朗级数_第1页
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文档简介

1、第四章 级 数,复数项级数 幂级数 泰勒（Taylor）级数 罗朗（Laurent）级数,泰勒、罗朗级数定理是柯西积分公式和高阶导数的应用； 罗朗级数是第五章（留数）的基础； 掌握泰勒级数、罗朗级数的概念； 理解泰勒级数、罗朗级数展开定理； 会求泰勒级数、罗朗级数。,复习：幂级数敛散性判别法,比式判别法,根式判别法,两个重要级数 f(z)=1/(1-z)=1+z+z2+z3+ f(z)=1/(1+z)=1-z+z2-z3+ 当|z|1时，上述级数绝对收敛。,幂级数的运算：利用运算法则展开级数,1、代数运算（加减乘除）,2、代换运算,3、分析运算（求导，求积分）,泰勒级数展开定理,幂级数的和函数

2、（在其收敛圆内）是解析函数， 那么，解析函数可表示为幂级数吗？,注： 1）这个幂级数的收敛半径是？ 2）R可取什么值？,R0,R,定理：设复变函数f(z)在z0处解析，R表示f(z)的奇点中离z0最近的那个奇点到z0的距离，则： 1） f(z)在该圆内可表示为幂级数 2）幂级数是唯一的。,幂级数的和函数,解析函数,？,f(z)在z0处的展开式,泰勒级数的系数,泰勒级数的系数：,例1：把函数ez, cos(z), 在z=0处展开为泰勒级数，问：收敛半径分别是多少？,例2：把函数(z-1)/(z+1)在z=1和z=i处展开为泰勒级数，问：收敛半径分别是多少？,收敛半径,提示：采用重要级数1/(1-

3、z)=1+z+z2+z3+,罗朗级数的概念,用什么办法在点z=1展开f(z)？,讨论上述级数的敛散性质。,正项级数在圆内收敛；半径记为R2 负项级数在圆外收敛；半径记为R1 只有两者收敛，上述级数才收敛； 结论：上述级数可能在圆环R1 z R2内收敛。,概念：把级数 分为正幂项和负幂项,或,罗朗级数展开定理,和高阶导数的联系？,注意： z0不要求是奇点； 一般不会直接用定理展开罗朗级数，而是采用级数的运算。,罗朗级数的展开方法,例3：将下列函数展开为圆环内的罗朗级数,或,例4：f(z)=1/(z2-3z+2)， 1|z|2,本章（级数）小结，作业,复数项级数收敛的必要条件； Abel判别定理； 幂级数收敛的判别法：根式判别法，比式判别法； 泰勒级数的展开法：求导，根据某些重要级数； 罗朗级数的含义：既含正幂项也含负幂项 罗朗级数的展开法；

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