科学计算方法17(数值积分1)

1、凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也,积分计算,1. 原函数复杂 syms x, int(sin(x), int(exp(-x2), int(exp(sin(x),2. 给定离散的观察数据(或函数值),数值积分研究包括如下方面:,数值积分公式的构造,数值积分公式的误差,引例.,左矩形积分公式:,右矩形积分公式:,引例.,中矩形积分公式:,梯形积分公式:,clear all syms x a=0.1; b=2; int_true=int(x(0.5),x,0.1,2)%精确解用int计算。 f=inline(x.(0.5); int_left=0.5*(f(b)+f(

2、a)*(b-a);%梯形公式，试试矩阵公式呢？,%更加直观展示结果的可视化 f=inline(x.(0.5);%高阶版本建议匿名函数 a=0.1; b=2; n=10000; x=linspace(a,b,n); y=f(x); figure, plot(x,y) hold on, fill(a,b,b,a,a,0,0,f(b),f(a),0,r),例1. 计算,回顾：积分中值定理,例2. 基于二次插值方法推导数值积分公式。,记h=(b-a)/2, xj = a + jh ( j = 0, 1, 2 ),Simpson积分公式,其余项为,例2. 计算,基于等距节点xj (j=0,1, , n)

3、构造的插值型求积公式称为 n阶牛顿-柯特斯积分公式,令,Lagrange插值,由于高阶Newton-Cotes公式来源于高次插值多项式,而高次多项插值多项式将产生Runge现象,因为会影响数值积分的精度。因此实际中不使用高阶的Newton-Cotes公式。,多项式插值,Newton-Cotes家族,简单多项式近似复杂函数,Integrals as Sums and Derivatives as Difference,n等分将积分区间a,b, 步长h=(b-a)/n, 选取等距节点xj =a+jh构造的求积公式称为 n阶牛顿-柯特斯积分公式,Integrals as Sums and Deriv

4、atives as Difference,机械求积: 在区间上适当选取某些节点xj, 然后用f(xj)加权平均构造出如下积分公式,其中xj称为插值节点, Aj称为积分系数。这类数值积分方法通常称为机械积分, 其特点是将积分问题化归为函数值的计算。设计积分公式, 需要提供积分节点及其相应的积分系数(加权系数)。,对多项式P(x)= 1,x, , xn积分公式都精确成立,对多项式P(x)= 1,x, , xn积分公式都精确成立则对任意n次多项式成立。,定义: 对多项式P(x)= 1,x, , xn积分公式都精确成立,则称该数值积分公式具有n阶的代数精确度。,机械积分方法是近似方法,为了保证精度自然

5、希望它能对尽可能多的简单函数是准确的。,例3 研究梯形积分公式的代数精确度。,梯形积分公式代数精度为1,例4 研究Simpson积分公式的代数精确度。,Simpson积分公式代数精度为3,容易验证对f(x)=1,x, , xn严格成立,定理. n阶Newton-Cotes积分公式代数精度至少为n阶。,定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes积分公式至少有(n+1)阶代数精确度。,证明：,由于对f(x)=1,x, , xn积分余项为零, 积分公式严格成立。下面证明对f(x)= xn+1积分余项为零。,下面利用Simpson积分公式具有3次代数精度, 研究其积分公式的误差余项?,设计n

6、阶代数精度的积分公式只需验证f(x)=1,x, , xn,机械积分公式:,解: 令原式对于 f(x)= 1, x准确成立, 则满足,积分公式为,例5 试设计积分公式,令f(x)=x2则,故设计的积分公式仅有一阶代数精度。,解: 令原式对于 f(x)= 1, x, x2准确成立, 则满足,积分公式为,例6 试设计积分公式,对f(x)=x3公式成立而对f(x)=x4公式不成立。,故设计的积分公式仅有三阶代数精度。,例7 试设计积分公式,解: 令原式对于 f(x)= 1, x, x2准确成立, 则满足,设计n阶代数精度的积分公式只需验证1,x, , xn,机械积分公式:,积分公式对1,x, , xn

7、成立可以建立n+1个方程, 则可以确定n+1个待定系数。,如果积分节点可以自由选择,积分公式对1,x, , x2n+1成立可以建立2n+2个方程, 则可以确定2n+2个待定系数。,定义 如果积分节点x0, x1,xn,使插值型积分公式 的代数精度为2n+1,则称该积分公式为Gauss型积分公式, 这些积分节点称为Gauss点。,例8. 构造代数精度为3的数值积分公式,解: 取 f(x)=1, x, x2, x3,(1) (2) (3) (4),(4)-(2)x02,x12= x02,(3)-(1) x02,x02=1/3,由两点高斯型积分公式的构造过程不难想象, 讨论一般高斯型求积公式构造是不

8、可能直接求解类似的非线性方程组。,定义6.3 设 f(x), g(x)Ca, b, , 则称,为f(x)和g(x)在a, b上的内积。,内积:,当(f,g)=0,则称f(x)和g(x)在a, b上正交。,例9. 求在 1, 1上正交的零次多项式0(x), 一次多项式1(x)和二次多项式2(x)。,解:,设 2(x) = x2 + a21x + a22,所以,在 1, 1上正交的多项式 P0(x)=1, P1(x)=x和P2(x)=x2 1/3属于勒让德(Legendre)多项式,Ref： T. Saucer, Numerical Analysis,定理 如果p0,p1,pn是a,b上的一组勒让

9、德多项式, 那么p0,p1,pn是a,b上次数最高为n的多项式的向量空间的一组基。n+1次勒让德多项式与任意的不超过n次的多项式正交。,定理 如果多项式wn+1(x)=(x x0) (x x1)(x xn) 与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交,即,则 wn+1(x)的所有零点x0, x1 , xn 是Gauss点。,证明:,积分节点为Gauss点只需要证明相应插值型积分公式代数精度2n+1, 即对任意(2n+1)次多项式f (x)积分公式严格成立。,回顾,其中 P(x)和Q(x) 次数小于等于n次多项式。,任意(2n+1)次多项式f (x),给定积分节点x0, x1,xn, 机械积分公式,两端积分得,由于wn+1(x)与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交,的代数精度为n。,由于 Q(xk)= wk+1(xk)P(xk) + Q(xk) = f (xk),所以,积分公式对于次数小于等于n次多项式Q(x)精确成立,积分公式对于次数小于等于2n+1次多项式f(x)精确成立, 故高斯型积分公式代数精度2n+1。,两点Gauss公式,积分公式:,P2(x)=x2 1/3的零点即Gauss点,P3(x)=(5x3 3x)/3的零