离散数学 函数的复合与反函数.ppt

1、4.7 函数的复合与反函数,函数的复合 函数复合的定理 函数复合的性质 反函数 反函数存在的条件 反函数的性质,由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上 就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成 方法是一致的。,由图可知 f 和g合成后的函数称为复合函数， 记为g f。且gf =, , 。,例如: 已知 f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，它们所确定的对应关系如图所示。,f=, , ， g=, , , ，,由于函数是一种特殊的二元关系同，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成。,例如设f 是A到B的函数，g是B到C的函数，它对所确定 的对应关系如图所示：,如果将函数f

2、看作是A到B的二元关系，g看作是B到C的二元 关系，合成后的关系记为R，它是A到C的二元关系， 记为R=f g，且R=(x,b),(y,b),(z,a).,f=, , ， g=, , , ，,一、复合函数的定义,设f 是A到B的函数，g是B到C的函数，f 和 g合成后的函数 称为复合函数，记为g f 。它是A到C的函数。 当a A, b B, c C，且f(a)=b,f(b)=c 时，g f(a)=c.,注意：当 f 和g 看作是二元关系时，合成后的关系记为f g， 但当f 和g 看作是函数时f 和 g合成后的函数称为复合函数， 记为g f 。,定理 设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满

3、足 (1) dom(FG)= x | xdomF F(x)domG (2) xdom(FG) 有 FG(x) = F(G(x),例：设集合A=x,y,z ,B=a,b,c,d, C=1,2,3,f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，其中 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=c g(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3 求复合函数g f。,解：由定义可知复合函数g f是A到C的函数。且 g f(x)= g (f(x)= g (b)=2.,g f(y)= g (f(y)= g (c)=1.,g f(z)= g (f(z)= g (c)=1.,推论1 设 f：AB, g：

4、BC, 则 f g：AC, 且 xA 都有 f g(x) = f(g(x).,推论2 设F, G, H为函数, 则 (FG)H 和 F(GH) 都是函数, 且 (FG)H = F(GH),由于函数是一种特殊的二元关系，而二元关系的合成可以看作是一种运算，且这种运算满足结合律但不满足交换律。于是有：,推论3 设F, G为函数, 则 FG和 GF 都是函数, 且 FGGF,函数复合运算的性质,定理 设 f：AB, g：BC. (1) 如果 f 和 g都是单射函数, 则 g f ：AC也是单射的函数. (2) 如果 f 和 g都是满射函数, 则 g f ：AC也是满射的函数. (3) 如果 f 和

5、g都是双射函数, 则 g f ：AC也是双射的函数.,证 (1) c C, 由 g：BC 的满射性, b B 使得 g(b)=c. 对这个b, 由 f：AB 的满射性，a A 使得 f(a)=b. 由合成定理有 g f (a)=g(f(a)=g(b)=c 从而证明了 f g：AC是满射的.,二、函数的逆（反函数）,对于二元关系R，只要交换所有的有序对，就能 得到逆关系 ；,但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到 却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系 才是函数。,二、反函数(函数的逆),但对于函数 f , 交换f 的所有有序对得到的逆关系f 1是二元关系却不一定是函数。 如

6、：F=,， F 1=,对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得 其逆关系 ；,反函数存在的条件,但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到 却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系 才是函数。,反函数的定义及性质,反函数的定义： 对于双射函数f：AB, 称 f 1：BA是 它的反函数.,定理 设 f：AB是双射的, 则f 1：BA也是双射的.,反函数的性质： 定理: 设 f：AB是双射的, 则f 1f = IA, f f 1 = IB对于双射函数 f：AA, 有f 1f = f f 1 = IA,函数复合与反函数的计算,例：设R是实数集，且f,g,h是R到R的函数其中 f

7、(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3, 求 f g, g f， (f g)h 和 f (gh).,解： f g(x)=f(1+x2)=2+x2,g f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2,(f g)h(x)=(f g) (1+x3)=2+ (1+x3)2,f (gh)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2,思考： 设 f ：RR, g ：RR 求 f g, g f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.,f：RR不是双射的, 不存在反函数. g：RR是双射的, 它的反函数是 g1：RR, g1(x) = x2,解：,思考： 设a1,a2,an是任

8、意的n个正整数， 证明存在i和k (i0,k1)，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被n整除。,三、鸽洞原理,如果某人营造了n个鸽洞，养了多于n只鸽子， 则必有一个鸽洞有2只或 2只以上的鸽子， 这就是鸽洞原理。,用数学语言来描述这个原理，即： A，B是有限集合，f 是A到B的函数， 如果AB，则A中至少有两个元素， 其函数值相等。,一般的情况是：当鸽洞为n个，鸽子数大于 nm只时，必有一个鸽洞住有m+1只或多于 m+1只鸽子。,例如，有3个鸽洞，13只鸽子，则必有一个鸽洞， 住有5只或 5只以上的鸽子。,更一般的情况是： A，B是有限集合，f 是A到B 的函数，如果A nm ，B=

9、n，则在 A中至少有m+1个元素，其函数值相等。,例：证明任意n+1个正整数，其中必有两个数 之差被n整除。,证明 由于任意正整数被n除后，其余数只能 是0，1，2 n-1，所以n+1个正整数中， 必有两个数被n除后余数相同， 因此这两个数之差必能被n整除。,例: 某人步行驶10小时，共走45公里，已知他第 一小时走了6公里，最后一小时只走了2公里， 证明必有连续的两小时，在这两小时内至少 走了10公里。,证明: 设第i小时走了ai公里，连续的两小时所走里 程为a1+a2, a2+a3, a9+a10,共有9种； 因为（ a1+a2 ）+（ a2+a3 ）+ + (a9+a10) =245-6

10、-2=82, 所以必有连续的两小时里所走里程大于等于10公里。,例: 证明在1100的正整数中，任取51个正整数， 其中必存在两个数，一个数是另一个数的倍数。,证明 对于任意的偶数，使得：偶数=奇数2k. 构造以下50个集合： A1=1，12，122，123，124，125，126 A3=3，32，3 22 ，3 23 ，3 24 ，3 25 A5=5，52，5 22 ，5 23 ，5 24 A7=7，72，7 22 ，7 23 A9=9，92，9 22 ，9 23 A11=11，112，11 22 ，11 23 A13=13，132，13 22 . A49=49，492 A51=51 A53

11、=53 . A99=99,这50个集合中元素的总和共100个，恰好是1100的 所有正整数，且在含有2个或2 个以上元素的集合 A1，A3，A5，, A49中，同一个集合中的任意 两个正整数必是：一个数是另一个数的倍数。 因此在1100的正整数中任取51个数，其中至少 有两个数属于同一个集合， 所以这两个数中有一个数是另一个的倍数。,证明 A1(小王) A2 (小张) A3(小何) A4(小周) A5(小杨) A6(小刘),思考: 试证在任意六个人中必有三人他们相互认识 或相互不认识.,例: 在一个有6个点的完全图中，给每一条边涂色， 可随意涂红色或白色。证明在这个完全图中，必存在 一个三角形，其三条边的颜色相同。,证明 A1 A1 A2 A3 A2 A3 A4 A5 A4 A5 A6 A6,思考： 设a1,a2,an是任意的n个正整数，证明存在i和k (i0,k1)，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被n整除。,证明 令 A1= a1 A2= a1+a2 A3= a1+a2+a3 An= a1+a2+an 在这n个数A1，A2， ，An中，如果有一个