_概率论与数理统计_中借助数学实验理解几个极限定理_W

1、第卷第期 大 学 数 学 ， 年月 概率论与数理统计中借助数学实验理解几个极限定理 韩 明 （宁波工程学院 理学院，浙江 宁波 ） 摘 要 立足于打破传统的教学模式，融入数学实验思想和方法，淡化严密形式，关注应用思维的数学教学指导思想借 助 设计实验，直观形象地展示 概率论与数理统计中 的 泊 松 定 理， 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理等，从观念上、方法上解决了数学抽象性与人才培养特征之间的矛盾 关键词 数学实验；概率论与数理统计；极限定理；棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 中图分类号； 文献标识码 文章编号（） 引言 概率论与数理统计课程是高等学校工科类、经管类等各专业的重要公共基础课概率论与数

2、理 统计的理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济中概率论与数理统 计课程的教学效果对学生应用能力的培养有着举足轻重的作用 在概率论与数理统计教学过程中，与极限有关的几个定理部分是教学中的难点对这部分内容的理解，将影响到整个概率论及数理统计课程的教学效果对此，通过设计生动有趣的例子，利用 和多媒体教学来直观形象地解释几个极限定理，激发学生探究知识的欲望，达到提高教学效果的目的随着多媒体技术的发展，应用数学软件（如 等）在教学中将抽象的数学内容用可视化的形式展现出来，便于学生理解随着计算机技术的发展，借助数学软件的计算、画图等功能学习数学得到了迅速发展关于“将数学实验的思想

3、和方法融入大学数学教学”，见文献 在概率论与数理统计中与极限有关的几个定理包括：泊松定理，伯努利大数定律，独立同分布中心极限定理，棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理等以下我们借助数学实验给出几个具体的例子，对以上几个极限定理给出直观理解 本文将在第二节中，给出泊松定理的直观理解；在第三节中，给出伯努利大数定律的直观理解；在第 四节中，给出独立同分布中心极限定理的直观理解；在第五节中，给出棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 的直观理解 * 泊松定理的直观理解 泊松定理 设 是一个常数， 是任意自然数， ，则对于任意固定的非负整数 ，有 （ ） ， ！ 收稿日期 大 学 数 学 第卷 根据泊松定理，当 很大 很

4、小时， （ ） 在实际计算中，当 很大 很小时，就可以 用 作为 （ ） ！ 的近似值，计算较为方便 ！ 例 比较二项分布 （，）和泊松分布（），并说明它们的关系 解 以下从二项分布 （，）和泊松分布 （）的分布律计算结果、分布律的折线图两个方面来进行比较 （）当 ， ， 时，二项分布（， ）和泊松分布 （ ）的分布律计算结果，如表所示 表 （；， （；） （；， （；） 注 在上表中 （；， ） （ ） ， ， ， ， ； （ ；） ， ， ， ， ！ 当 时， （；，），（；） 从表可以看出，二项分布（，）和泊松分布（）的分布律计算结果近似程度比较好 （）二项分布（，）和泊松分布（）的分布

5、律折线图，见图 图 二项分布和泊松分布的分布律折线图 注 在图中，表示二项分布（，）的分布律， 表示泊松分布（）的分布律 从图可以看出，二项分布（，）和泊松分布（）的分布律折线图接近程度比较好 从以上（）和（）两个方面都说明，二项分布（，）和泊松分布（）非常接近这就直观地验证了泊松定理 伯努利大数定律的直观理解 伯努利大数定律 设 是 次独立重复试验中 发生的次数， 是 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有 （ ） 第期 韩明：概率论与数理统计中借助数学实验理解几个极限定理 伯努利大数定律表明， 发生的频率 依概率收敛于 发生的概率 它揭示了“ 发生的频率具有稳定性”因此，在实际问题的

6、应用中，当试验的次数很大时，就可以用 的频率代替 它的概率 例 抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为以下分三种情况分别给出硬币出现正面的频率与概率的关系，三种情况下均进行组实验，每组实验次数即抛硬币的次数分别为， 解 三种情况下均进行组实验，每组实验次数即抛硬币的次数分别为，硬 币出现正面的频率与概率的偏离情况见图（）（） 从图的（）（）可以看出，硬币出现正面的频率与概率的偏离程度，随着抛硬币次数的增加 （），频率与概率的偏离程度越来越小，即频率与概率越来越接近这就直观地验证了伯努利大数定律 独立同分布中心极限定理的直观理解 独立同分布中心极限定理 设随量 （ ，）相互独立，服从同一分布，且具

7、有数学 期望和方差，（），（） （ ， ），则随量之和 的标准化变量 （ ） * 槡 （ ） 槡 的极限分布是标准正态分布 大 学 数 学 第卷 独立同分布中心极限定理说明，具有数学期望（），方差 （） 的独立同分布的 随量 （，）之和 的标准化变量，当 充分大时，近似服从标准正态分布 在一般情况下，很难求出 的分布的确切形式独立同分布中心极限定理说明，当 充分大时， 可以利用正态分布对 进行近似计算 例 设 （ ，）是一些相互独立同分布的随 量，且它们都服从参数为 的泊松分布 （ ），可以证明 （见文献） （； ）当时，随着 的增加（ ，）， 将如何变化？ 的标准化 变量又将如何变化？ 解

8、当 ， 和 时， （；）的分布律折线图，见图 从图可以看出， 的分布律折线图，随着 的增加 图 的分布律折线图 （）越来越接近正态分布密度函数的形状即当 较大时， 近似服从正态分 布，因此 的标准化变量近似服从标准正态分布这就直观地验证了独立同分布中心极限定理 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理的直观理解 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 设随量 （ ，）服从参数为 和（ ）的二项分布，则对于任意的 ，有 槡（） （） 槡棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理说明，当 充分大时，二项分布 的标准化变量 从标准正态分布 近似服 槡（）这样，在实际中当 充分大时，可以利用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理来近似计算二项分布的问

9、题 例 设 （ ，）是一些相互独立同分布的随 量，且它们都服从分布（， ），则 服从二项分 布 （， ）随着 的增加（ ，），二项分布（，）将如何变化？二项分布（ ，）的标准化变量又将如何变化？ 解 当 ， 时，二项分布 （ ，）的分布律折线图，见图 从图可以看出，二项分布（ ，）的分布律折线图随着 的增加 （）越来越接近正态分布密度函 数的形状即当 较大时，二项分布 （ ，）近似服从正态 图 二项分布 （，）的分布律折线图 第期 韩明：概率论与数理统计中借助数学实验理解几个极限定理 分布，因此二项分布（，）的标准化变量近似服从标准正态分布这就直观地验证了棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 结束语 以上我们通过几个具体的例子，借助数学实验对概率论与数理统计中与极限有关的几个定理（泊 松定理，伯努利大数定律，独立同分布中心极限定理，棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）给出了直观理解关于概率论与数理统计实验，见文献的第五章 应该说明，对以上几个概率论与数理统计中的极限定理给出直观理解的例子，已经写入了概率 论与数理统计教材中 参 考 文 献 张水胜，宇世航，王晓霞基于 的概率论极限理论的教学探讨高师