平行四边形单元小结

1、平行四边形复习,平行四边形复习,1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形 如图： ABCD对边分别为ABCD，ADBC,2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC） 对角相等（A=C，B=D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）,3、平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （AB=CD，AD=BC 四边形ABCD为平行四边形）,两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （BAD=DCB，ABC=ADC 四边形ABCD为平行四边形）,对角线互相平分的四边形是平行四边形 （AO=CO，BO=DO 四边形ABCD为平行四边形）,一组对

2、边平行且相等的四边形是平行四边形 （AB=CD且ABCD 四边形ABCD为平行四边形） （AD=BC且ADCD 四边形ABCD为平行四边形,两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （ABCD，ADBC 四边形ABCD为平行四边形）,学习检测,1、如图， ABCD中，A=120，则1= 。,60,2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）,C,3平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则AOB的周长为_,4在平行四边形ABCD中，A=70，D=_, BCD=_,ABCD为平行四边形 BO=OD，AO=OC AC+B

3、D=14 BO+OD+AO+OC=14 BO+AO=7 AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13,ABCD为平行四边形，A=70 ABCD，A=BCD=70 A+D=180 D=180-A=180-70=110,13,110,70,5、点A、B、C、D在同一平面内，从AB/CD；ABCD；BC/AD；BCAD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（） AB C D ,B,6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ） A大于2， B小于14 C大于2且小于14 D大于2或小于12,C,解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x 8-6

4、x6+8，2x14,解析：平行四边形的判定方法,7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， BAD 、 ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。,2,解析：BC平分BAD，DF平分ADC,BAE=DAE，ADB=CDF,ABCD是平行四边形,ADBC，AB=CD=5,DAE=AEBADF=DFC,AB=5,AD=8,AB=BE=5，CD=FC=5,EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3,EF=BC-BF-EC=8-3-3=2,8、如图，ab点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上， 如SABC=5cm2，则SBCD= 。,5cm2,解析：ABC和BCD的底边

5、都为BC，高位a和b之间的距离，面积相同,4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线 于点F，若BC=2AB，FBC=70，求EBC的度数,解：由 ABCD可知AB=CD DCAB DCF=EFA，AEF=DCF E为AD中点 AE=ED DECAEF CDAF ,CE=EF BC=2AB，AB=CD AB=AF BF=BC EBC= FBC= 70=35,5：如图：已知 ABCD ，EAD=BAF （1）试证明：CEF是等腰三角形 （2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。,解（1）四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD EAD=F BAFE 又

6、EAD= BAF E= F CECF CEF是等腰三角形,4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M （1）请说明：AEBF （2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明,证明(1) 四边形ABCD是平行四边形 ADBC DAB DAC180 又AE、BF分别平分DAB和ABC BAE DAB ABFABC BAE+ ABF= （ DAB + ABC ）=90 AEBF,(2) 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC ABCD BAE= BFC 又 AE、BF分别平分DAB和ABC BAE= AED ABF= CBF DAF= AED

7、 CBF= BFC DE=AD CFBC DE=CF 即DE+EFCDEF DF=CE,5. 在 ABCD中，AC6、AB4，则BD的范围是_ 6在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的 长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长 是 ,7.已知ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= ; 当B=60时，AD BC间的距离AE= , ABCD的面积=,2x14,20,10,三角形的中位线,1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 (E为AC的中点，F为AB的中点，EF为ABC中位线) 2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半.

8、 (EF为ABC中位线 EF=BC，EFBC) 3、一个三角形有三条中位线。,1.在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5， 则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ， 连结各边中点所成三角形的周长为_ _ 3ABC中，D、E分别为AB、AC的中点， 若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_ _,2.5,10cm,18,学习检测,4已知：ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的 中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长 是 cm,24,特殊的平行四边形矩形,1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 （四边形ABCD为平行四边形，A=90

9、 四边形ABCD为矩形）,2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，ABCD，ADBC） 四个角都是直角 （BAD=ABC=BCD=CDA=90） 对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）,3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 BCD中，BCD=90，CO是BD中线 CO=BD（或CO=BO=OD）,矩形的判定： 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 四边形ABCD是平行四边形，ABC=90 四边形ABCD为矩形 2、对角线相等的平行四边形是矩形 四边形ABCD为平行四边形，AC=BD 四边形ABCD为矩形 3、有三个角是直角的四边形是矩形 ABC

10、=BCD=CDA=90 四边形ABCD为矩形,学习检测,1.RtABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中 线长为 。,2已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个 交角为120，则矩形的边长分别为 _cm， cm， cm， cm,3下列说法错误的是（ ） A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等 C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,5,5,5,C,4.如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BC于 O为对角线AC、BD的交点，且CAE15， （1）求证：AOB为等边三角形； （2）求BOE的度数,AB=BE OB=BE BOE=BEO

11、 又EBO=ABC-ABO =90-60=30 BOE=,5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角 线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长。,解: 矩形纸片ABCD DAB=90AD=BC, AB=CD BD=,42+x2=（8-x）2 解得：x=3 AG=3,6.如图 ，在平行四边ABCD中，E.F为BC上的两点， 且BE=CF,AF=DE. 求证：(1) ABF DCE; (2)四边形ABCD是矩形,(2)由（1）的结论知B=C 平行四边形ABCD,ABCD B+C=180 B=90 四边形ABCD是矩形,7.（2011中考题）如图，在ABC中，点O是A

12、C边 上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC. 设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线 于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边 形AECF是矩形？并证明你的结论。,当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形 证明：CE平分BCA,1=2， 又MNBC, 1=3， 3=2，EO=CO. 同理，FO=COEO=FO 又OA=OC, 四边形AECF是平行四边形 又1=2，4=5， 1+5=2+4.又1+5+2+4=180 2+4=90 四边形AECF是矩形,2,特殊的平行四边形菱形,1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 四边形ABCD为平

13、行四边形，AB=BC 四边形ABCD为菱形,2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，ABCD，ADBC） 对角相等 （BAD=BCD，ABC=CDA） 对角线互相垂直，且平分对角 （ACBD，OAD=OAB=OCD=OCB）,3、菱形的判定： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC 四边形ABCD为菱形 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边形ABCD为平行四边形，ACBD 四边形ABCD为菱形 3、四条边相等的四边形是菱形 AB=BC=DC=AD 四边形ABCD为菱形,1、菱形的的两邻角之比为12 ，且较短的对角线长3，则 菱形

14、的周长是（ ） A、8 B、9 C、12 D、15 2、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5， AO=4，则对角线AC的长为_、BD的长为_。 3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角 线长_。,学习检测,C,8,6,8,4、如图,四边形ABCD是菱形，ACD30BD=6cm （1）BAD, ABC的度数。 （2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.,解：（1）四边形ABCD是菱形 BCA=DCA,DAB=BCD, ABC+BCD=180 ACD30 BAD=DCB=60，ABC=180-BCD=120 四边形ABCD是菱形 ACBD OA=OC,OD=

15、OB , BC=CD,又BCD=60 BCD为等边三角形 BC=BA=BD=CD=AD=6cm BO=DO=3cm,5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上 的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD 于G，BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。,6. （2014中考题）已知：如图，在梯形ABCD中， ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点， 求证：四边形BCDE是菱形,证明：ADBD， ABD是Rt E是AB的中点， BE=,AB，DE= AB,BE=DE， EDB=EBD， CB=CD， CDB=CBD，ABCD， EBD=CDB， EDB=EB

16、D=CDB=CBD， BD=BD， EBDCBD （SAS ）， BE=BC， CB=CD=BE=DE， 菱形BCDE（四边相等的四边形是菱形）,7.（2011中考题）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD， BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE,（1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若ABC=60，CE=2BE，试判断CDE的形状，并说明理由,（1）证明：如图，AE平分BAD， 1=2， AB=AD，AE=AE， BAEDAE， BE=DE， ADBC， 2=3=1， AB=BE， AB=BE=DE=AD 四边形ABED是菱形,理由：如图，过点D作DFAE交BC于点F， 则

17、四边形AEFD是平行四边形， DF=AE，AD=EF=BE，,CE=2BE， BE=EF=FC， DE=EF， 又ABC=60，ABDE， DEF=60， DEF是等边三角形， DF=EF=FC， CDE是直角三角形,1.正方形既是_图形，又是_图形 正方形有_条对称轴。 2.正方形既是_形,又是_形，它既具有 _的性质，又具有_的性质。 3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是 _形，再证该四边形是_ 形。 4.正方形的四条边_，并且对边_.邻 边_ 5.正方形的四个角都是_. 6.正方形的两条对角线_且_,并且每 条对角线平分_.,特殊的平行四边形正方形,中心对称,轴对称,四,矩形,

18、菱形,矩形,菱形,矩形,菱形,相等,平行,互相垂直,直角,相等,互相垂直平分,一组对角,学习检测,1.判断： （1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ） （2）对角线相等的矩形是正方形。（ ） （3）四边都相等的四边形是正方形。（ ） （4）矩形包括长方形和正方形。（ ） （5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（ ）,2. 正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DGAE于G, DG交OA于F. 求证：OE=OF.,3、(2014年中考题) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC， 对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。,4