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1、1,第五节 极限存在性定理与两个重要极限,证略.,一、极限存在定理,定理(夹逼定理),2,例1,解,由夹逼定理得,3,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.,定理(夹逼定理),证略.,4,定理 单调有界数列必有极限.,称单调增加,称单调减少,单调数列,具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.,5,二、两个重要极限,1,6,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立.,7,基本不等式：,等号当且仅当 x = 0 时成立.,等号当且仅当 x = 0 时成立.,8,即得,9,所以,先证,10,例2,上述重要极限说明：,例3,11,例4,解,12,定理(等价无穷小替换定理),证,只有在乘、除

2、的极限运算中才能替换；,注意,在加、减的极限运算中不能替换！,13,例5,解,例6,解,14,例7,解,解,错,15,例8,解,16,下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：,17,18,增大，且项数增加一项(每一项均为正),19,20,以e为底的对数称为自然对数，,可以证明，相应的函数极限有,或,21,例9,解,22,例11,解,例12,解,例10,解,23,例13 连续复利问题,如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本息之和为,24,随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为,称之为连续复利.,例如,年利率为3%,则连续复利为,类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素

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