线性代数第一章.ppt

1、线 性 代 数,牛莉 等编著,中国水利水电出版社,第1章 行列式,1.1 全排列及其逆序数,1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序 定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）,计算排列逆序数的方法： 设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大且排在 前面的数有 个，就说这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列

2、的逆序数，即,例1 求下列排列的逆序数： （1） ； （2） 解 此排列为偶排列 （2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定,1.1.2 对换 定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换 定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶性 由定理1可得下面的推论 推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数,推论2 全体 元排列（ ）的集合中，奇、偶排列各占一半,1.2 行列式的概念,1.2.1 二、三阶行列式 一、二阶行列式 求解二元一次方程组 (1.2.1) 引入符

3、号 称 为二阶行列式（1.2.1）的系数行列式），它代 表一个数，简记为 ，其中数 称为行列式 的第 （行标）行、第 （列标）列的元 素,当 时，求得方程组(1.2.1)的解为 ， 根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中 的分子也可用二阶行列式表示若记 其中 表示将 中第 列换成(1.2.1)式 右边的常数项所得到的行列式,，,其中,于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解,，,二、三阶行列式 求解三元一次方程组 (1.2.2) 引入符号 称为三阶行列式（1.2.2)的系数行列式）,三阶行列式的对角线法则： 当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解

4、， 其中,三阶行列式具有以下特点： （1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成 ，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成 ，而第二个下标（列标）排列成 ，它是自然数 的某个排列； （2）各项所带的符号只与列标的排列有关： 带正号的三项列标排列： ；带负号的 三项列标排列是： 由上节知，前三个 排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此 各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排 列的逆序数；,（3）因 共有 个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和 因此，三阶行列式可以写成 其中 为排列 的逆序数，即 ， 上式表

5、示对 三个数的所有排列 求和,1.2.2 阶行列式的定义 定义3称由 个数 排成 行列组成的记号 为 阶行列式，简记为 ,阶行列式可表示为 其中表示对 的所有排列取和，数 称 为行列式 的元素 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数,定义4对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式 阶上三角行列式,同理， 阶下三角行列式,1.3 行列式的性质,转置行列式: 设 将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为,称 为 的转置行列式显然 也是 的转 置行列式，即 性质1 行列式与其转置行列式相等，即 性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号 推论 行列式有两行

6、（列）相同，则此行列式为 零 性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以 同一数 ，等于用数 乘此行列式,推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零 性质4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零 性质5 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和,即,性质6 将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变即第 行乘 加到第 行上，有,为叙述方便，引进以下记号： （1）交换行列式的 两行（列），记为 ； （2）第 行（列）乘以

7、，记作 ， 第 行（列）提出公因子 ，记作 ； （3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行 （列）上，记为 ,例1 计算 解,例2 计算 解,例3计算 解从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列,例4计算 阶行列式,解从第1行开始前行乘加到后行上，得,其中记号“”表示全体同类因子的乘积,1.4 行列式按行（列）展开,1.4.1 行列式按某一行（列）展开 定义5 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行和第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ；称 为元素 的代数余子式 引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零，则此行列式等于 与它的代数余子式的

8、乘积，即,定理3 行列式等于它的任意一行（列）的各 或,例1 计算 解,从而解得,例2计算 解按第1行展开，有,以此作递推公式，得,例3证明范德蒙德（Vander-monde）行列式 证对行列式阶数用数学归纳法当 时，,，,结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立 从第 行开始，后行减前行的 倍，得 按第1列展开，并提出每一列的公因子 ，,有 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列 式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘 积，其中 ，即,推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 或,结合定理3及推论，得到代数余子式的重要性

9、质： 或 其中,1.5 克拉默（Cramer）法则,设含有 个未知数， 个方程的线性方程组为 (1.5.1) 阶行列式 称为方程组(1.5.1)的系数行列式,定理5（克拉默法则）若线性方程组(1.5.1)的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (1.5.2) 其中 是将系数行列式 中第 列的元素用方 程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式，即,克拉默法则等价地指出：如果方程组(1.5.1)无 解或有两个不同的解，则它的系数行列式 当方程组(1.5.1)的右端常数项 全为零时，即 (1.5.3) 称(1.5.3)为齐次线性方程组当 不全 为零时，称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组,显然，齐次线性方程组(1.5.3)必定有解 称之为零解，若解 不全为零，则称 为非零解 定理6若齐次线性方程组(1.5.3)的系数