参数假设检验.ppt

1、第五章 参数假设检验,构造假设,什么是“假设检验” ,处理“可信度”的基本概念,判断样本统计量值与总体(参数)假设值之间是否存在可以观察到的差值，以及这种差值在统计上是否明显.,可以观察到的差值 由于随机原因 或者 存在实质性的差别, 5.1 假设检验的概念,假设检验可分为：参数假设检验和非参数假设检验。 1、参数假设检验： 已知总体分布，猜出总体的某个参数（假设H0），用一组样本来检验这个假设是否正确（是接受还是拒绝H0 ）。 2、非参数假设检验： 猜出总体分布（假设H0），用一组样本来检验这个假设是否正确（是接受还是拒绝H0 ）。 在检验中，我们通常设法保证“弃真”（以真为假）的错误的概率

2、很小，也就是概率 P拒绝H0 | H0为真很小。这是我们在假设检验时，分析问题的主线。,原假设 (H0) 对被研究的总体参数做试探性的假设,备择假设 (HA) 原假设(H0)的对立面,H0 和 HA 是两个对抗性陈述 - 被观察的样本数据只能支持其中一个陈述 .,构造假设,构造假设, 举例：,一个电灯泡生产商想生产平均寿命为1,000小时的灯泡，如果灯泡寿命太短，他就会失去客户；如果灯泡寿命太长，生产成本则会上升。为此，他从灯泡中抽取了一个样本来观察其平均寿命是否可以达到1,000小时。请构造H0 和 HA。,H0 : = 1,000,HA : 1,000,vs.,构造假设,一名销售经理要求其

3、销售人员将每天的交通费用控制在100元之内，为此，他从日常交通费用中抽取了一个样本来检查是否将有关费用控制在规定的范围内。请构造原假设和备择假设。, 举例:,H0 : 100,HA : 100,vs.,统计意义上的“对”与“不对”，就有可能犯错误。 当我们认为参数的某个假设 H0 正确时（接受假设H0时）, 有可能假设 H0 本身是错误的，而我们把它当作正确的，称犯了第二类错误（“存伪”的错误），我们应当保证犯这种错误的概率很小，也就是概率=P接受H0 | H0为假很小。 反之，当我们拒绝假设H0 时，也可能犯“以真为假”的错误（“弃真”的错误）,称为犯第一类错误。当然，我们也希望所犯的“以真

4、为假”错误的概率很小，也就是 =P拒绝H0 | H0为真很小。,两类错误, =第I类错误的概率 = Pr拒绝 H0 | H0 为真, 显著水平, =第II类错误的概率 = Pr接受 H0 | H0 为假, 与 之间的关系 , 与 之间具有反向关系,当进行假设检验时，必须预先确定与 哪个更重要,为了防止错误拒绝 H0 尽量减少拒绝H0 的机率 降低 ，提高 ,为了防止错误接受H0 尽量减少接受H0 的机率 提高，降低, 举例:,测试一座桥梁是否可以安全地承受至少50吨的运输量 a)你是想犯第I 类错误还是第II类错误？ b)你是采用较低的显著水平还是较高的显著水平？,H0 : 50而HA : 5

5、0,第I类错误 = Pr拒绝H0 | H0 为真 第II类错误 = Pr接受 H0 | H0为假, 第II类错误会导致非常严重的后果（断定桥梁安全，而事实上它并不安全） 提高 ，降低,什么是“检验统计量”？ ,“检验统计量”是指：样本统计量值与总体参数假设值之间可以观察到的差值，它可以用标准误差来表示。, 决策原则 临界区域法：,什么是“临界值” (CV) ,“显著水平” 单尾或双尾检验 Z分布或者t分布,什么是“临界区域” (CR) 或 拒绝域,尾部区域超过了临界值,原假设 (H0) 或备择假设(HA) ,检验统计量落在临界区域之外 接受 H0,检验统计量落在临界区域之内 拒绝 H0,构造假

6、设,决策原则 p值法：,原假设 (H0) 或备择假设(HA) ,什么是“p值” ,p值 显著水平 ()接受 H0,p值 显著水平 ()拒绝 H0,几乎不可能获得样本统计量的值，或者说在研究过程中获得样本统计量值的概率非常小。,p值大 H0 可能为真,p值小 H0可能为假,如果H0 为真,与总体均值有关的决策,步骤1,步骤2,步骤3,构造H0和 HA,整理基本信息 , 确定“抽样分布”（Z 分布或 t分布）,计算检验统计量,与总体均值有关的决策,步骤4,步骤5,步骤6,确定检验类型（单尾或双尾）以及 确定 p值 或者 确定临界值和临界区域,做出决定 决定“拒绝”或者“接受” H0 H0,得出结论

7、并进行解释,1、关于正态总体均值 的假设检验 关于均值的假设检验，可分如下三种情况： （1）已知方差2，假设 H0 ：= 0，通过样本观测值x1，x2，xn ，检验H0 是否成立。 （2）未知方差2，假设 H0 ：= 0，通过样本观测值x1，x2，xn ，检验H0 是否成立。 （3）未知方差2，假设 H0 ： 0 (或 0), 通过样本观测值x1，x2，xn ，检验H0 是否成立。, 5.2 一个正态总体下的参数假设检验,与总体均值有关的决策, 已知 ,X 服从均值为 、标准差为 （已知）的正态分布 ; 或者,虽然X不 服从正态分布，但其样本容量 n 30，而且已知其均值为 、标准差为 , 服

8、从均值 、标准差为 的正态分布,检验统计量,与总体均值有关的决策,一家医院正在使用某种药品，已知药品每包的平均剂量为100 cm3，标准差为3cm3。随机抽取36包药品作为一个样本，并得到每包药品的平均剂量为101cm3。检验当 = 0.01时，每包药品的剂量是否过大。, 举例:,H0 : 100 而. HA : 100,n = 36, = 3, 而且 = 101, 利用Z分布,1.,2.,3.,检验统计量,与总体均值有关的决策,4.,5.,6.,右侧尾部检验 , = 0.01,临界值 = 2.325,检验统计量落在临界区域之外 接受 H0,数据显示：当显著水平 = 0.01时，每包药品的剂量

9、不大,例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，已知方差为0.09(毫米2) , 现有假设 H0 ：=10(毫米). 这个假设可以是生产标准的要求. 现有一组样本观测值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99 (在实际问题样本容量大些更好). 请判断这批零件的平均直径 =10(毫米)是否正确. 解: 首先设: 原假设H0 ：=10(毫米) 备择假设H1 ：10(毫米) 其次: 构造一个统计量, 要满足: a. 其分布和参数已知; b . 在已知条件下, 能算出这个 统计量. 构造统计量为:,设原假设H0成立, 如果原假设H0是正确的, 我们希望拒绝H0(犯错误)的概率很小,

10、 也就是 P( |Z| k ) = 很小. 称为显著性水平.,/2,/2,-k,k,算得该 z =0.067, （取=0.05 ）小于 k= z 0.025=1.96, 所以不应当拒绝假设H0 ：=10(毫米).,与总体均值有关的决策,未知 大样本,无论X服从什么分布，当样本容量 n 30时，可以用样本标准差s来估计未知标准差 , 近似服从以下参数的正态分布,检验统计量,与总体均值有关的决策,一家大型电子商店的信贷经理说，该商店赊购帐户上的平均余额为575元。一名审计人员随机抽取了33名顾客作为一个样本，结果发现赊购帐户上的平均余额为518.5元、标准差为181元。如果信贷经理的陈述得不到数据

11、支持，审计人员将检查所有的赊购帐户。请问当 = 0.05时，审计人员应当采取什么行动？, 举例:,H0 : = $575 而 HA : $575,n = 33, = 518.5, s = 181, 而且 利用 Z分布,1.,2.,与总体均值有关的决策,/2 = 0.025,Z,3.,检验统计量,4.,双尾检验 , = 0.05,临界 值= 1.96,5.,6.,检验统计量落在临界区域之外 接受 H0,当 = 0.05时，数据看来支持信贷经理的陈述 审计人员无需审查所有的赊购帐户 。,与总体均值有关的决策,未知 小样本,X的分布是正态分布或接近正态分布,当样本容量 n 30时，可以用样本标准差s

12、来估计未知标准差 , 近似服从自由度为n 1的t分布,检验统计量,而且,与总体均值有关的决策,当地一家体育馆新上任的经理被他的前任告知：会员资格的平均年限为8.7年。为此，他随机抽取了15份会员文件，结果发现会员资格的平均年限为7.2年，标准差为2.5年。假设这家体育馆的会员资格年限近似服从正态分布。当显著水平 = 0.05时，样本结果是否表明这家体育馆的实际会员资格年限小于8.7年？, 举例:,H0 : 8.7 而 HA : 8.7,n = 15, = 7.2, s = 2.5, 而且 利用 t14分布,1.,2.,与总体均值有关的决策,3.,检验统计量,4.,左侧尾部检验 , = 0.05

13、,临界 值= 1.761,5.,检验统计量落在临界区域之内 拒绝 H0,6.,数据显示：当显著水平 = 0.05时，这家体育馆会员资格的平均年限明显小于8.7年,例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，现有假设 H0 ：=10(毫米). 这个假设可以是生产标准的要求. 现有一组样本观测值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99 (在实际问题样本容量大些更好). 请判断假设H0 ：=10(毫米)是否正确. 解: 首先设: 原假设H0 ：=10(毫米) 备择假设H1 ：10(毫米) 其次: 构造一个统计量, 也要满足: a. 其分布和参数已知; b . 在已知条件下, 能算出

14、这个 统计量. 构造统计量为:,t,由 P( |T| t0.025 ) = , 取=0.05. 算得 |t | =1.414, t0.025 =3.182. 有|t | t0.025. 所以接受原假设.,-t,4、未知方差2，检验假设 H1 ： 0 （这是作为备择假设出现） 例：已知生产线上生产出来的零件抗剪强度服从服从正态分布，以往的数据表明抗剪强度的均值 0 =10(毫米). 现在改用一种新材料来生产该零件，得到一组零件的抗剪强度的样本观测值: 10.01, 10.02, 10.02, 9.99. 请问：改用新材料后，零件的平均抗剪强度是否提高？,/2,/2,解: 首先作原假设H0 ：=

15、0 =10(毫米) 备择假设H1 ： 10(毫米) 其次: 构造一个统计量, 也要满足: a. 其分布和参数已知; b . 在已知条件下, 能算出这个 统计量. 构造统计量为:,由 P( T t0.05 ) = , 取=0.05. 算得 t0.05 =2.3534由样本点算得 t =14.14. 有 t t0.025. 所以接受备择假设. 零件的抗剪强度得到提高了.,5、关于正态总体的方差2的检验 关于正态总体的假设检验，分为如下两种情况： （1）未知均值 ，假设H0 ： 2 = 02 ，通过样本观测值 x1，x2，xn ， 检验H0 是否成立； （2）未知均值 ，假设H0 ： 2 02 （反

16、之亦然），通过样本观测值 x1，x2，xn ， 检验H0 是否成立。 第一种情况： 未知均值 ，检验假设H0 ： 2 = 02 是否成立； 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，长期以来直径的根方差 = 0.3, 现材质改进, 抽出20个样本, (这里只给出20个样本的方差s2 = 0.16). 请判断该生产线的方差是否改变?,解: 首先作原假设H0 ：总体方差 2 = 02 =0.09 备择假设H1 ：总体方差 2 02 =0.09 其次: 构造一个统计量, 也要满足: a. 其分布和参数已知; b . 在已知条件下, 能算出这个 统计量. 构造统计量为:,在原假设下, 由 P(2

17、 2/2 ) = /2 或 P(2 21-/2 ) = /2 取 = 0.05, 算得 20.025 (19) = 32.9, 20.975 (19) = 8.91, 2 =33.7778. 有2 20.025 (19) = 32.9. 所以拒绝原假设, 接受备择假设.生产线的方差有改变. (犯错误的概率只有0.05),第二种情况： 未值均值 ，检验假设 ： 2 02 是否成立； 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，长期以来直径的根方差 = 0.3, 现材质改进, 抽出9个样本, (这里只给出20个样本的方差 s2 = 0.352). 请判断该生产线的方差是否会小于0.09 ?,解

18、: 作原假设H0 ：总体方差 2 02 =0.09 备择假设H1 ：总体方差 2 02 =0.09 这是单尾检验问题, (且是左侧单尾问题) 仍构造统计量为:,取 = 0.05, 由 P(2 21- ) = =0.05 , 算得 2 =10.8889, 查表得 20.95 (8) = 15.5, 有2 =10.8889 20.95 (8) = 15.5. 所以拒绝原假设, 接受备择假设. 总体方差2 0.09 ., 5.3 0-1 总体分布下的参数假设检验,1、一个0-1分布总体的小样本比例值的参数检验 某类个体占总体的比例问题, 是社会科学和自然科学研究中的最常见的基本问题之一. 而反映总体

19、中某类个体的比例的随机变量 X , 可以简单地用 0-1 分布 B(1, p)来表示, p就是总体中某类个体的比例. 如何进行 p 的假设检验问题?,例、招聘测试问题。某公司人力资源部要招聘若干名某专业领域的工程师。出了10道选择题， 每题有4个备选答案，其中只有一个正确的，或者说，正确的比率只有1/4 = 0.25。问：至少应答对几道题，才能考虑录用？,如果应聘者答对的问题比较少 (如23个题), 则可能是猜对的, 这样的样本所反映的母体的正确比例应与0.25 没有本质区别, (只有凭借的知识)答对的题多, 样本所反映的母体的正确比例 p, 才可能大于0.25, 于是问题转化为: 总体0-1

20、分布 B(1, p). 应答者答对了, X 取值为1; 答错了, X取值为0. 由0-1分布知道, E(X)= p, D(X) =p(1-p) . 一个完全靠猜的应聘者, 答对的概率应当是0.25, 即 p=0.25.但对于任意应聘者, 我们不知道他是不是靠猜的 (即不知道他的p值), 于是我们做如下的假设检验问题: 原假设H0 ：p = 0.25 (即回答者靠猜答案, 不聘) 备择假设H1 ：P 0.25 (回答者依据知识选择答案, 聘用) 这是单侧检验问题, 任意一个应聘者回答10个问题,相当于从总体 B(1, p) 分布中抽出10个样本X1, X2,X10, 进而得到均值函数X. 但我们

21、不知道统计量X的分布形式, 所以不,能直接用 X 做统计检验. 但知道统计量 Y= X1+X2+ X10的分布, 即 Y服从 二项分布B (n, p), n=10, 并该统计量中含有要检验的参数 p, 因此, 我们可以用统计量 Y 来做参数的检验问题. 这里, Y的含义就是(某应聘者)答对题目的个数. 设 r 是Y的观测值. 当正确回答题目的个数 r 大于等于阀值 k 时, 就拒绝原假设H0 , 认为某应答者的正确比例大于 0.25 的假设(即不是随机猜出的). 如果在某个 r 大于等于 k 时就拒绝H0 ,那么在回答正确的题目数为 r +1, r +2, ,时, 也应当拒绝H0.于是应有:,

22、式中, k是拒绝H0的答对的最少题目数. 取 k = 6 时, 由所有大于等于k 的 r 计算出的概率之和为0.0197 = 0.05.,一个B(1, p)总体的小样本比例值 p 的检验问题 有关某类个体在总体中的比例问题，本质上是用B（1，p）分布的样本X1，X2，, Xn 来检验均值 p 和先验值p0的关系问题。 统计量 X 的均值和方差是已值的，但是不知道X的分布形式，所以不能直接用均值函数做假设检验。 统计量 Y = X1+X2+ Xn的分布，是二项分布B（1，p），完全已知的，并且包含要检验的参数 p，所以可以用统计量 Y 来作为假设检验。,所以, 拒绝H0 , 认为回答者不是猜的,

23、是靠知识回答的,可以及格, 此时犯错误(本来是猜的,结果猜对了6道题以上)的概率最大只是5%的可能.,首先做零假设H0 ：p=p0，备择假设H1 ： p p0 设k是拒绝H0的阀值(Y k 就拒绝H0), k的外侧概率为, 也就是 P(Y k) = , 用Y的概率计算公式 (二项分布的概率计算公式), 把大于等于 k 的 Y 概率都加起来, 这个概率和应当小于等于. 其中:,所以, 从Y= r = n的概率开始, 加 Y = r = n-1的概率,直到其概率的和要超过为 为止, 此时的 r-1 就是k(拒绝H0 的阀值).,2. 一个0-1总体的大样本比例值的参数检验 例: 一个卖男士衬衣的邮

24、购店, 从过去的经验中总结出有15%的购买者说衬衣的大小不合身,要求退货. 现在这家邮购店改进了邮购定单的设计, 结果在接下来出售的500件衬衣中, 有60件要求退货. 问: 在 5% 的 水平上, 改进后的退货的比例 与原来的退货比例有无显著性差异? 分析: 对每个购买者而言, 买来的衬衣只有两种可能的情况: 合身, 不合身. 按照过去经验, 不合身的概率为15%, 此时随机变量 X = 1; 合身的概率是 0.85, 此时 X = 0. 从总体角度看, 即总体服从0-1分布 B(1, p)中 p = 15%. 于是由500个随机样本X1, X2,X500 构成的统计量 Y = X1+X2+

25、 X500 服从二项分布 B (500, p). 根据题目, 可以模仿上题来解决. 但现在的样本观测值是x1，x2，xn ，n=500, 由于n 很大, 且np=500 0.15=7510, 已足够大, 故根据中心,极限定理, 样本均值 X 服从正态分布: , x = p, 2x= p(1-p)/n. 从已知得到不合身的比例 (退货的比例) 为 x =60/500, 即 . 统计量 X 符合做假设检验条件(分布已知, 含参数), 于是设: 原假设H0 ：p = 0.15 备择假设H1 ：P 0.15 取显著性水平 = 0.05 (是一个单侧检验问题).,查表, z =1.645, 由 z -

26、z = -1.645, 所以拒绝H0 , 邮购定单改进后的退货比例12%与改进前的15%有显著性差异.,归纳: 一个B (1, p)总体的大样本比例值 p 的检验问题 有关某类个体在总体中的比例问题, 本质上是用B(1,p)分布的样本X1，X2，, Xn 来检验B(1, p)的均值 p 和先验值p0的关系问题. 虽然Y = X1+X2+ Xn服从二项分布B（n，p）, 完全已知, 并且包含要检验的参数p, 可以用 Y 来检验p 和先验值p0的关系. 但 n 很大时, 计算不便, 可采用中心极限定理, 按照统计量 X 近似地服从正态分布来处理 (一般 n p 10, 且n(1- p) 10).

27、在标准化变换后, 于是, 可以用 Z 来做关于其均值 p 和先验值p0的关系问题的检验.,与总体比例有关的决策,在一次调查中抽取了300份银行贷款，结果发现37%的款项贷给了女性职员。5年前曾进行过类似的调查，结果发现32%的借款人是女性。当显著水平为0.1时，确认女性借款的比例是否有明显的变化？, 举例：,H0 : p = 0.32 而 HA : p 0.32,n = 300, = 0.37 而且 利用 Z分布,1.,2.,3.,检验统计量,与总体比例有关的决策,4.,5.,双尾检验 , = 0.1,临界 值= 1.645,检验统计量落在临界区域之内 拒绝 H0,6.,数据显示： 当显著水平

28、 = 0.10时，女性借款的比例有明显的变化。, 5.4 两个正态总体下的参数假设检验 本节研究两个相互独立的正态总体的参数检验问题.,两个正态总体参数检验概述 设: 获得来自两个相互独立的总体的样本观测值: x1, x2,xn 与y1，y2，ym . 所要完成的参数检验问题, 主要有如下4种情况: 未知两个总体的均值1, 2 , 检验假设H0 ： 总体方差12 = 22 未知两个总体的均值1, 2 ,检验备择假设H1 ：总体方差 12 22 未知两个总体的方差12 , 22, 但知道12 = 22, 检验假设H0 ： 1= 2,(4) 未知两个总体的方差12 , 22, 但知道12 22,

29、检验假设H0 ： 1= 2 于是, 检验的顺序是: 当1, 2, 12 , 22均未知时, 先做 (1) ,即 检验12 = 22成立否? 若证实12 = 22, 再做(3), 检验假设H0 : 1 = 2成立否? 若不能证实12 22, 再做(4), 检验假设H0 : 1 = 2成立否? 对第(1)与第(2)个问题而言, 显然应当用 F 统计量来检验:,服从 F (n-1, m-1)分布,1. 对问题 (1): 未知两个总体的均值1, 2 , 检验假设H0 ： 12 = 22 , H1 ：12 22 由于假设H0是总体方差12 = 22 , 所以，F统计量可以,简化为：F = S12/S22

30、 服从 F（n-1，m-1）分布。,备择假设H1为： 12 22，这是一个双尾检验。（注意：F分布是非对称的）所以，检验分析式为：,根据观测值，计算出F的观测值 f 值，与查表值f/2与f1-/2比较，就行了。（注意：如果查表时查不到f1-/2 ，就应用f1-/2 =1/ f/2来计算。）,2. 对问题 (2): 未知两个总体的均值 1, 2 , 检验备择假设H1 ：总体方差 12 22 由于备择假设是H1 ：12 22 , 所以这是一个单尾检验问题. 此时, H0 仍设定为 12 = 22 , 以便利用统计量 :,F = S12/S22 . 拒绝 H0 而接受 H1 的表达式为: PF f=

31、 ,根据观测值，计算出 F的观测值 f 值，与查表值f比较，就行了。,3. 对问题 (3): 未知两个总体方差12 , 22, 但知道12 = 22,检验假设H0 ：1= 2 由于已知12 = 22 , 要检验的零假设H0是 1= 2 (此时的备择假设是1 2 ), 为此12 = 22条件下引入一个新的 T 统计量:,服从 t (m+n-2).,式中, n 是总体X的样本数, m是总体Y的样本数.,由于零假设是 1= 2 , 所以式中分子第二项为零, 于是根据样本值: x1, x2,xn 与y1，y2，ym . 可计算出 t 统计量值:,然后比较 t 与 t0.025 (若取 = 0.05)

32、. 若| t | t0.025 , 则拒绝 H0 , 若| t | t0.025 , 则接受 H0 .,4. 对问题 (4): 未知两个总体方差12 , 22, 但知道12 22,检验假设H0 ：1= 2 在12 22 情况下, 检验的零假设H0 : 1= 2 , 引入如下统计量:,检验过程同上., 5.5 大样本下两个任意总体的均值检验,1. 大样本下两个任意总体均值检验问题,在大样本下检验两个任意总体的均值1 , 2 是否相等, 就是检验 1 - 2 =0 的检验问题. 因为大样本, 根据中心极限定理, 每个总体的随机均值函数( X 与 Y ) 都近似地服从正态分布.,设: 相互独立地从两

33、个总体中随机抽取数量足够大的样本. 来自总体 1 的样本为X1，X2，, , 来自总体 2 的样本为Y1，Y2，, . 则有,于是, 统计量 X Y 的分布, 具有如下性质: 均值: EX Y = 12 方差: D X Y = D(X) + D(Y) = 12 /n1 + 22 / n2 (3) 分布形式: 在大样本下, 近似于正态分布. 即,于是, 在已知12 , 22的情况下, 用如下统计量检验H0 : 1 - 2 =0 .,在未知12 , 22的情况下, 用下面统计量检验H0 : 1 - 2 =0 .,2. 大样本下两个 0-1 总体的比例值检验问题 对于两个总体分布都是 0-1 分布:

34、 B(1, p1) 和 B(1, p2) .检验两个总体比例值是否相等. 即检验H0 : p1 - p2 =0 . 设: 相互独立地从两个总体中随机抽取数量足够大的样本, 来自总体 1 的样本为: X1，X2，, Xn1, 来自总体 2 的样本为Y1，Y2，, Yn2. 则由上节结论, 得出:,由于假设H0 : p1 - p2 =0 . 所以有p1 = p2 = p, 所以在大样本下,但是, 由于 p 未知, 故无法利用上式进行检验, 为此, 先解决 p 的估计问题. 设: 样本 X1，X2，, Xn1 中具有某性质的样本数为r1,样本Y1，Y2，, Yn2中具有某性质的样本数为r2. 我们用下式定义的(两组样本的综合比例)来估计 p:,于是, 在大样本下, 近似地服从 N (0, 1)的如下统计量是可以计算的:,计算 z 的值时, 用x，y 代替X , Y . 而 x =r1 / n