中考数学压轴精品--动态几何

1、最新资料推荐动图中的函数关系图形中引入动点以后，随着点的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现变量之间的函数关系； 而动点在运动过程中， 也会引起相关图形的变化， 这样就可能产生特定形状、 特定位置或特定关系的图形。 这些问题就需要借助方程来解决。 但不管是动点问题引出的函数。还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。因此，几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即函数（变化规律）通过几何计算图形动点问题（主要是解直方程（特定形状的图角形和三角形形、特定位置的图形、的相似关系特定关系的图形）一、图形中动点形成的函数例 1 如图（ 1）， Rt ABC 中，ACB90

2、, AC4, BA 5,点 P 是 AC 上的动点（ P不与 A ，C 重合）。 PC x ，点 P 到 AB 的距离为 y 。（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）试讨论以 P 为圆心，半径为x 的圆与 AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 取值范围。BBQCACAPP（ 1）（ 1）【观察与思考】 （ 1）如图（ 1），若 PQAB 于 Q，要建立 PQ 和 CP 的函数关系，可以通过 Rt APQ 和 Rt ABC的相似关系。（2）就是讨论 P 的半径（即 x ）和圆心 P 到 AB 的距离（即 y ）的大小关系。解： （ 1）过 P 作 PQAB 于 Q，如图（ 1），则 P

3、Qy ，易知 Rt AQP RtACB ， PQ : BCAP : AB ，1最新资料推荐y4x, 化简得： y312(0x4) 。35x55（2）令 xy ，即 x3x12 ,解得 x3，此时 P 与直线 AB 相切。35523对应地有：时， P 与直线 ABx 4 时， P 与直线 AB 相交。0 x相离；22【说明】 本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过 P 和 AB 相切这一特殊情况来判断P 和 AB 的三种位置关系。例 2如图（ 1），已知 P 为AOB 的边 OA 上的一点，以 P 为顶点的MPN 的两边分别交射线 OB 于 M , N 两点，

4、且MPNAOB(为锐角）。当MPN 以点 P 为旋转中心，从 PM 边与 PO 重合的位置开始， 按逆时针方向旋转 （MPN 保持不变） 时， M , N两点在射线OB 上同时以不同的速度向右平行移动。设OMx,ONy( yx 0) ，POM 的面积为 S 。若 sin3 ,OP2 。A2P（1）当MPN 旋转 30（即MPN30 ）时，求点 N 移动的距离；（ ）（2）写出y与 x 之间的关系式；1（3）试写出 S 随 x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围。NO【观察与思考】 首先要把题目的背景分析清楚：MB为锐角，且 sin360；2，得 MPN 旋转前， PM 边与 PO 边重合，

5、 对应的图形为图， 其中 PMN 是边长为 2 的等边三角形。AAPP30606060O（ M ） M NN O（ M ）NB对于问题（ 1），MPN 旋转30后变为图形，可知此时POM 和 NOPB都是直角三角形，弄清楚这些特点，问题很容易解决。对于问题（ 2）和（ 3），又要回到原题图，借助直角三角形及相似三角形，通过几何计算可求出函数的表达式。解：（ 1）初始状态时，PON 是边长为 2 的等边三角形（如图），当MPN 旋转 30到 M PN 位置时对应的图形为图（）。OPM 30 ,BOAM PN 60 ,ON P30 。2最新资料推荐在 Rt OPN 中， ON 2PO4, NN O

6、N ON2 。点 N 的移动距离为 2。（2）如图（ 1）在 OPN 和PMN 中，PONMPN60 ,ONPPNM 。OPN PMN ，PNMN ，即 PN 2ON MN 。ONPNMNONOMyx,PN 2ON MNy( y x)y 2xy ，（）过 P 点作 PDOB ，垂足为 D （如图），在 RtPOD 中， ODOP cos6021POsin 603 ，1, PD2DNONODy1。在 Rt PND 中， PN 2PD 2DN 2(3) 2( y1)2y22 y4 ，（）由（）和（）式得y 2xyy22 y 4 ，即 y4。2x（3）在 POM 中， OM 边上的高 PD 为3 ，

7、（见图）。AS1 OMPD1x33 x 。P222y0,2x 0, 即 x2。又 x0,x 的取值范围是0 x2OMDNB。（）S 是 x 的正比例函数，且比例系数30, 0S32 ，即0 S3 。22【说明】 、对于运动中变化中的图形，在题目的图示中往往只给出一种一般情况下的图形，但要把题目的全部背景和整个变化过程搞清楚，就需要如本题那样， 仔细研究图形变动的每种形态和联系。、由本题的解可以看出，要顺利建立出函数关系式，关键在于发现题目中的三角形之相似关系以及恰当地引用和构造直角三角形。【 练 习 】 1、 如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ，ADAB3, BC4, P 为 AC 的中点

8、，直线 MN / AC ，MP且分别与 AB ，BC 相交于点 E，F。设 CFx,PEFE的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式。BFCN3最新资料推荐例 3如图（ 1），已知直角梯形ABCD 中，AD / BC,B90 , AB12cm, BC8cm, DC13cm 动点P 沿ADC的路线以 2cm / 秒的速度向C 运动，动点 Q 沿C线B路以 1cm / 秒的速度向 C 运动， P，Q 两点分别从 A ，B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一点也随之停止。设运动时间为t 秒，PQB 的面积为 ycm。（1）求 AD 的长及 t 的取值范围；（2）求 y 关于 t 的函数关系

9、式，并具体描述在P，Q 运动过程中，PQB 的面积随 t 变化而增大或减小的情况。【观察与思考】首先，要把题目的背景搞清楚，如图（1），将 AB 平移至A PDDE ，易得 EC5，即得 AD3 。其次，要把运动全过程搞清楚：首先从时间上来看，点Q 共可运动8 秒；点 P在 AD 上运动 1.5 秒，在 DC 上运动 6.5 秒，也是共运动 8 秒，再看PQB 的变（1）动情况：当 0 t1.5 时，点 P 在 AD 上，此阶段图形大致如图（2），而在1.5 t8时，此阶段图形大致如图（3）。BC把这些情况都搞清楚了，问题（1）和问题（2）就容易解决了。QADAPDADP121312B3E5C

10、BQCBE QCM（ 1）（ 2）（ 3）解：（ 1）在梯形 ABCD 中， AD / BC ,B 90, 过 D 作 DEBC 于 E 点。RtDEC12,13,225，。在中，13 12DEcm DCcm ECAD 3(cm)点 P 从出发到点 C 共需 3138（秒），点 Q 从出发到 C 共需88 （秒）。21又 t0,0 t 8。4最新资料推荐（2）当 0t1.5 时，点 P 在 AD 边上， P 到 BC 的垂线段长 h12(cm) 。ySPQB1BQh1t126t（ 0t1.5 ）。22当 1.5t8 时，点 P 在 DC 上，（图（ 3）， PC162t 。AD过点 P 作 P

11、MBC 于 M ，得CPM CDE 。PCPM ，即162tPM .PM12 (162t), 又BQt ，PDCDE131213y1 BQ PM1 t12 (16 2t )12 t 296 t22131313BC当 0t1.5 时， y6t,60,EPQB 的面积随 t 的增大而增大。Q M当 1.5t8时， y12t 296t12(t4) 2192。13131313当 1.5t4 时，PQB 的面积随 t 的增大而（继续）增大。当 4t8 时，PQB 的面积随 t 的增大而减小。【说明】本题突现了函数表达式的分段情况源起于对图形动点引出的相关图形不同的变化形态，足见深入和全面审题的重要。二、

12、图形中动点形成的方程特定形状图形图形动点 几何计算 方程 特定位置图形特定数量图形例 1如图，（ 1），在等腰梯形ABCD 中， AB / DC , AB8cm, CD2cm, AD6cm ，点 P 从点 A 出发，以 2cm/ s 的速度沿 AB 向终点 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以 1cm/ s 的速度沿 CD ，DA 向终点 A 运动。（ P，Q 两点中， 有一个点运动到终点时， 所有运动终止） 。设 P， Q 同时出发并运动了 t秒。DQC（1）当 PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形时，求 t 的值；（2）试问是否存在这样的 t ，使四边形 PBCQ 的面积是梯形ABCD

13、 面积的一半？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由。AP（ 1）B5最新资料推荐【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：略；第二，搞清楚运动的全过程：从时间上来看，点P 共运动4 秒钟，而点 Q 在 CD 上运动 2 秒，在 DA 上需运动 6 秒。这样，它们共同运动的时间为 4 秒，即点 Q 在 DA 上最多运动到 DQ2cm 处。再从对应的图形来看，在0t2时，对应图形如原图（1），而在2 t 4 时，对应的图形就像图（ 1）。有了以上的研究，再来看看相应问题的解决方向和方法：对于问题（ 1），对应的图形如图（ 1），可通过 DQEP 构造DC关于 t 的方程来求解。Q（ 1）对于

14、问题（ 2），应计算出 S四边形 BPCQ 来（是关于 t 的代数式），令它等于 1 S梯形 ABCD ，从所得方程解出相应的t 值。但应特别注意，在计算AP B2S四边形 BPCQ 时，需分点 Q 在 CD 上还是在DA 上两种情况来讨论。DQC解：（ 1）过 D 作 DEAB 于 E，过 C 作 CFAB 于 F，如图（ 1）。（ 1）Rt ADERt BCF ，AEBF .AEBF1 (8 2)3( cm)AE P FB2若四边形 APQD 是直角梯形，则四边形DEPQ 为矩形，有 DQEP ，即 2 t2t3,t5。53当 t秒时， PQ 将 ABCD 分成两个直角梯形。3（2）在Rt

15、ADE中，62323 3() ，DEcmS梯形 ABCD1 （8+2）33153(cm 2 ) 。2当 S四边形 PBCQ1 S梯形 ABCD 时，2如图（ 1），若点 Q 在 CD 上，即 0t 2 ，则 CQt, BP8 2t 。1 (tHDCS82t )33153 ，解得 t 3 （舍去）。四边形 PBCQ22Q1AD上，即2t 4。1如图（ ），若点 Q 在（ ）DE3 33AGPB由图（ 1 ）易知 sin A6，AD26最新资料推荐过点 Q 作 QGAB 于 G ，其反向延长线交CD 的延长线于 H ，如图（ 1），在 RtAQG 中， AQ8t ,QGAQsin A3(8t)，2

16、在 RtQDH 中， DQt2,QHDQsin QDH3(t2)2。设 S四边形 PBCQ1 S四边形 ABCD ，也即 S APQS CDQ1 S梯形 ABCD ，得221 2t3(8t)123(t2)153 , 即 t 29t170, 2t4 。22222解得 t1913（不合题意，舍去），t 2913 (29133）。222913ABCD 面积的一半。存在 t2，使四边形 PBCQ 的面积是梯形【说明】 由本题可以看出：特定数量（四边形 PBCQ 解决。求动点引起的特定形状 （ PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形） 、的面积为梯形面积的一半）的图形，都是通过构造相应的方程来【练习

17、】2、如图，等边三角形 ABC 中， AB 2 ，点 P 是 AB 边上的任意一点（点 P 可以与点 A 重合，但不与点 B 重合），过点 P 作 PE BC ，垂足为 E；过点 E 作 EF AC ，垂足为 F；过点 F 作 FQAB ，垂足为 Q。设 BPx, AQy 。A（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 BP 的长等于多少时，点P 与点 Q 重合。QPFBCE7最新资料推荐例 2如图，在Rt ABC 中，C 90 , AC12, BC16 ，动点 P 从点 A 出发沿 AC边向点 C 以每秒3 个单位长的速度运动，动点Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4

18、个单位长的速度运动。P， Q 分别从点 A ， C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中，PCQ关于直线 PQ 对称的图形是PDQ。设运动时间为 （秒）。t（1） t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（2）是否存在时刻 t ，使得 PD / AB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。【观察与思考】 首先，搞清楚背景图形（略）；其次，搞清运动全过程，在这里重点是搞清楚四边形PCQD 是由 PQC 和它关于 PQ 对称的图形PQD 组成的。对于问题（1），应以 PQ / AB ，这一特征构造关于t 的方程来解决。对于问题（ 2），应像图（ 1）那样，用R

19、t QMD Rt ABC 来反映 PD / AB ，并由此构造关于 t 的方程来解决。AAPPDDCQBCQM(1)（ 1 ）解：（ 1）如图（ 1），若 PQBA 是梯形，由于AB 与 BQ 显然不平行，故应以 PQ / AB ，即 Rt CPQ Rt CAB 。ABDCPCQ.CA 12, BC 16,CQ4t, CP123t ，PCACB123t4t，解得 t2 。1216CQB当 t2 秒时，四边形PQBA 是梯形。（ 1）（2）设存在时刻 t ，使得 PD / AB ，延长 PD 交 BC 于点 M ，如图（ 1），则QMQD，Rt QMD Rt ABC ，ACAB20QDCQ4t,

20、 AC12, AB12 216220,QMt 。38最新资料推荐又，若 PD / AB ，即有 RtCPM Rt CAB ，则CPCM4t20 t1212 3t3，解得 tCACB, 即16。121112当 t秒时， PD / AB 。11【说明】 在本题，研究动点在运动过程中何时使“四边形PQBA 是梯形”变化中成为特定形状的图形，能否使“ PD / AB ”变化成为特定位置关系的图形，都是借助构造方程来解决的。三、图形中动点形成的函数和方程在更多情况下，是同时研究图形引入动点形成的函数及方程问题。例 1如图， Rt ABC 中， C 90 , AC12, BC5 ，点 M 在边 AB 上，

21、且 AM 6 。（1）动点 D 在边 AC 上运动，且与点A ， C 均不重合，设 CD x 。B设 ABC 与ADM 的面积之比为y ，求 y 与 x 之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）。M当 x 取何值时，ADM 是等腰三角形？写出你的理由。CDA（2）如图，以图中的BC， CA 为一组邻边的矩形ACBE 中，D 在矩形边上运动一周，能使ADM 是以AMD 为顶角的等腰BE三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由。）【观察与思考】 第一，搞清楚背景图形，如在图中，AB13 ；M第二，搞清楚运动全过程，在（1）中，点 D 在 AC 上运动，ADMCDA的边 DA 的长随之变化，

22、但该边上的高不变，边AM 也是不变的；在（2）中，点 D 可以运动至矩形 ACBE 上的任意一点， 所以AMD 的形状也相应地变化着，但 AM 这条边是不变的。解：（ 1） S ABC1ACBC112530 ，又 AB13。过点 M 作 MHAC 于22H。（如图 ）BMH / CB ,AMH ABC ，得30 。MHAM6,MH6BC65M BCAB13131313CDHA9最新资料推荐S ADM113015AD MH(12 x)13(12 x) 。2213SySABCADM3026x 12 ）。15, （其中 0x)12 x(1213要使ADM 为等腰三角形，只有以下三种可能：、 ADAM

23、6 ，此时 xCD 12 6 6 。 、MDMA， 即 在 图 中 应 有 DH AH， 而AHAM6 ,AH12672，ACAB131313x CD12 272 , 也即 x12。1313、 ADMD （如图 ）。若过 D 作 DEAM 于点 E，易知 Rt ADE Rt ABC ，且 AE1 AM3 。2AEAD , 即3AD ，得 AD13。BACAB12134x CD 121335。M 44E1235综上可知：当 x6, x时，ADM 都可以是等腰三角形。, x4A13CD（2）注意到要求ADM 为等腰三角形，且以AMD 为顶角，也就是要求 MDMA ，那么 A 和 D 都应以点 M

24、为圆心，以 MA 的长为半径的圆周上，为此，作草图如图，该圆与矩形的边共有 5 个交点（包括点A ），这些点中和M ， A 构以 M 为顶角顶点的等腰三角形共有 4 个，如图中的 D1 , D 2 , D 3 , D 4 。BD 2D3E【说明】 在本题中，（1）中的是转化为函数，（1）中D 4的是转化为方程。而对于（2），则主要通过分析图形M 的几何性质与画草图来解决。CD1A10最新资料推荐例 2已知，如图（ 1），正方形 ABCD 的边长为6，菱形 EFGH 的三个顶点 E, G , H 分别在正方形 ABCD 边 AB ， CD ， DA 上， AH2, 连结 CF。DGC（1）当 D

25、G2 时，求 FCG 的面积；（2）设 DGx ，用含 x 的代数式表示FCG 的面积；HF（ 1）（3）判断 FCG 的面积能否等于1，并说明理由。AEB【观察与思考】 首先应当清楚，当点 G 在 DC 边上运动时，菱形 EFGH 的形状、大小从而点F 的位置都是变化的。对于（ 1），应先搞清楚DG2 时菱形 EFGH 的形状和点 F 的位置。对于（ 2），关键是求FCG 中边 CF 上的高。对于（ 3），可借助于方程或函数的性质帮助作出判断。DGC解：（ 1）正方形 ABCD 中， AH2,DH4 。又 DG2 ，HG2 5，即菱形 EFGH 的边长为2 5 。F在AHE 和DGH 中，A

26、D90 。HAHDG2, EHHG25 ，AAHEDGH . AHEDGH 。EBDGHDHG90 ,DHGAHE90GHE90 ，即这时菱形 EFGH 是正方形。（ 1）同理可以证明DHGCFG 。EFG90 , 即点 F 在 BC 边上，如图（ 1），同时可得 CF2 。S FCG1424 。DGCM2（2）作 FMDC ， M 为垂足，连结GE，如图（ 1）。FHAB / CD ,AEGMGE ，（ 1）HE / GF ,HEGFGE ,AEHMGF。AE B在AHE 和MFG 中，又有AM90 , HEFG,AHEMFG 。FMHA2 ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线 CD

27、 的距离始终为定值2。S FCG12(6x)6x 。2（3）若 S FCG1 ，由 S FCG6x1，得 x5 ，此时在 DGH 中， HG41 。相11最新资料推荐应地，在AHE 中， AE376 ，即点 E 已经不在边AB 上。故不可能有S FCG1 。三、课堂小结：1. 图形引入动点后，大都会形成变动图形边长或面积的函数问题；2. 这类函数关系的建立， 核心基础是 “几何计算” ，注意恰当运用与构建直角三角形及相似三角形；3. 解法的思考要特别注意从支背景图形和“变化过程”的全面研究入手。4. 图形引入动点后形成的函数和方程问题，切入点在于深入， 全面地研究 “变动着的图形” ，解决的关

28、键在于运用好“几何计算”。四、作业布置：1、如图（ 1），在梯形 ABCD 中， ABBC 10cm, CD6cm, CD 90（1）如图（ 2），动点 P，Q 同时以每秒 1cm 的速度从点 B 出发，点 P 沿 BA ，AD ，DC 运动到点 C 停止。点 Q 沿 BC 运动到 点 C 停止，设 P，Q 同时从点 B 出发 t 秒时，PBQ 的面积为 y1 ( cm2 ) ，求 y1 (cm2 ) 关于 t （秒）的函数关系式。ADDDAA10cm6cmPEPB10cmCBCBQC（ 1）（ 2）（3）（2）如图（ 3），动点 P 以每秒 1cm 的速度从点 B 出发沿 BA 运动，点 E 在线段 CD 上随之运动，且 PC PE 。设点 P 从点 B 出发 t 秒时，四边形 PADE 的面积 y2 (cm 2 ) ，求 y2 (cm 2 )关于 t （秒）的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。12最新资料推荐2、如图，已知矩形ABCD 的边长 AB3cm, BC6cm, 某一时刻，动点M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/ s 的速度向B 点匀速运动； 同时，动点 N 从 D 点出发沿DA 方向以 2cm/ s的速度向 A 点匀速运动问：（1