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文档简介

1、2 化二次型为标准形,用正交变换法化二次型为标准形,一 化二次型为标准形的原因,问题:,如何把二次型f = xT A x化为标准形?,(4),将二次型化为标准形,即:,对于二次型 寻求一个可逆的线性替换 :,二 化二次型为标准形,变量替换,(4)式变为x=Cy, 代入 f=xTAx, 可得,思路:,由此可知,若能找到C使得CTAC=D为对角阵,则标准形可得.这样就把二次型化标准形问题转化为对称阵合同对角阵问题.,两种方法: 1.正交变换法; 2.配方法.,对于给定的实对称矩阵A,寻求可逆矩阵C,使CTAC成为对角阵.,把此结论用于二次型，即有,对给定的n阶实对称矩阵A，必存在n 阶正交矩阵P

2、,使得,方法1 正交变换法,3.求A的n个标准正交的特征向量:,4. 求正交矩阵P=,正交变换法的基本步骤：,1. 写出二次型的矩阵A；,5. 作正交变换: x=Py, 则,例 用正交变换法将二次型,化成标准形，并求正交变换矩阵.,解,二次型f 的矩阵为,(1)求A的特征值.,得A的特征值,(2) 求3个标准正交的特征向量.,解方程组,=0，,可得,解方程组,=0，,可得,施行施密特正交单位化，得到,将其单位化，得到,(3) 求正交变换矩阵P.,令,于是,(4) 作正交变换x=Py, 则,将实二次型 f (x) = x TAx 化为标准形后， 不妨设正平方项在前，负平方项在后, 即,d1 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2 ,得 f (x) = x TAx 的规范形为:,z12 + + zp2 zp+12 - - zr2,三 化标准形为规范形,di0, i=1,2,r.,例,解,注: 利用正交变换化成标准形, 进而化成规范形,则,系数中”-1”的个数=负特征值的个数=负惯性指数.,系数中”1”的个数=正特征值的个数=正惯性指数;,问题:,标准形不唯一, 规范形唯一吗?,答案:,标准形不唯一, 但是正平方项的个数(正惯

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