二重积分概念

1、第10章 重积分讨论二元函数的二重积分、三元函数的三重积分、一些应用。10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念实例1 曲顶柱体的体积底为，顶为，侧为柱面。若平顶，则体积=底面积高，用“分割，近似，求和，取极限”来计算曲顶柱体的体积。(1) 任分为个小区域：，即：任分为个小曲顶柱体：，(2) 在每上任取一点，可得的体积的近似，(3) 从而的体积的近似值。区域的直径：有界闭区域上任意两点间距离的最大值，常记为。记()为的直径，并记。有界域的无限细分：即。(4) 若当时，和式有极限，则定为的体积，即： 。实例2 非匀薄板的质量设面密度(1) 任分为 个小区域，(2) 在（）上任取，可得到的质

2、量的近似值： ，(3) 从而的质量近似值为，(4) 当，和式有极限，则定为非匀薄板的质量，即。两例都归为“分割，近似，求和，取极限”的步骤，最终为的和式极限问题。定义1 设为有界闭域上的一个有界函数，将任意分成个小区域，其面积和直径分别为和（），在每个小区域上任取一点，作和式 (*)若当时，不论区域如何分法，以及点如何取法，和式(*)有确定的极限值，则称函数在区域上可积，并称为函数在区域上的二重积分，记作，即 。被积函数,积分区域,面积元素，,积分变量。由此，例1中，曲顶柱体体积：；例2中，非匀簿板质量：当存在时，将分为时，也存在。可=,。几何意义当时,=曲顶柱体的体积；当时，=曲顶柱体的体积

3、的负值； 对一般，=上、下各曲顶柱体代数和；当，。（注：值等，单位不等） 二、可积性条件和二重积分的性质1存在性当在有界闭域上连续时，存在更一般若在上有界，且在上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则在上是可积的。2可积性质设、在有界闭域上可积，为的面积，则性质1 性质2 其中为常数。二重积分运算具有线性组合性。性质3(区域可加性) 若把用一光滑曲线分成两个和，则。性质4 若在区域上有则。性质5 若和分别是在上的最大值和最小值，则。性质6 。性质7（二重积分中值定理） 若函数在有界闭域上连续，则在上至少存在一点，使得。证 因在有界闭域上连续，故在上有最大值和最小值，由性质5可得，再由连续函数

4、介值定理可知，在上至少存在一点，使得，即。几何解释：在区域上以曲面为顶的曲顶柱体体积=同一底面而高为的平顶柱体的体积。因此是二元函数在区域上的平均值。例3 估计二重积的值，其中：。解：因，故既包括天然的自然环境，也包括人工改造后的自然环境。（7）列出安全对策措施建议的依据、原则、内容。当有对称性，是上“奇、偶”函数时，可化简。（1）若关于轴对称，（4）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施的合理性和有效性；当时，（2）是否符合国家产业政策和清洁生产标准或要求。有当时，有。4.建设项目环境影响评价文件的分级审批（2）若关于轴对称，当时，有大纲要求当时，有。疾病成本法和人力资本法将环境污染引起人体健康的经济损失分为直接经济损失和间接经济损失两部分。直接经济损失有：预防和医疗费用、死亡丧葬费；间接经济损失有：影响劳动工时造成的损失（包括病人和非医务人员护理、陪住费）。这种方法一般通常用在对环境有明显毒害作用的特大型项目。例4对于，：，2.环境价值的度量最大支付意愿解：因为 ，所以（二）建设项目环境影响评价的工作等级。再如，可得 。（4）化工、冶金、有色、建材、机械、轻