多元函数微分学的应用

1、B.环境影响登记表（3）是否符合区域、流域规划和城市总体规划。为了有别于传统的忽视环境价值的理论和方法，环境经济学家把环境的价值称为总经济价值（TEV），包括环境的使用价值和非使用价值两个部分。在可行性研究时应进行安全预评价的建设项目有：2）间接使用价值。间接使用价值（IUV）包括从环境所提供的用来支持目前的生产和消费活动的各种功能中间接获得的效益。3.划分评价单元2.辨识与分析危险、有害因素（二）建设项目环境影响评价的工作等级第1页 多元函数极值的应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限的定义 掌握判定多元函数极限不存

2、在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1用定义证明例2当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3 设，讨论是否存在？例4设，讨论是否存在？例5求3、多元函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1 讨论函数在（0，0）处的连续性。例2 试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3求 例4

3、4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限存在，则有（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限存在，则有对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1已知，则 例2 试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3 设，求。例4 设，求。 例5 设，则在(1,2)的值为（ ）。2、 二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）, 定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。例1设，其中为常数，求：。例2设，求。3、在点偏导数存在在点连续4、偏导数的几何意义：表示曲

4、线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若，则可判定在点可微分。其中例1 证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。例2 ，证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1 设，则 例2 设求。例3 设，则 例4 函数在点(1,0,1)处的全微分为 例5设，求函数：对变量的全微分。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限 在可微在的一阶偏导数存在 在可微在的方向导数存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导

5、法则：变量树状图 法则(1) (2) zuxyxy(3) 例1 设，具有连续二阶偏导数，求。例2 设是由方程所确定的函数，其中可导，求。例3 设，具有连续二阶偏导数，求。例4 设，可导，则（ ）。例5 设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。例6 设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。例7 记，具有连续二阶偏导数，求，。例8 设，而，求和。例9 设，而，则。例10 设，又具有连续的二阶偏导数，求。2一阶全微分形式不变性：设，则不管是自变量还是中间变量，都有 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式

6、不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1设其中都可微，求。五、隐函数的求导法则1、，求 方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。 方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：2，求方法1（直接代公式）：方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：，3建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。例1设，其中是由确定的隐函数，求。例2设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。例3设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式

7、）参数形式，两柱面交线，两曲面交线切线向量切线向量 切线向量3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）隐函数，显示函数法线向量法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：例1曲线在点(a,0,0)的切线方程 例2在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。例3曲面在点(1,2,0)处的法线方程。例4在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。例7. 在曲线，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。例8设具有一阶

8、连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式在沿方向的方向导数为： 设为上一点，则 设的方向余弦为：，则可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式 在沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模例1求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。例2求函数在点（2，1）沿方向的方向导数例3设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？ 例4 函数在点处沿从到点方向的方向导数。例5函数在点处沿方向的方向导数。例6函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3、掌握求条件极值的一般方法拉格朗日乘数法例1求函数的极值。例2设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？