八年级数学平行四边形的性质与识别

1、教学内容：平行四边形的性质与识别重点难点平行四边形的性质。平行四边形的识别方法。学习内容：一. 平行四边形的性质：1. 平行四边形的性质：（ 1）将上面的平行四边形 abcd 绕着其对角线的交点 o 转动，当旋转 180后，发现旋转后的平行四边形和原来的平行四边形完全重合，由此可知平行四边形是中心对称图形，对角线的交点o 就是对称中心。由此可以得到：adbc，abdc，ac，bd即平行四边形的对边相等，对角相等。这样，我们就清楚了平行四边形的边和边、角和角之间关系。其对边相等，邻边无关，对角相等，邻角互补。例 1. 如图 2，在平行四边形abcd 中，已知 a 40，求其它各角的度数。dcab

2、图 2解： 由于平行四边形的对角相等，所以 c a 40 因为 ad/bcb180a180 40140所以db140例 2. 在平行四边形abcd 中，已知ab 8，周长等于24，求其余三条边的长。dcab图 3解： 由于平行四边形对边相等，所以ab dc ，ad bc由已知 ab 8ab bc cd da 24解得 cd 8第 1页共 7页故 ad bc 4（ 2）在刚才旋转时发现，平行四边形abcd 是一个中心对称图形，对角线的交点o 就是对称中心，所以（在图1 中）oa oc，ob od即平行四边形的对角线互相平分例 3. 如图 4，在平行四边形 abcd 中，已知对角线 ac 和 bd

3、 相交于点 o， aob 的周长为 15，ab 6，那么对角线 ac 和 bd 的和是多少？adobc图 4解： 已知 ao bo ab 15又 ab 6所以 aobo1569因为平行四边形对角线互相平分，所以acbd2 ao2bo2 (aobo )2918（ 3）两条平行线之间的距离：作两条互相平行的直线， 在其中一条上取若干点， 过这些点作另一条直线的垂线， 用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度。a 1a 2a 3l1b1b2b 3l2图 5发现： a 1 b1a 2 b 2a 3 b3即过两条平行直线上其中一条直线上任一点作另一条直线的垂线段，这些垂线段的长度相等，如果将这些垂线段的长

4、度称为平行线中一条直线到另外一直线的距离或称之为两条平行线间的距离，又可得到：平行线之间的距离处处相等。例 4. 如图 7，在平行四边形 abcd 中，已知点 e 和点 f 分别在 ad 和 bc 上，且 ae cf，连结 ce 和 af ，请说明四边形 afce 是平行四边形。aedbfc图 7第 2页共 7页解： 因为四边形abcd 是平行四边形，所以ad/bc （对边平行）即 ae/cf又 ae cf（已知）故四边形 afce 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）例 5. 已知平行四边形 abcd 中 e、 f 分别是 ad 、bc 的中点， af 与 eb 交于 g，

5、 ce 与 df 交于 h，试说明：四边形 egfh 是平行四边形。aedghbfc图 8解： 在平行四边形abcd 中， ad/bc ， ad bc而已知 e、 f 分别为 ad 、bc 的中点，所以ae/fcae1 ad1 bc cf22同理 ed / /bf ， edbf所以四边形afce 、 ebfd 都是平行四边形故 af/ec ， be/fd即有 gf/eh ， ge/fh四边形 egfh 是平行四边形2. 在纸上画两条相交于一点o 并且在 o 点处互相平分的线段ac 和 bd ，顺次连结ab 、bc 、cd 、 da 组成一个四边形abcd ，如图 9。adobc图 9实际上，在

6、作图过程中，a 与 c， b 与 d 是关于点o 成中心对称的对应点。根据中心对称的特征可知：ab/dc ，ad/bc据平行四边形的定义可知四边形abcd 是平行四边形。由此可知：对角线互相平分的四边形是平行四边形。例 6. 如图 10，在平行四边形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 交于 o 点，已知点 e、f 分别是 ao 、 oc 的中点，试说明四边形 bfde 是平行四边形。第 3页共 7页dcfeoab图 10解： 因为四边形 abcd 是平行四边形，所以 oa oc，ob od（平行四边形对角线互相平分）又 e、 f 分别是 ao 、oc 的中点，有oe of故四边形 bfde

7、 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）例 7. 如图 11，在四边形 abcd 中， a c， b d ，试说明四边形 abcd 是平行四边形。adbc图 11解： 在四边形 abcd 中， a b c d 360 因为 a c， b d （已知）故 a b 180从而 ad/bc （同旁内角互补，两直线平行）同理 ab/cd故四边形 abcd 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）因此可以得到下面结论：两组对角分别相等的四边形是平行四边形实际上：两组对边分别相等的四边形是平行四边形因为如图 11，如果 ab cd， ad bc ，再连结对角线 ac ，故由三角形具

8、有稳定性及平移和旋转知识可知：经过调整abc 可以和cda 重合，有 b d同理 a c由上面的判定方法可知四边形abcd 是平行四边形例 8. 已知 e、f 分别是平行四边形 abcd 中 bd 上的点，且 bedf ，试说明四边形 aecf 是平行四边形。解： 连结 ac 与 bd 相交于 o第 4页共 7页adfeobc图 12因为平行四边形abcd 中， ao oc， bo do而 be df故oeobbeoddfof故在四边形aecf 中， ao oc， oeof四边形 aecf 是平行四边形【同步达纲练习】1. 如图，在平行四边形abcd 中，ab70 ，求平行四边形各角的度数。a

9、dbc2. 已知：如图，四边形abcd 是平行四边形，且eadbaf 。（ 1）说明cef是等腰三角形。（ 2）cef的哪两边之和等于平行四边形abcd 的周长，为什么？eadfbc3. 已知，如图，四边形aefd 和 ebcf 都是平行四边形，试说明四边形abcd 也是平行四边形。adefbc4. 如图， d 、e、f 分别在abc 的各边上， 且 de / af ，延长 fd 至 g，使得 fg 2df ，第 5页共 7页求证： ed 与 ag 互相平分。aefbdcg参考答案【同步达纲练习】1. 解： 由平行四边形对边平行，所以ad/bcab180所以ab70解这个方程组得a125 ，b

10、55所以 ca 125 ， db 552. 解：（ 1）在平行四边形 abcd 中， ad/bc ，ab/cd所以eadf，bafe又已知eadbaf ，所以ef故cef是等腰三角形（ 2）cef中， cecf平行四边形abcd 的周长由（ 1）得eadbafef所以 dead ，fbab所以 cecfcdadcbab即 ce cf 平行四边形 abcd 的周长3. 解： 由四边形aefd 和四边形ebcf 是平行四边形，可知ad/ ef ， ef / bc所以 ad/ bc ，所以四边形 abcd 为平行四边形4. 连结 ad 、 eg第 6页共 7页aefbdcg因为 de / af ，所以四边形edfa 是平行四边形所以 ae/ df又因为 dfdg ，且 dg 、 df 在同一直线上所以， ae/ d