八年级数学平行四边形知识点及同步练习、含答案3

1、学科：数学教学内容：平行四边形的特征【学习目标】1探索并掌握平行四边形的特征2灵活运用平行四边形的特征解决问题3平行四边形一般转化成三角形的问题来解决【基础知识概述】1平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示平行四边形abcd 记作，读作平行四边形abcd (3)平行四边形定义的作用：由定义知平行四边形的两组对边分别平行由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形2平行四边形的特征：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等(2)平行四边形的对边平行且相等(3)平行四边形的对角线互相平分(4)平

2、行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心(5) 若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积注意： 特征： 都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段互相平分指两条线段有公共的中点3平行四边形特征的作用：可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等如图12-1-1，有如下结论：第 1页共 8页如果四边形 abcd 是平行四边形，则ab / cd， bc / ad( 对边平行)abcd， bcad( 对边相等)

3、a c， bd( 对角相等)aoco，bodo( 对角线互相平分)4两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离(2)两平行线间的距离处处相等注意： 距离是指垂线段的长度，是大于0 的平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置5平行四边形的面积：(1)如图 12-1-2，也就是(a 是平行四边形任何一边长，h 必须是a 边与其对边的距离 )(2)同底 (等底 )同高 (等高 )的平行四边形面积相等如图 12-1-2，有公共边bc，则注意：

4、这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了【例题精讲】例 1 如图 12-1-3，已知 的对角线相交于点 o，过 o 作直线交 ab 于 e，交 cd 于 f，可得 oe of为什么？分析： 要得到 oe of，可先证得它们所在aeo 与 cfo( beo 与 dfo) 重合解：在中， ab cd ， od ob ， 1 2， 3 4，将 boe 绕点 o 旋转 180 度后与 dof 重合第 2页共 8页 oe of注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角， 利用平行四边形的特征证明例 2(1)在中， a b 2 3，求各角的度数(

5、2)已知的周长为28cm， ab bc 3 4，求它的各边的长分析： (1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以a 与 b 必是邻角，其和为180，可据此列式求出角度(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2 倍，可以据此列式求出各边长解： (1)由于 a 、 b 是平行四边形的两个邻角，所以a b 180又因为 a b2 3，不妨可设 a 2k， b 3k，那么 2k3k 180，可以解得k 36，则a c72， b d 108(2)由于在中， ab cd ，bc ad 所以 ab bccd ad 28，即 ab bc 14由题意得 ab bc 3 4，因此可设 ab

6、3k，bc 4k，那么有 3k 4k 14，解得 k 2，则 ab cd 6cm， bc ad 8cm例 3如图 12-1-4，已知的周长为 60 cm，对角线 ac 、bd 相交于点o，aob的周长比 boc 的周长长8cm，求这个四边形各边长分析：由平行四边形对边相等知ab bc 平行四边形周长的一半30cm，又由 aob的周长比 boc 的周长长8 cm 知 ab bc 8cm，由此两式，可得各边长解：四边形 abcd 为平行四边形， ab cd ， ad cb ，ao co ab cd ad cb 60，ao ab ob (ob bc oc)8， ab 十 bc 30， ab bc 8

7、， ab cd 19， bcad 11答： 这个四边形各边长分别为19 cm， 11 cm， 19 cm， 11 cm注意： 平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差思考： 如图 12-1-4，如果 aob 与 aod 的周长之差为8，而 ab ad 3 2，那么的周长为多少？提示： 周长为 80设 ab 3x，则 ad 2x，依题意有 3x 2x 8， x 8， ab 3x 3 8 24， ad 2x 28 16周长 2(24 16) 80例 4如图 12-1-5，在中， b 120， de ab ，垂足为e， df

8、bc ，垂足为 f第 3页共 8页求 ade ， edf ， fdc 的度数分析： 由平行四边形对角相等、邻角互补得 a c， a b 180，再由垂直得到角为90即可解： 在中， a c， ad bc， a b 180 a 180 b 60 c 60 de ab ，df bc， ade fdc 90 a 90 60 30注意： 在平行四边形中求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解【中考考点】会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行【命题方向】多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及【常见错误分析】例 7如图 12-1-7，中， ac 和

9、 bd 交于 o， oe ad 于 e， ofbc 于 f，则oeof为什么？错解： ， oa oc， oe ad ， of bc， aoe cof又 1 2， aoe 旋转 180后与 cof 重合， oe of误区分析： 错误出于 aoe cof 这一步骤，原因在于默认了e， o， f 三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实e，o， f 三点共线在证题过程中应该加以证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误正解：解法一：， ad bc， 3 4又 oa oc， aeo cfo 90， aoe 旋转 180后与 cof 重合，第 4页共 8页 oe of解法二： ad bc ，

10、oe ad oe bc 又 of bc ，直线 oe 与 of 重合，即 e， o，f 三点共线， 1 2又 oa oc， aeo cfo 90， aoe 旋转 180后与 cof 重合， oe of此命题可推广如下：已知中， ac 和 bd 交于 o，过点 o 作直线 ef 交 ad 于 f，交 bc 于 f，则 oeof求解 (略 )这个推广后的命题， 是平行四边形中一个十分重要的基本命题， 利用它的结果可以证明很多问题成立【学习方法指导】1学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用2本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概

11、念【同步达纲练习】一、填空题1若一个平行四边形相邻的两内角之比为2 3，则此平行四边形四个内角的度数分别为 _ 2在中，周长为28，两邻边之比为3 4，则各边长为 _ 3在中， a 30， ab 7 cm， ad 6 cm，则 _ 4一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x 的取值范围为 _ 5中，周长为 20cm，对角线 ac 交 bd 于点 o， oab 比 obc 的周长多4，则边 ab _， bc _6平行四边形的边长等于5 和 7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是 _7已知等腰 abc 的一腰 ab 9 cm，过底边上任一点p 作两腰平行线

12、分别交ab 于m ，交 ac 于 n，则 an 十 pn _8平行四边形两邻边分别是4 和 6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是_9平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是_第 5页共 8页10如图 12-1-8，中， e 是 ad 的中点， bd 与 ec 相交于 f，若 s efd2，则s bfc _11已知 p 为内一点，则 s pab s pcd _12已知的对角线相交于点o，它的周长为 10 cm， bco 的周长比 aob 的周长多 2cm，则 ab _ 二、解答题13已知，如图 12-1-9，在 abc 中， bd 是 abc 的平

13、分线， de bc 交 ab 于 e， ef ac 交 bc 于 f，则 be fc，为什么？14如图 12-1-10，中，e，f 是对角线bd 上两点， 且 be fd，连结 ae ，fc，则 ae fc，试说明理由15如图 12- 1-11，中，对角线 ac 长为 10 cm， cab 30，ab 长为 6 cm，求的面积第 6页共 8页16如图 12-1-12，在等边 abc 中， p 为 abc 内一点， pd ab ，pe bc，pf ac ， d ，e， f 分别在 ac， ab 和 bc 上，试说明 pd pfpe ab 17从平行四边形的一个锐角顶点作两条高，如果这两条高的夹角

14、是135，求此平行四边形的各角的度数三、思考题18如图 12-1-13，ef 过 对角线的交点 o，交 ad 于 e，交 bc 于 f，若 ab 4， bc 5， oe 1. 5，求四边形 efcd 的周长19以平行四边形 abcd 两邻边 bc 、cd 为边向外作正 bcp 和正 cdq ，则 apq 为正三角形，请说明理由第 7页共 8页参考答案【同步达纲练习】一、1 72， 108， 72， 1082 6，8， 6， 83 21cm 24 10x225 7cm， 3 cm6 5，27 9 cm8 12 或 189 5cm210 811 5012 1. 5cm二、13提示：由 bed 是等腰三角形得到 be ed，由四边形 defc 是平行四边形得到 ed fc 即可14提示：通过abe 与 dcf 重合可以得出15 30cm 2 16延长 fp 交 ab 于 g，延长 dp 交 bc 于 h ，四边形 agpd ，