高一数学教案：任意角的三角函数7

1、课题：1.2.1 任意角的三角函数（二）教学目的：1. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2. 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点： 三角函数在各象限内的符号, 终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点： 正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型 ：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点p（ x,y ）则 p 与原点的距离 r2y22y20xx2. 比值 y 叫做的正弦记作：sinyrr比值 x 叫做的余弦记作：cosxrr比值 y 叫做的正切记作：tanyxx比值

2、 x 叫做的余切记作：cotxyy比值 r叫做的正割记作：secrxx比值 r叫做的余割记作：cscryy以上六种函数，统称为三角函数 .3. 突出探究的几个问题：p(x, y)r角是“任意角” ，当=2k + (kz) 时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数 r0 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限第1页共8页确定 .定义域：sinyr|k , kzrcscrycosxr|k, k zrsecrx2tany|k ,k zx2xcot|k , kzy4

3、. 注意 :(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合 .(2) op 是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的 .(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin ”与“”的积 . 其余五个符号也是这样 .(4) 定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置 ( 终边在坐标轴上的除外) ，即函数的定义与的终边位置无关.(5) 比值只与角的大小有关 .二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二

4、象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：第一象限全为正 ,二正三切四余弦 .第2页共8页sin为正全正csctan为正coscot为正secsin0sin0cos0tan0cot0sin0sin0cos0tan0cot0y2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390和 -330 都 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390 =sin30 co

5、s390 =cos30240 00xsin(-330)=sin30cos(-330 )=cos30 -510 0诱导公式一 （其中 kz ）:用弧度制可写成sin(k360 )sinsin(2k)sincos(k360 )coscos(2k)costan(k360 )tantan(2k)tan这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0 2间角的三角函数值问题三、讲解范例：例 1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250 （2） sin()（ 3） tan （ 672） (4) tan(11 )43解： (1) 250是第三象限角 cos250 0(2) 是第四象限角，sin() 04

6、4(3)tan （ 672） tan （ 48 2 360） tan48 而 48是第一象限角，tan （ 672） 0(4)tan 11tan( 52 )tan 5333而 5是第四象限角，tan 110 .33例 2求下列三角函数的值(1)sin1480 10 (2)cos 9（ 3） tan( 11 ) .46解 :(1)sin1480 10 sin （ 40 10 4 360） sin40 10 0.6451第3页共8页(2)cos 9cos(2 )cos24442(3)tan( 11) tan(2) tan63 .663例 3 求值： sin(-1320 )cos1110 +cos(

7、-1020 )sin750 +tan4950 解：原式 =sin(-4 360+120 ) cos(3 360 +30 )+cos(-3 360 +60 )sin(2 360 +30)+tan(360 +135 ) =sin120 cos30 +cos60 sin30 +tan135 =3311 -1=02222cos xtan x的值域例 4 求函数 ytan xcos x解： 定义域： cosx 0 x 的终边不在 x 轴上又 tanx 0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时，x0, y0cosx=|cosx| tanx=|tanx|y=2当 x 是第象限角时 ,x0, y0 |

8、cosx|=cosx |tanx|=tanx y= 2当 x 是第象限角时 ,x0, y0|cosx|=cosx |tanx|=tanx y=0当 x 是第象限角时 ,x0, y0|cosx|=cosx |tanx|=-tanx y=0四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100 cos240 (2)sin5+tan5分析 :由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解 (1) 100是第二象限的角,240是第三象限的角. sin100 0,cos240 0,于是有 sin100 cos2400.(2) 352 , 5 是第四象限的角2 sin5 0,tan50,于

9、是有 sin5+tan5 0.sin xcos x2. .x 取什么值时 ,有意义 ?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为r，故只要考虑正切函数的定义域第4页共8页和分式的分母不能 零.tan x解 :由 意得x2k(k z)即 : x2所以 ,当 xkx x20xk(kz)解得 :k(kz)xk( kz)2sin xcos x(kz) ，有意 .3若三角形的两内角， 足 sin cos0， 此三角形必 （b ）a 角三角形b 角三角形c 直角三角形d 以上三种情况都可能4若是第三象限角， 下列各式中不成立的是（b ）a： sin+cos0b ： tansin0c： coscot0d： cot

10、csc 05已知 是第三象限角且 cos0 ， 是第几象限角？22解： (2k1)(2k1)(kz )32 k( kz )则是第二或第四象限角22k42又 cos0则 是第二或第三象限角22必 第二象限角2sin 216已知1 ， 第几象限角？2解： 由 1sin 21 sin2022k2 2k +(k z ) kk +2 第一或第三象限角五、回 小 本 我 重点 了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一 公式，两者的作用分 是：前者确定函数 的符号，后者将任意角的三角函数化 0到 360角的三角函数， 两个内容是我 日后学 的基 .第5页共8页六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符

11、号：(1) tan(556 12 ) ,(2) cos16,(3)cot(17)58解 : （1） tan( 556 12 ) tan(360196 12 )tan(（2） cos16cos(44)cos(4)0555（3） cot( 17) cot(28) cot()0882. 化简 tan 2cot 211.sin 2cos2 acos2sin 2解法一： ( 定义法 )设点 p( x, y) 是角 终边上的一点， 且 | op|=r,则将 sin = = y ,cot = x 代入得：xy( y ) 2( x )2rr( y 4x 4 )r 2原式 =xy(22yx)( )x 2 y 2

12、 ( y 2x 2 )2)2xy( )(rr2r 22x 2cos2解法二： (化弦法 )196 12 )0y ,cos = x ,tanrrr 2 ( y2x2 )xy 2原式 = (sin)2(cos)2sin 2cos2cossinsin 2cos2sin 2cos2sin 2cos2sin 2cos22sin 2cos2sin 2cos2cos2解法三： ( 换元法 )设 cos 2=a, 则 sin 2 =1- a,tan 2 =1 a , 代入得a第6页共8页1aaa) 2a 2原式a1 a11(11 2a(1a) aa1aa(1a)(12a)a(1 a)112a22a(1a)a(

13、1a)acos2评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想 .七、板书设计（略）八、课后记：对于 sin +cos ,sin -cos ,sin cos三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.已知 sin 3+cos 3=1, 求下列各式的值：(1)sin+cos ； (2)sin4 +cos 4分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sin +cos 的方程，然后求解.(1) 解法一： (sin +cos) 3=sin 3+3sin 2cos +3sin cos

14、2+cos3=(sin 3+cos 3)+3(1-cos 2)cos +3(1-sin2)sin =1+3cos-3cos 3+3sin -3sin 3=1+3(sin +cos )-3(sin3+cos3 )=3(sin +cos )-2. (sin +cos ) 3-3(sin +cos )+2=0.令 sin +cos =t , 则 t 3-3 t +2=0( t -1) 2( t +2)=0. t =1 或 t =-2即 sin +cos =1 或 sin +cos =-2( 舍去 ).解 法 二 ： sin 3 +cos 3 =(sin +cos )(sin2 -sin cos +cos2 )=(sin +cos )(1-sin cos ). (sin+cos )(1-sincos )=1.注意到 sin cos 可用 sin +cos 表示，并令sin +cos =t , 则 sin