高三数学教案直线圆锥曲线的综合应用

1、8 5 圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法二建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线

2、方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。三、双基题目练练手1 (2005 北京 )设 abc 0 ，“ ac0 ”是“曲线 ax 2by 2c 为椭圆”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分又非必要条件2已知双曲线的两个焦点是椭圆x2y2的两个顶点，双曲线的两条准线经过100164椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是()a x2y21b x2y 21c x2y21d x2y 2160305040604050303 (2006 江苏 )已知两点 m（ 2， 0）、 n（ 2，0），点 p 为坐

3、标平面内的动点，满足| mn | | mp |mnnp 0，则动点 p（ x， y）的轨迹方程为（）（ a） y 28x（ b）y28x（ c）y24xy24 x（d ）第 1页共 17页4（ 2006 江西） p 为双曲线 x2y21的右支上一点 , m 、 n 分别是圆916( x5)y24和 (x 5)2y21 上的点 ,则 pmpn 的最大值为（）a 6b 7c 8 d 95 (2005山东 )设直线 l : 2xy20 关于原点对称的直线为l，若 l与椭圆x2 y21 的交点为 a、b，点 p 为椭圆上的动点，则使pab 的面积为1 的点 p 的个42数为 _6 直线 l 过点 m（

4、 1， 1），与椭圆 x2+ y2=1 相交于 a、 b 两点，若 ab 的中点为43m ，则直线l 的方程是 _简答：1- bcbd ；设左焦点为f 1，右焦点为f 2，由双曲线定义和三角形边的关系得：| pm | pn |(| pm |2) (| pn |1) 3 | pf1 | | pf2 | 3 9 ，选 d；x12+y12=1 ，x22y2243+=1相减得43y1y23x1x2x2=y1y2x14又 m 为 ab 中点， x1+x2=2 ， y1+y2=2 直线 l 的斜率为3 4得直线 l 的方程为3x+4y 7=0 四、经典例题做一做x2y21的左焦点为 f， o 为坐标原点。

5、【例 1】 (2006 福建 ) 已知椭圆2（ i）求过点 o、 f ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（ ii ）设过点 f 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b 两点，线段 ab 的垂直平分线与 x 轴交于点 g，求点 g 横坐标的取值范围。第 2页共 17页解：（ i）a22, b21,c1, f ( 1,0), l : x2.圆过点 o、f ，1圆心 m 在直线 x上。2设 m ( 1 ,t ), 则圆半径 2r ( 1)(2)3 .y22由 omr , 得(1 )2t 23 ,bl22f g oxa解得 t2.所求圆的方程为( x1 )2( y2) 29 .24（ ii ）设直

6、线 ab 的方程为 yk(x1)(k0),代入x2y21,整理得 (12k2) x24k3x 2k22 0.2直线 ab 过椭圆的左焦点f，方程有两个不等实根。记 a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ), ab 中点 n (x0 , y0 ),则 x14k 2,x22k21ab 的垂直平分线ng 的方程为 y y01 ( x x0 ).k令 y 0, 得xgx02k2k 2k 211.ky02 1 2k212k2124k22k2k0,10,xg2点 g 横坐标的取值范围为1,0).(2第 3页共 17页【例 2】(2006天津 )如图，以椭圆 x 2y21 ab 0 的中心 o

7、为圆心，分别以a 2b 2a 和 b 为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点fc,0 cb 作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点a 连结 oa 交小圆于点 b 设直线 bf 是小圆的切线（ 1）证明 c 2ab ，并求直线 bf 与 y 轴的交点 m 的坐标；（ 2）设直线 bf 交椭圆于 p 、 q 两点，证明op oq1b2 2（）证明：由题设条件知， rt ofa rtobf 故ofobcboa，即acof因此， c2ab解：在 rt ofa 中fa oa2of 2a2c2b b于是，直线oa 的斜率 koa设直线bf 的斜率为 k ，则c1ckkoab这时，直线 bf 与 y 轴的交

8、点为 m (0, a)( )证明：由（） ，得直线 bf 得方程为 y kxa, 且k 2c2abab2b2b第 4页共 17页由已知，设p(x1, y1 ) 、 q (x2 , y2 ) ，则它们的坐标满足方程组x2y21a2b2ykx a由方程组消去y ，并整理得(b2a2 k2 ) x22a3 kx a4a2 b20 由式、和，x1 x2a4a2 b2a2 (a2b2 )a3b2b2a2 k222aa3b3bab由方程组消去x ，并整理得(b2a2 k2 ) y22ab 2 ya2b2a2 b2k 20 由式和，a2b2 (1 k2 )22aa2b2 (b a)y1 y2ab (1b )

9、b2a2k 222 ab3a3bab综上，得到op oqx1 x2y1 y2a3b2a2b2 (b a)a2 b3a3b3a3b3a3b3注意到 a2abb2a2c2b22b2 ，得op oqa2b3a2 b3a2 ba3b3(ab)2b22(ab)ac2a(a2b2 )1 (a2ab)2( ab)2(ab)21 (a2c2 )1 b222【例 3】 a、 b、 c 是我方三个炮兵阵地，a 在 b 正东 6 km， c 在 b 正北偏西 30，相距 4 km， p 为敌炮阵地，某时刻a 处发现敌炮阵地的某种信号，由于b、 c 两地比 a第 5页共 17页距 p 地远，因此4 s 后， b、 c

10、 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s， a 若炮击 p 地，求炮击的方位角解：如下图，以直线ba 为 x 轴，线段 ba 的中垂线为y 轴建立坐标系，则b（ 3， 0）、a（ 3， 0）、 c（ 5， 23 ）因为 |pb|=|pc|，所以点 p 在线段 bc 的垂直平分线上y因为 kbc=3 ， bc 中点 d（ 4， 3 ），cp所以直线 pd 的方程为 y3 =1 （ x+4 ）db oax3又 |pb| |pa|=4，故 p 在以 a、b 为焦点的双曲线右支上设 p（ x， y），则双曲线方程为x2 y2=1（ x 0）45联立，得x=8， y=5 3 ，所以 p（ 8

11、， 5533 ）因此 kpa= 3 8 3故炮击的方位角为北偏东 30【例 4】 (2006 春上海 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2y 2，变轨（即航天器运100125行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 m 0,64为顶点的抛物7线的实线部分，降落点为d( 8, 0 ) 观测点 a( 4, 0 )、b( 6,0 ) 同时跟踪航天器（ 1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（ 2 ）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点a、 b 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解（ 1

12、）设曲线方程为 yax264 ，由题意7可知， 0 a 6464 a1 77第 6页共 17页曲线方程为 y1x 26477（ 2）设变轨点为 c( x, y ) ，根据题意可知x2y21001,25得1 x2 64 ,y774y 27 y 360 ，y4或 y9（不合题意，舍去） 4y4得 x6 或 x6 （不合题意，舍去） c 点的坐标为 ( 6,4 ) ， | ac | 2 5 , | bc |4 答：当观测点 a、 b 测得 ac、 bc 距离分别为 2 5、 4时，应向航天器发出变轨指令【研讨 欣赏】（ 2006 重庆）已知一列椭圆 cn : x2y21，0 bn 1, n 1,2,

13、 。bn2若椭圆 c n 上有一点 pn ，使 pn 到右准线 l n 的距离 dn 是 pn fn与 pngn 的等差中项，其中fn 、 gn 分别是 cn 的左、右焦点。（）试证： bn3 (n 1) ；2（ ） 取 bn2n 3 ， 并 用 sn 表 示 pn fngn 的 面 积 ， 试 证 ： s1 s2 且n 2snsn 1( n3)第 7页共 17页证：（ i）由题设及椭圆的几何性质有2dnpn fnpgnn2 ，故 dn1。设 cn1bn2，则右准线方程为ln : x1cn11111, 解之得： 1因此，由题意 dn 应满足1 dn1. 即 c ncn 1 。cncn0cn12

14、即 11bn21，从而对任意 n1,bn3 22（ ii ）设点 pn 的坐标为xn , yn ，则由 dn1及椭圆方程易知xn11, yn2bn2 (1xn2 )(1cn2 )(1 ( 11)2 )cncn12 ( 2cn3cn22cn1) 。cncn1bn2n11n1(1,1)n222因 fn gn2cn ，故pn fngn 的面积为 sncnyn，从而 sn22cn3cn22cn1。令 f (c)2c3c22c1 。由 f (c)6c22c20 ，得两根 113 . 从而6易知函数f (c) 在 1 , 113内是增函数。而在1613 ,1内是减函数。26现在由题设取 bn2n 3 ,

15、则 cn1bn2n111 , cn 是增数列。n2n2n2第 8页共 17页231134又易知 c14c26c3 。35故由前已证，知s1s2 ，且 snsn 1 (n 3) 。说明 : 如果建立sn 与 n 的函数 , 讨论单调性比较复杂 .五提炼总结以为师1解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。2对于求曲线方程中参数范围或最值问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解，还有法,几何法 ,向量法等3 解决圆锥曲线应用问题时

16、，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化； 要注意认真分析数量间的关系， 紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答四点重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的简化功能；重视根与系数关系在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一注意用好以下数学思想、方法：数形结合思想；方程与函数思想；化归转化思想；分类讨论思想；对称思想；主元与参数思想此外，整体思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法在复习中必须给予足够的重视，真正发挥其联系知识

17、、简化计算、提高能力中的作用同步练习85圆锥曲线综合应用【选择题】x 2y 2=1 的左、右焦点分别为12，点 p 在椭圆上，1（ 2004 湖北）已知椭圆+f、 f若 p、 f12169是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到 x 轴的距离为（）、 fa 9b 3c 9 7d 9574x2y20) 离心率为2，有一个焦点与抛物线2 (2005 湖北 )双曲线1(mnmn第 9页共 17页y 24x 的焦点重合，则mn 的值为（）a3b3c1681683d 33（2006 辽宁）曲线x2y26) 与曲线x2y21(5 n9) 的10m61(m5 n9nm()a焦距相等b离心率相等c焦点相同d准线

18、相同4(2006 湖北 )设过点 p（x，y）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于a,b两点，点 q 与点 p 关于 y 轴对称， o 为坐标原点， 若 bp2pa,且 oq ab =1, 则 p 点的轨迹方程是（）a2322323x +y =1 (x0,y0)b3x -y 1（x0, y0）22c322=1( x0,y0)d3222x-3y2x +3y =1( x0,y0)【填空题】x2y 21(a b0) 的左准线上，过点 p5 (2005 江苏卷 )点 p（ -3， 1）在椭圆b 2a 2且方向为 a(2,5)的光线，经直线y2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 _

19、6 (2005 江西 ) 以下同个关于圆锥曲线的命题中设 a、 b 为两个定点， k 为非零常数， | pa | pb |k ，则动点 p 的轨迹为双曲线；设定圆 c 上一定点 a 作圆的动点弦 ab，o 为坐标原点，若 op1 (oaob),2则动点 p 的轨迹为椭圆；方程 2x25x 20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线x2y 2与椭圆 x221有相同的焦点2591y35其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）第10页共17页简答提示 ： daad ；3 ； 3【解答题】7已知椭圆的焦点是f1（ 1， 0） ,f2（ 1， 0） ,p 为椭圆上的一点,且 |f1 f2|是

20、|pf 1|和 |pf 2|的等差中项。（ 1）求椭圆方程；（2）若点 p 在第三象限，且1 2=1200，求p f ftanf pf 。12解：(1)由题设 2|f 1f2|=|pf 1|+|pf2|，c=1。 2a=4， b= 3x2y2。椭圆方程为1。43(2)设 f1pf2= ,则 pf 2 f1=600 ,由正弦定理并结合等比定理可得到| f1 f2 | pf 2 | pf1 | pf2 | | pf1|sinsin 1200sin(600)sin 1200sin(60 0,)化简可得5sin3(1 cos), tansin3cos,2 155 3从而可求得tan f1 pf2=。思

21、维点拨 ：解与 p f 1f2 有关的问题 （p 为椭圆上的点） 常用正弦定理或余弦定理，并且结合 |pf 1|+|pf 2|=2a 来求解。8 (2005 上海文 ) 已知抛物线 y2=2 px(p0)的焦点为 f ， a 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点， a 到抛物线准线的距离等于 5过 a 作 ab 垂直于 y 轴，垂足为 b， ob 的中点为 m（ 1）求抛物线方程；（ 2）过 m 作 mn fa，垂足为 n，求点 n 的坐标；（ 3）以 m 为圆心， mb 为半径作圆 m，当 k( m 0)是 x 轴上一动点时，讨论直线 ak 与圆 m 的位置关系解：（ 1）抛物线

22、y2=2px 的准线为xp , 于是 4p5, p 2.22抛物线方程为y2= 4x（ 2）点 a 的坐标是（4， 4）， 由题意得 b（ 0， 4）， m（ 0， 2），又 f （ 1， 0）， k fa4 ; mn fa, kmn3 ,34则 fa 的方程为 y= 4 （ x1）， mn 的方程为 y 23x.34第11页共17页y4 ( x1)x8584解方程组3,得).3 xn (,y2y45545（ 3）由题意得，圆m 的圆心是点（0， 2），半径为 2当 m=4 时，直线 ak 的方程为 x=4，此时，直线ak 与圆 m 相离，当 m 4 时，直线 ak 的方程为 y4即为 4x(

23、4 m) y4m 0,( x m),4 m圆心 m（0， 2）到直线 ak 的距离 d| 2m8|2,解得 m1，令 d16 (m4) 2当 m 1时，直线 ak 与圆 m 相离；当 m=1 时，直线 ak 与圆 m 相切；当 m 1时，直线 ak 与圆 m 相交9（2003 上海）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高 4 5 m，隧道全长2 5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（ 1）若最大拱高h 为 6 m，则隧道设计的拱宽l 是多少？（ 2）若最大拱高 h 不小于 6 m，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭

24、圆的面积公式为s= lh，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到014m）（ 1）解：如下图建立直角坐标系，则点 p（11，45），4.5hx 2y 2椭圆方程为a2+2 =1将 b=h=6 与点 p 坐标代入椭22bl圆方程，得 a= 44 7，此时 l=2a= 887 333因此隧( 单位: m)77道的拱宽约为 33 3 m（ 2）解法一：由椭圆方程x 2y 21124.52a 2 + b2 =1，得 a2 +b 2=1因为 112 + 4.52 2 114.5 ，即 ab99，且 l =2a，h=b，所以 s= lh= ab 99 a2b2ab422第12页共17页当 s 取最小值时，

25、有1124.52=1 ，2 =2ab2得 a=11 2 ，b= 9 2 2此时 l=2a=222 311， h=b 6 4故当拱高约为6 4 m、拱宽约为31 1 m 时，土方工程量最小解法二：由椭圆方程x2y 2+ b 2 =1，a2得1124.52a2+b2 =1于是 b2= 81 a 2a24121a2b2=81 （a2121+1212+242 ） 81 （ 2 1212+242） =81121，4a21214即 ab 99，当 s 取最小值时，有 a2 121=12122a121得 a=112 ，b= 9 2，以下同解法一210 (2006 四川 )已知两定点 f1 (2,0), f2

26、 (2,0), 满足条件 pf 2pf 12 的点 p的轨迹是曲线e，直线 ykx 1 与曲线 e 交于 a、 b 两点 如果 ab63, 且曲线 e上存在点 c，使 oaobmoc , 求 m的值和abc的面积 s解：由双曲线的定义可知， 曲线 e 是以 f12,0 , f22,0 为焦点的双曲线的左支，且 c2, a1 ，易知 b1故曲线 e 的方程为 x2y21 x0yac第13页共17页box设 a x1 , y1, bx2 , y2 ，由题意建立方程组ykx1x2y21消去 y ，得1k2x22kx 2 0又已知直线与双曲线左支交于两点a, b ，有1k 2028 1 k 202kx

27、1 x22k0解得2k11k 2x1 x2201k 2又ab1 k 2 x1 x21 k2x1x224x1 x22k221k22k2k 211421k22k 21k2依题意得 21k22k 263整理后得28k455k 22501k 22 k 25 或 k 25但 2 k1 k5742故直线 ab 的方程为5 xy102设 cxc, yc ，由已知 oaobmoc ，得x1, y1x2 , y2mxc , myc mxc , mycx1x2 , y1y2， m 0mm又 x1x22k4 5 ， y1y2 k x1x222k2228k21k2121k458点 c,mm第14页共17页将点 c 的

28、坐标代入曲线e 的方程，得 80641m2m2得 m4，但当 m4 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 m4 ， c 点的坐标为5, 2c 到 ab 的距离为552121235122 abc 的面积 s16 31323【探索题】（ 2002 春全国）已知某椭圆的焦点是f 122（ 4，0）、f （ 4，0），过点f，并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为b，且 f1b f 2b 10椭圆上不同的两点 a（ x1122）满足条件： f222c成等差数列，y）、c（ x，ya、 f b、 f（ 1）求该椭圆的方程；（ 2）求弦 ac 中点的横坐标；（ 3）设弦 ac 的垂直平分线的方程为y kx m，求 m 的取值范围（ 1）解：由椭圆定义及条件知y2a f 1b f2b 10，得 a 5