高一数学教案：平面向量的数量积及运算律(2)

1、课题：平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1 掌握平面向量数量积运算规律；2 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作 oa ， ob ，则（）叫与的夹角2平面向量数量

2、积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作a b ，即有 a b = |a|b|cos，（）并规定 0 与任何向量的数量积为03“投影”的概念：作图c定义： |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0 时投影为 |b| ；当 = 180时投影为 |b|4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos的乘积5两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量

3、1e a = a e =|a|cos； 2 aba b = 03当 a 与 b 同向时， a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b =|a|b|特别的 a a = |a|2或 | a |aaa b4cos = | a | b |； 5 |a b| |a|b|7判断下列各题正确与否：1若 a = 0，则对任一向量b ，有 a b = 0( )第 1页共 5页2若 a0，则对任一非零向量b，有 a b0( )3 若 a0， a b = 0，则 b = 0( )4若 a b = 0，则 a 、 b 至少有一个为零( )5 若 a0， a b = a c，则 b = c( )6若 a

4、b = a c，则 b = c 当且仅当 a0 时成立( )7对任意向量 a、 b、 c，有 (a b) ca (b c)( )8对任意向量 a，有 a2 = |a|2( )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律： a b = ba证：设 a， b 夹角为，则 ab = |a|b|cos， ba = |b|a|cos a b = b a2数乘结合律：(a) b =(a b) = a (b)证：若 0， (a) b =|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos， a (b) =|a|b|cos，若 0， (a) b =|a|b|cos() =|a|b|(cos ) =|a|b|cos

5、，(a b) =|a|b|cos，a (b) =|a|b|cos() =|a|b|(cos ) =|a|b|cos3分配律： (a + b) c = a c + b c在平面内取一点o，作 oa = a,ab = b， oc = c， a + b （即 ob ）在 c 方向上的投影等于a、 b 在 c 方向上的投影和，即|a + b| cos= |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos=|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2 c (a + b) = c a + c b即： (a + b) c = a c + b c说明：（ 1）一般地， ( )

6、（）（ 2）， 0 （ 3）有如下常用性质：，（）（）( )三、讲解范例：例 1 已知 a、 b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a 5b 垂直， a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角解：由 (a + 3b)(7a5b) = 07a2 + 16a b15b2 = 0(a4b)(7a2b) = 07a230a b + 8b2 = 0两式相减： 2a b = b2代入或得：a2 = b2第 2页共 5页a bb 21设 a、 b 的夹角为，则 cos= | a | b |2 | b |22 = 60例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：abcd

7、中， abdc ， adbc ， ac = ab adad |222| ac |2= | ababad2abad而 bd = abadad |222| bd |2= | ababad2 abad22| bc |2| dc |2| ad |2| ac |2 + | bd |2 = 2 ab2 ad = | ab |2例 3 四边形 abcd中， ab ， bc ， cd ， da ，且 ，试问四边形abcd是什么图形 ?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形 abcd是矩形，这是因为：一方面：0 ，（） ， ( )（）即由于，同理有由可得，且即四边

8、形abcd两组对边分别相等四边形 abcd是平行四边形另一方面， 由 ， 有（） ，而由平行四边形abcd可得，代入上式得 (2)即，也即ab bc综上所述，四边形abcd是矩形评述：(1) 在四边形中， ab ，bc ，cd ， da 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1 下列叙述不正确的是（）a 向量的数量积满足交换律b 向量的数量积满足分配律c向量的数量积满足结合律d a b 是一个实数2 已知 |a|=6,|b|=4,a与 b 的夹角为，则(a+2b)

9、(a-3b)等于（）a 72b -72c36d -36333 |a|=3,|b|=4,向量 a+ 4 b 与 a- 4 b 的位置关系为（）第 3页共 5页a 平行b 垂直c夹角为 3d 不平行也不垂直4已知 |a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150，则 (a+b)5已知 |a|=2,|b|=5,a b=-3,则 |a+b|=_,|a-b|=6设 |a|=3,|b|=5,且 a+ b 与 a b 垂直，则3参考答案： 1 c2 b 3 b4 +2 35 23 35 6 5五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的

10、 5 个重要性质解决相关问题六、课后作业1 已知 |a|=1,|b|=2 ,且 (a-b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是（）a 60b 30c 135d 2已知 |a|=2,|b|=1,a与 b 之间的夹角为3 ，那么向量 m=a-4b 的模为（）a 2b 23c 6d 123已知 a、 b 是非零向量，则 |a|=|b|是 (a+b)与 (a-b)垂直的（）a 充分但不必要条件b 必要但不充分条件c充要条件d 既不充分也不必要条件4已知向量 a、 b 的夹角为3 ， |a|=2,|b|=1, 则|a+b|a -b|=5已知 a+b=2i-8j,a -b=-8i+16j,其中 i 、

11、j 是直角坐标系中x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，那么a b=6已知 a b、 c 与 a、 b 的夹角均为60，且 |a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c) _7已知 |a|=1,|b|=2 ,(1)若 ab,求 a b;(2)若 a、 b 的夹角为，求|a+b| ；(3)若 a-b与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角8设 m、 n 是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角9对于两个非零向量a、 b，求使 |a+tb|最小时的 t 值，并求此时b 与 a+tb 的夹角参考答案： 1 d2 b 3 c4 215 63 6117(1)- 2 (2)32(3)458 120990七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1 常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和 (差 )公式在解题中的应用较为广泛即(ab) a a b b，（ a b） a a b b上述两公式以及(a b)(ab) a b 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直第 4页共 5页接应用2 应用举例例