高一数学教案：新集合间的关系

1、1.1.2集合间的基本关系【自主整理 】1. veen 图（ 1）定义：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法（ 2）适用范围：有限集且元素个数不太多（ 3）使用方法：把元素写在封闭曲线的内部2. 子集（ 1）定义：一般地，对于两个集合a 与 b，如果集合a 的任意一个元素都是集合b 的元素，我们就说这两个集合之间有包含关系，称集合a 为集合 b 的子集，记作ab 或 ba，读作 “a含于 b”（或 “b包含 a”）（ 2）图示：当ab 时，用 venn 图表示，如图1-1-2-1(1)(2) 所示baab(1)(2)图 1-1-2-13

2、集合相等（ 1）定义 1：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等（ 2）定义 2：如果集合a 是集合 b 的子集，且集合b 是集合 a 的子集，那么集合a 与集合 b 相等，记作 a=b （ 3）图示：当a b 时，用 venn 图表示，如图1-1-2-2 所示ba图 1-1-2-24真子集b ，且存在元素 xb ，且 xa ，我们就称集合（ 1）定义：如果集合 aa 是集合 b 的真子集，记作 ab (或 b a )（ 2）图示：当ab 时，用 venn 图表示，如图1-1-2-3 所示ab图 1-1-2-34空集（ 1）定义：我们把不含任何元素的集

3、合叫做空集，记作（ 2）规定：空集是任何集合的子集，即a ；空集是任何非空集合的真子集，即a(a) 第 - 1 -页共 9页【高手笔记 】1当集合 a 不包含于集合b（或集合 b 不包含集合 a）时，记作 ab（或 ba） .2 判断集合相等的方法：（1）当集合 a 与集合 b 中元素完全相同时，有ab；（ 2） ab, b aa b 3子集的性质： a b, 且 b ca c ； ab, 且 b cac ；当 ab 时，则 ab 或a b 4. 判断集合间的关系的关键是弄清集合有哪些元素组成，也就是把较为抽象的集合具体化、形象化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言（列举法和描述法）、图形语言

4、（venn 图）来表示集合5在具体问题中， 特别是含有字母的问题中一定要注意空集的存在与否， 以及元素互异性的讨论要注意分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用【名师解惑 】1.空集中没有元素，怎么还是集合？剖析：疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会例如，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集对于 10 ， x24 0 等方程来说，它们的解集中没有元素也就是说确实存在没有任何元素x的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集 这就是建立空集这个

5、概念的背景由此看出， 空集的概念是一个规定 又例如， 不等式 x0的解集也是不含任何元素，就称不等式x0 的解集是空集2. 符号 和 有什么区别？剖析：难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比符号 只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如1 z ,1z ；符号只能适用于集合与集合之间，其2左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示左边的集合的元素均属于右边的集合，如 11,0， x x2x x3 等等【讲练互动】【例题1】(2006上海高考卷，理科）已

6、知集合a， ，2m 1，集合b，m2 若113 3b a，则实数 m 【解析】本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性ba， 集合 b 中的元素都在集合 a 中，由集合元素的互异性得m21（舍去）或 m22m1，解得 m1.故填 1【答案】： 1【绿色通道】已知两集合之间关系解决其它问题时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式【黑色陷阱】 本题容易出现m23 ，其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得 m的值后，再代入验证 .【变式练习】1.已知集合 mx 2 x0 ，集合 nx ax 1 ，若 nm ，求实数 a

7、的取值范围【思路分析】 ：集合 n 是关于 x 的方程 ax1的解集，集合mx x 2，由于 nm ，则n或 n，要对集合 n 是否为空集分类讨论第 - 2 -页共 9页解：由题意得m x x2，则 n或 n当 n时，关于 x 的方程 ax1无解，则有 a0 ；当 n时，关于 x 的方程 ax1有解，则 a0，此时 x1，a又 nm ，1m ， 12 ， 0 a1 aa121综上所得，实数a 的取值范围是 a0 或 0a，即 aa 0 a22答案：a 0a12【例题 2】（ 1）分别写出下列各集合的子集及其个数：， a ， a, b， a,b, c .（ 2）由（ 1）你发现当集合 m 中含有

8、 n 个元素，则集合m 有多少个子集？【思路解析】：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力（ 1）按子集中所含元素的个数分类写出子集； （ 2）由（ 1）总结当 n0 ， n 1， n2 ， n3 时子集的个数规律，归纳猜想出结论 .解：（ 1）的子集有：，即有 1 个子集；a 的子集有：、 a，即 a有 2 个子集；a, b 的子集有：、 a 、 b、 a, b，即 a有 4 个子集；a, b, c 的子集有：、 a 、b、 c、 a, b、 a, c、 b,c、 a, b, c ，即 a,b,c有 8 个子集；（ 2）由（ 1）可得：当 n 0 时，有 1 20 个子集；当 n

9、 1 时，有 2 21 个子集；当 n 2 时，有 4 22 个子集；当 n 3 时，有 8 23 个子集；因此含有 n 个元素的集合m 有 2n 个子集 .m 中含【绿色通道】写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象；集合有 n 个元素，则集合m 有 2n 个子集，有2n1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度；【变式训练】1（ 2007 山东省济宁一模， 理科 1）已知集合 p1,2,那么满足 qp 的集合 q 的个数是（）a 4b 3c 2d 1【解析】集合q 的个数等于集合p 子集的个数集合p 1,2含有 2 个元素，其子集有22 4 个，又集合 qp ，所以

10、集合 q 有 4 个，故选 a 答案： a【例题 3】已知集合 mx xm1 , m z， nx xn1 , nz ，则集合 m , n 的关系是623（）a mnb m nc n md n m【解析】本题主要考查集合间的关系明确集合m , n 中的元素，依据有关概念来判断思路1用列举法分别表示集合m , n 集合 m,11 ,5 , 1 , 7 ,13 ,，集合 n, 11,4 ,5 ,1 ，666666363第 - 3 -页共 9页1 , 2, 7, 5 ,13, 则 有 mn ； 思 路 2设 n2m或 2m1,mz ， 则 有 nx x2m1 或6363623x2m11， mz x x

11、 m 1 或 xm1， m z， mn 故选 b2336答案： b【思路通道】 判断两个集合间的关系时， 主要是根据这两个集合中元素的特征， 结合有关定义来判断 对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可得它们间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明当m n 和 mn 均成立时， mn 最准确反映集合m , n 的关系当 mn 和 mn 均成立时， mn 最准确反映集合m , n 的关系【变式训练】1已知集合 m x yx1, y1，集合 n y yx1, x1 ，则集合集合 m , n 的关系是

12、（）a mnb n mc m nd n m【解析】 集合 m x x0，集合 n y y 0 ，则有 mn 且 nm ，所以 mn ，故选 c答案： c2（ 2007 广东中山市月考，理科1）已知集合 a0,1， by x2y21, xa，则（）a a bb a bc b ad b a【解析】 xa ， x0 或 x1 ，又 x2y21 ， x 0 ， y1或 x1 ， y 0，b1,0,1 ， ab ，故选 b答案： b【教材链接】1教材第6 页思考：实数有相等关系、大小关系，如55，53, 等等 .类比实数之间的关系,你会想到集合之间的什么关系 ?答：可以想到：集合之间有相等关系、包含关系

13、；一个集合中的元素个数少于另一个集合中的元素个数,并且这个集合中的元素都在另一个集合中；一个集合中的元素个数多于另一个集合中的元素个数,并且这个集合中的元素包含另一个集合中的元素.2教材第7 页左栏思考：请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例.答：例如集合 a1,2,3 ,集合 b1,0,1,2,3,4,5,则集合 a 包含于 b，集合 b 包含集合a；又例如a 三角形 ， b 直角三角形 ，则集合 a 包含 b，集合 b 包含于集合 a 等等 .与实数中的结论“若 ab ，且 ba ，则 ab . ”相类比，你有什么体会？答：在集合中有结论：若ab ,且 ba ，则 ab .由此可得证

14、明集合ab ，转化为证明ab ,且 ba .你能举出几个空集的例子吗？答：例如集合 x 3 x 1，集合 x1，既是有理数又是无理数的实数组成的集合0x21等等 .3教材第8 页思考：第 - 4 -页共 9页包含关系aa 与属于关系 aa 有什么区别？试结合实例作出解释.答：区别是包含关系aa 是集合之间的关系，而属于关系aa 是元素与集合之间的关系.例如：包含关系20,1,2,3 与属于关系 20,1,2,3 ， 20,1,2,3 表示集合2 包含于集合0,1,2,3，即表示集合2 与集合0,1,2,3的关系，而20,1,2,3 表示元素2 属于集合0,1,2,3 即元素 2 是集合0,1,

15、2,3 的关系 .【教研中心 】 教学指导 一、课标要求1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力.2在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用venn 图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力， 树立数形结合的思想二、教学建议教材从学生熟悉的实数间相等和大小的关系出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、空集、venn 图等概念 .在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等.本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系；本

16、节的难点是理解空集的含义，其突破方法是教学时宜多举些方程无解、不等式无解这样的例子值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用venn 图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如与的区别本节教学时间约需 1 课时【资源参考】【数学史探源】第三次数学危机1902 年，英国数学家罗素发现了一个集合悖论. 罗素把集合分成两种：第一种集合，集合本身不是它的元素，即 a 不属于 a；第二种集合：集合本身是它的一个元素a a，例如一切集合所组成的集合. 那么对于任何一个集合b，不是第一种集合就是第二种集合.

17、假设第一种集合的全体构成一个集合m，那么 m 属于第一种集合还是属于第二种集合.如果 m 属于第一种集合，那么m 应该是 m 的一个元素，即 m m ，但是满足 m m 关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾 .如果 m 属于第二种集合，那么m 应该是满足m m 的关系，这样m 又是属于第一种集合矛盾 .这就 是 著 名 的 罗 素 悖 论 . 例 如 ， 1和 1 , 2,4, 3， 到 底 是 11 , 2,4, 3 还 是 11 , 2,4 , 3呢？为了便于理解，罗素把集合论悖论通俗形象地比喻为一个理发师的悖论：在村里有一位手艺高超的理发师，他只给村里一切不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给

18、不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了 . 他应该如何呢？这个悖论用数学语言应该这样叙述：具有某种相同属性的事物的全体称为集合，组成该集合的每个事物称为元素 .但集合一般可分为两大类，一类称为本身分子集，另一类称为非本身分子集.例如由许多图书馆所构成的集合m 仍然是图书馆， 所以 m 是属于自己的元素的集合， 即本身分子集， 我们权且称之为甲类 而由全体自然数所构成的集合n 就不再是自然数， 所以 n 是自己不属于自己的元素的集合，即非本身分子集，第 - 5 -页共 9页我们称之为乙

19、类.那么罗素问：乙类集合的全体也是一个集合，它属于哪一类？对这个问题的回答就如同理发师对悖论的回答一样左右为难，自相矛盾的.罗素悖论像一颗重磅炸弹，震憾了数学界，使整个数学大厦动摇了.号称天衣无缝、绝对严密的精确数学居然在基础问题上就明显地自相矛盾.这使许多数学家感到惶恐不安，为此还引起了激烈的争论，形成了许多派别 .这就是数学史上的第三次危机 .这场危机激励许多数学家奋力探索如何进一步建立严格的数学基础.于是有的数学家提出应为集合论建立一种公理系统，并规定，凡是超出公理所允许的限度而构造出来的集合，例如由一切集合而组成的集合等等，在公理系统中一概不予承认.所以现在的集合论中禁止一个集合是此集

20、合本身的元素，例如不讨论与的关系，集合a 与集合a , b , c的关系等等 .这样就把罗素悖论等一些已经发现的逻辑和数学悖论全部排队干净了.这场危机引发的急诊和探讨至今没有结束，但数学作为一门科学没有因危机而止步，反而因危机引发的争论和思考获得了进一步的发展，数学变得更加成熟了.然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样【同步测控 】我夯基我达标1（ 2007 山东省济南市一模， 文科 1）集合ax 0 x3且 xn的真子集 的个数是（）a 16b 8c 7d 4解析：根据集合 a 中所含元素的个数来判断ax 0x 3且 xn0,1,2，则 a 的真子集有231 7 个，故

21、选 c答案： c2已知集合 m=1，n=1 ， 2，3 ，能够准确表示集合m 与 n 间的关系是（）a.mnb. mnc. mnd. mn解析：集合 m 中元素都在集合n 中，但是 n 中元素 2m , mn , 故选 d答案： d3设集合 mx x10 ， a23 ，则（）a.amb.amc.amd. am解析： a23010 , am , am , 故选 a答案： a4 00（填上最适当的符号）解析： 0和 0之间是元素与集合的关系，则00 ；0 和 之间是集合间的关系，则0，故填答案：5（2007上海市浦东新区高三第一学期期末质量抽测，理科 1）已知集合 a1, 3, m, b 3, 4

22、 ，若 ba ，则实数 m解析： ba ，4b ， 4 a ， m4，故填 4答案： 4第 - 6 -页共 9页6如图 1-1-2-4 所示的 venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合 a 、 b 、c、 d、 e 分别是哪种图形的集合？acdeb图 1-1-2-4思路分析：结合venn 图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形, 故 a =四边形；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，故b=梯形， c=平行四边形 ；正方形是菱形，故d=菱形， e正方形答案： a =

23、四边形， b=梯形 ,c=平行四边形,d=菱形 , e正方形.7已知集合a= x|x2 2x+a=0 ， a r ，若 a 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围.思路分析：集合a 是关于x 的方程 x2 2x+ a=0 的解集，故按集合a和 a分类讨论解：当 a时，关于x 的方程 x2 2x+a=0 无解，则 ( 2) 24a0 ，解得 a1；当 a时，关于x 的方程x2 2x+a=0 有两个相等的实数解，则 (2) 24a0 ，解得 a1 综上所得，实数a 的取值范围是a1 答案： a1我综合我发展8已知集合 a2,3,7,且 a 中至多有一个奇数，则这样的集合a 有（）a.3 个b 4

24、 个c 5 个d 6 个解析：对集合a 是否所含奇数分类讨论当集合a 中不含奇数时，a或 2 ；当集合 a 仅含有一个奇数时， a3 或7或2,3或 2,7所以这样的集合a 共有 24 6（个），故选 d 答案： d9已知集合 ax 0x3，集合 bx mx 4m ，且 ba ，则实数 m 满足的条件是解析：集合 b 是关于 x 的不等式 mx4 m 的解集，要对集合 b 是否为空集分类讨论 b a ，m4m, b或 b当 b时， m4m ，则此时 m 2 ；当 b时，则有 m0,解得4m3.1 m 2 综上所得，实数 m 满足的条件是1 m2 或 m2 ，即 m1答案： m110集合 ax

25、x3m2, mz ，bx x3m 1,m z , cx x6m 1,mz ,则集合 a 、第 - 7 -页共 9页b、 c 的关系是解析：根据这三个集合中元素的特征来讨论它们之间的关系ax x3m2, mz，设 m1k ，则 kz ， 有 ax x3k 1,k z ， ab 又集 合 c x x 6m1,m zx x3(2m) 1,m z,设 2mn ，则 n 为偶数， 则 c x x 3n1, n 是偶数， cb .即集合a、b、 c 的关系是 cab .答案： ca b11a,baa,b, c,d的集合a试写出满足思路分析：按集合a 中所含元素的个数分类讨论解析： a,ba ，集合 a 中至少含有两个元素 a, b 又 aa,b, c, d，集合 a 中最多含有三个元素，aa,b或 a, b,c 或 a,b, d答案： aa,b或a, b, c 或 a,b, d12已知 ax x2n, nz ， b x x4n2, n z，求证： ba.思路分析：转化为证明ba 且在集合 a 中找到一个元素不属于集合b 解：设对任意 xb ，则存在 k z ，使 x4k2 即 x4k 22(2 k1) k