高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式训练北师大版选修4

1、名校名 推荐2.2排序不等式一、 1. 有三个房 需要粉刷，粉刷方案要求： 每个房 只用一种 色，且三个房 色各不相同.2已知三个房 的粉刷面 ( 位： m) 分 x，y，z，且 x y z，三种 色涂料的粉刷 用( 位：元 /m2) 分 a，b，c，且 a b c. 在不同的方案中，最低的 用( 位：元 )是()a. ax byczb. az by cxc.aybzcxd. bxczay解析法一用特 法 行 . 令 x1，y 2，z3，a1，b 2，c 3.a ： ax by cz 1 4 9 14；b ：az by cx 3 4 310；c ：aybz cx2 6 311；d ： aybx

2、 cz2 2 913. 故 b.法二由 序和乱序和反序和. 可得 az bycx 最小 .答案b二、填空 22222. 设a1，2，3，an 正数，那么12 n 与a1a2an 1an的大小aap aaaqa2a3ana1关系是 _.解析n111 1，假 a1 a2 a3 a ， an an1 a a12222并且 a1a2 a3 an，2222123np a1 a2a3 ana a a a ，a1a2a3an是反 和， q是乱 和，由排序不等式定理p q.答案p q三、解答 22223. 设 a1， a2， an 正数，求 ：a1a2an 1anaa a1 a2 an .ana231 明不妨

3、 a1 2 a0， 有22212anaaan111，由排序原理：乱序和逆序和，得：也有 bc， 有 abc，由排序原理： 序和乱序和. aabb ccab bc ca； aa bb cc ac ba cb；1名校名 推荐aa bb cc aa bb cc. 上述三式相加得3( aabb cc) (a b c)( a bc) ( a b c).aa bb cc.a b c3法二不妨 abc， 有 abc， caa bb cc a b c ab由排序不等式3，33aa bb cc即 aabb cc 3 ( a bc) ， a b c 3 .5. 设 ， ，c 正数，利用排序不等式 明a3b3c33

4、abc.ab 明不妨 ab c0， a2 b2 c2，由排序原理： 序和逆序和，得：a3 b3 a2bb2a， b3 c3 b2c c2b， c3 a3a2c c2a，三式相加得3332222222( a b c ) a( b c ) b( c a ) c( a b ).又 a2 b22ab， b2 c2 2bc， c2 a2 2ca.所以 2( a3 b3 c3) 6abc， a3 b3 c3 3abc.当且 当 a b c ，等号成立 .a b c6. 设 a， b， c 是正 数，求 ：aabbcc ( abc)3. 明不妨 ab c0， lga lgb lgc.据排序不等式有：alga

5、blgbclgc blga clgalgablgbclgc clga algalglglgclglga bb caa bb algcb blgcb clgc上述三式相加得：3( alga blgb clgc) (a b c)(lgalgb lgc) ，即 lg( aabbcc) a bclg( abc). 3故 aabbcc ( abc) a bc. 37. 设xi ，i (i1， 2，n) 是 数，且 12xn，12yn，而z1，2，yx xyyzzn 是 y1， y2， yn 的一个排列 .nn求 ： ( xi yi) 2 (xi zi ) 2.i 1i 1nn 明要 (xi i ) 2

6、(xi i ) 2i 1yi 1z2名校名 推荐nnnn22只需证 yi 2 xi yi zi 2 xi zi .i 1i1i 1i 1nnnn22，只需证xi zi xi yi .因为 yi zii 1i 1i 1i 1而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立 .nn故不等式 (xi yi )2 (xi zi ) 2 成立 .i 1i 18. 已知 a，b，c 为正数，且两两不等，求证： 2( a3 b3 c3) a2 ( b c) b2( a c) c2( a b).证明不妨设 abc0. 则 a2b2c2， a ba cbc， a2( a b) b2( a c) c2( b c)222a ( b c) b ( a c) c ( a b) ，即 a3 c3a2b b2a b2cc2ba2( b c) b2( a c) c