高三数学教案直线和圆锥曲线的位置关系

1、8 4 直线和圆锥曲线的位置关系一、明确复习目标1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题;2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题;3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法 ;24会用弦长公式|ab|=1k|x2 x1 |求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等二建构知识网络1直线与圆锥曲线的位置关系主要是：公共点、相交弦或焦点弦问题以及它们的综合运用2直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的

2、问题：可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，运用韦达定理 ,中点公式 ,设而不求时必须 0,必须注意解的存在性和转化的等价性，用好化归与等价转化思想当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，消元后得到的是一元一次方程 ,只有一个解 ,即直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点3 涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径的问题，首先考虑第二定义和焦半径公式。4涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：相交弦的长，弦所在直线的方程、弦的中点的轨迹等，这可以利用“点差法” ，“设而不求”、 韦达定理、整体代入等方法求解。5

3、弦长公式：圆锥曲线与直线ykxb 交于 a(x1， y1)， b(x2， y2)，则弦长ab(1 k 2 )( x1 x2 )2；与直线 xmy ta(x1， y1) ，b(x2 ，y2)，则弦长ab(1m2 )( y1y2 )2三、双基题目练练手1(2004 全国 i)设抛物线y2=8x 的准线与x 轴交于点q，若过点 q 的直线 l 与抛物线有公第 1页共 21页共点，则直线 l的斜率的取值范围是（）a 1 ， 1 b 2， 2c 1， 1d 4，4222 (2006 全国 )抛物线 yx2上的点到直线 4 x3 y 80 距离的最小值是()4b7c8d3a5533 (2006 福建 )

4、已知双曲线 x2y2 1(a 0,b0) 的右焦点为 f ，若过点 f 且倾斜角a2b2为 60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()（ a） (1,2（ b） (1,2)（ c）2,)（ d） (2,)4 (2006 山 东 ) 已 知 抛 物 线 y24x ， 过 点 p(4,0)的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) 两点，则 y12y22 的最小值是。5(2006 上海 )若曲线 y 2 | x | 1 与直线 y kx b 没有公共点， 则 k 、 b 分别应满足的条件是6双曲线x2y 2a2 b

5、2 =1 （ a 0， b 0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积等于 _简答1-3。cac; 4 32; 5 作出函数y2x 1,x 0的图象， 如图所示：|x | 1x1, x0y1y=kx+b-1o1x-1所以， k 0,b( 1,1)；0012| bx0ay 0 | | bx0ay0| | b 2 x0 2a2 y0 2 |=a 2b 26设 p（x， y）则 d d =a 2b2a2b 2=2b22b2aa第 2页共 21页四、经典例题做一做【例 1】求过点（ 0， 2）的直线被椭圆x22y22 所截弦的中点的轨迹方程解：设直线方程为y=kx+2，把它代入 x2 2y2 2，整理得

6、（ 2k2 1） x2+8kx+6=0要使直线和椭圆有两个不同交点，则 0，即 k6 或 k6 22设直线与椭圆两个交点为a（ x1122c（ x，y），则， y）、b（ x ， y ），中点坐标为x x1x 24k，22k21y=4k+22212k 22k1x=4k，2k 216 或 k6 ），从参数方程y=2（ k1222k 2消去 k 得 x2 2（ y 1） 2 2，且 x6 ， 0 y 1 22【例 2】 (2005 江西文 )如图， m 是抛物线上y2=x 上的一点，动弦 me、 mf 分别交 x 轴于 a、b 两点，且ma=mb （ 1）若 m 为定点，证明：直线ef 的斜率为定

7、值；（ 2）若 m 为动点，且emf =90 ，求 emf 的重心 g 的轨迹方程ymoabxef解：（ 1）设 m（ y 20 ,y0），直线 me 的斜率为 k(l0)则直线 mf 的斜率为 k，直线 me的方程为 yy0k( xy02 ).第 3页共 21页由 yy0 k( x y02 ) 消 x得 ky 2y y0 (1 ky0 ) 0y2x解得 yf1 ky0 ,xf(1 ky0 ) 2kk 2yeyf1ky01ky 021k efkkkxexf(1 ky0 ) 2(1ky0 )24ky0(定值 ).2y0k 2k 2k 2所以直线 ef 的斜率为定值（ 2） 当 emf90时 ,m

8、ab45 ,所以 k1,直线 me的方程为 yy0k( xy02 ).由 yy0 xy02,得 e(1y0 ) 2 ,1y0 ).y2x同理可得 f (1y0 ) 2 ,(1y0 ).xxmxexfy02(1 y0 )2(1 y0 ) 22 3 y02333设重心 g（ x, y），则有xmxexfy0(1 y0 ) (1 y0 )y0x333消去参数 y0得 y 21x2( x2).9273【例 3】（ 2006 浙江） 如图，椭圆x 2y2 1（ ab 0）与过点 a（ 2， 0）b(0,1)的直a 2b线有且只有一个公共点t，且椭圆的离心率e=3 ( )求椭圆方程；2( )设 f 1 、

9、f 2 分别为椭圆的左、右焦点， m 为线段 af2 的中点，求证： atm= af 1 t第 4页共 21页ybtxfofma解：（ i）过点 a 、 b 的直线方程为 xy 1.2x2y21,a2b2因为由题意得有惟一解，1yx12即 (b21 a2 ) x2a2 x2a2a2b20有惟一解，4所以a2b2 (a24b24) 0（ ab0 ），故 a24b240.又因为e3 , 即a2b23 ,2a24所以a24b2 .从而得a22, b21 ,2故所求的椭圆方程为x22 y21.2（ ii ）由（ i）得c6 , 故 f1 (6 ,0), f2 (6 ,0),222从而 m (16 ,0

10、).4第 5页共 21页x22 y 2 1,由 2y 1 x 12解得 x1x2 1,所以 t (1,1 ).2因为6tan11,aft221又 tantam12, 得 tan atm6261, tan tmf2122616因此atmaft1 .【例 4】已知椭圆c： x2 y2 1（ a b 0），两个焦点分别为f 12a2b2和 f ，斜率为 k 的直线 l 过右焦点f2 且与椭圆交于a、 b 两点，设l 与 y 轴交点为p，线段 pf 2的中点恰为 b（ 1）若 k 2 5 ，求椭圆 c 的离心率的取值范围；5（ 2）若 k= 25 ， a、b 到右准线距离之和为9 ，求椭圆 c 的方程

11、55解：（ 1）设右焦点f 2（ c，0），则 l： y=k（x c）令 x=0，则 y= ck， p（0， ck） b 为 f2p 的中点， b（ c， ck ）22 b 在椭圆上，c2c 2k 2 14a 24b 24b 24a 2c 21 k2 c 2 4a 2（e2 1）（ 4e2） 4 e25 e2第 6页共 21页 k25，4e2545e25（ 5e24）（ e2 5） 0 4 e21 2 5 e 155（ 2） k 2 5 ， e 2 5 c2 4 55a 2525221 2椭圆方程为x 2y 22 5y25 2 a c， bc51 1，即 xc44224cc44直线 l 方程为

12、 y= 2 5（ x c），5b（ c ，5c），右准线为 x=5c254设 a（ x0， y0），则（ 505c ） 9 ，c x ）（c2549 ， y04 x02 5 （ c 9 ）2c555 a 在椭圆上，（ 2c 9 ） 2 55 （c 9 ） 2 4 c2 5555解之得 c=2 或 c 6 （不合题意，舍去） 5椭圆方程为 x2 5y25，即 x 2y2 15【研讨欣赏】(2006 山东 )双曲线 c 与椭圆 x2y21有相同的焦点， 直线 y3x84为 c 的一条渐近线。（ 1）求双曲线 c 的方程；（ 2）过点 p(0, 4) 的直线 l ，交双曲线 c 于 a、b 两点，交

13、 x 轴于 q 点（ q 点与 c 的顶点不重合），当 pq1qa2 qb ，且 1 28 时，求 q 点的坐标。3第 7页共 21页解：（）设双曲线方程为x2y21a2b2由椭圆x2y2求得两焦点为 ( 2,0),(2,0)，814对于双曲线 c : c2 ，又 y3x 为双曲线 c 的一条渐近线b3解得 a21,b23 ，a双曲线 c 的方程为 x2y213ypaqoxb（）解法一：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零。设 l 的方程： ykx4, a( x1 , y1) ， b( x2 , y2 )则 q(4 ,0)pq1 qak44, y1 )(, 4) 1 (x1kk4441(

14、 x14)x1kk 1kk441 y1y11a( x1 , y1) 在双曲线 c 上，162 (11 )216 10k11第 8页共 21页1632 116 1216 k 2k 220.316(16k 2 )1232116k 20.316 k2同理有： (16k 2 )2232 2160.3若 16k 20, 则直线 l 过顶点，不合题意16k20,1 ,2 是二次方程(16k 2 ) x232x 1616 k 20. 的两根312328k 2163k24 ，此时0,k2 所求 q 的坐标为 ( 2,0) 解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程， ykx4, a( x

15、1 , y1), b(x2 , y2 ) ，则 q (4 ,0) kpq1 qa ，q 分 pa 的比为1 由定比分点坐标公式得41 x1x14 (1 1 )k 11k141 y1y140111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程： ykx4, a( x1 , y1), b(x2 , y2 ) ，则 q (4 ,0) kpq1 qa2 qb ，第 9页共 21页(4 , 4)1 (x14 , y1 )2 (x24 , y2 ) kkk41 y12 y2 ，14 ， 24 ，y1y2又 182，3112y1y23即 3( y1y2 ) 2 y1 y2将 yk

16、x 4 代入 x2y21得3(3 k2 ) y224 y48 3k 203k 20 ，否则 l与渐近线平行。y1y224483k23 k2, y1 y23k2。3242483k 23k 23k 2k2q (2,0)解法四：由 题 意 知 直 线l得 斜 率k存 在 且 不 等 于 零 ， 设 l 的 方 程 ： ykx4 ，a( x1, y1 ), b(x2 , y2 )则 q( 4 ,0) kpq1 qa ,第10页共21页(4 , 4)1 (x14 , y1 ) 。kk4k414kx4x11同理14kx241244448 kx1kx23即2k 2 x1 x25k ( x1x2 ) 8 0

17、。（ * ）ykx4又x2y213消去 y 得 (3k 2 ) x28kx190当 3 k 20时，则直线 l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k 20 。由韦达定理有：x1 x28k3 k2x1x2193k 2代入（ * ）式得k 24, k2所求 q 点的坐标为( 2,0) 。五提炼总结以为师1解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般是消元得到一元二次方程，再讨论二次项的系数和判别式 ，有时借助图形的几何性质更为方便2涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法3求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式第11页共21页d= (1 k

18、 2 )( x1 x2 ) 2 (11)( y1 y2 ) 2k 2再结合韦达定理 ,设而不求整体解决焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化4涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径问题，可以利用焦半径公式或圆锥曲线的第二定义，应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法同步练习8 4 直线和圆锥曲线的位置关系【选择题】1若双曲线x2 y2 1 的右支上一点p（ a，b）到直线 y=x 的距离为2 ，则 a+b 的值为（）a 1b 1c 1d 2222x 2y 2=1 恒有公共点，则实数m 的2已知对 k r，直线 y kx 1=0 与椭圆+m5取值范围是a（0， 1）b（ 0，5）c1， 5）

19、（ 5， +）d 1， 5）3（ 2006 辽宁） 直线 y2k 与曲线9k 2 x2y 218k2x(k r,且 k0) 的公共点的个数为（）（ a） 1（ b） 2（ c） 3（d ） 44直线 y=x+3 与曲线 y 2x | x |1（）94a没有交点b只有一个交点c有两个交点d有三个交点【填空题】5已知（ 4， 2）是直线 l 被椭圆x 2y2=1所截得的线段的中点，则l 的方程是36+9_ 6过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于a、b 两点，已知 |ab |=8，o 为坐标原点，则oab 的重心的横坐标为 _简答提示 ： 1-4 bcdd ;1 p（ a， b）点在双曲线上，

20、则有a2 b2=1，即（ a+b）（a b） =1第12页共21页| ab |2 ， |a b|=2d=2又 p 点在右支上， 有ab， a b=2 |a+b| 2=1 ， a+b= 1 22直 y kx 1=0 恒 点（ 0， 1）， 当点（ 0，1）在 上或 内 ，此直 才恒与 有公共点所以，1 1 且 m 0，得 m 1故本 cmy 2x2的 近 ：y3x ，而直 当 ，双曲 1y=x+3的斜率 1，4x092410又 y=x+3 过椭圆194因此直 与 左半部分有一交点，共 3 个交点， d5 直 l 与 交于 p1（ x1， y1）、p2（ x2， y2），将 p1、 p2两点坐 代

21、入 方程相减得直 l 斜率y1y2x1x2= 4=1k=x2=y 2 )4 22x14( y1由点斜式可得l 的方程 x+2y8=0 答案： x+2y 8=06 焦点 f（ 1， 0）的直 y=k（ x 1）（ k 0），a（ x1， y1）， b（ x2， y2）代入抛物 方程消去 y 得 k2x2 2（ k2+2 ） x+k2=0 k2 0， x1+x2= 2(k 22) ，k 2|ab|=x2+x +2=8, x +x =6 可得 k =11212 oab 的重心的横坐 x= 0x1 x2 =2 3法 2： 由 |ab|=(1 k 2 )( x1 x 2 ) 2=8 ， 得 k2 =1【

22、解答 】7 正方形 abcd 中，一条 ab 在直 y=x+4 上，另外两 点c、 d 在抛物 y2 x 上，求正方形的面 解： cd 所在直 的方程 y=x+t，第13页共21页y=x+t， y2=x， 消去 y得x2+（ 2t 1） x+t2=0， cd 2(1 2t) 24t 2 2(1 4t ) 又直线 ab 与 cd 间距离为 ad | t4 | ，2 ad cd ， t= 2 或 6从而边长为 3 2 或 5 2 面积 s1（ 32 ）2 18，s222=（ 5） =508 (2006 上海 ) 在平面直角坐标系x o y 中，直线 l 与抛物线 y 2 2 x 相交于 a、b 两

23、点（ 1）求证：“如果直线 l 过点 t（ 3，0），那么 oa ob 3”是真命题；（ 2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解 （ 1）设过点t(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 a(x1,y1 )、 b( x2,y2)当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为x=3,此时 ,直线 l与抛物线相交于点a(3, 6 )、 b(3, 6 ) oa ob =3 ；当直线 l 的钭率存在时 ,设直线 l 的方程为 yk ( x 3) ，其中 k0 ，y22x得 ky 22 y 6k 0 y y6由2yk( x3)1又 1212x12 y1 , x

24、22 y2 ， oa ob x x2y y21 ( y y2)2y y23 ，11411综上所述，命题“如果直线l 过点 t(3,0) ，那么 oa ob =3 ”是真命题；(2)逆命题 是：设直线l交抛物线2于a、b两点 如果 oa ob=3,那么该直线过y =2x,点 t(3,0)该命题是 假命题第14页共21页1,1)，此时 oa ob =3,例如：取抛物线上的点 a(2,2)， b(22直线 ab 的方程为： y( x1) ，而 t(3,0)不在直线 ab 上；3说明：由抛物线 y2=2 x 上的点 a (x1,y1)、b (x2,y2) 满足 oa ob =3，可得 y1y2= 6，

25、或 y1y2=2 ，如果 y1y2= 6，可证得直线 ab 过点 (3,0) ；如果 y1y2=2，可证得直线 ab 过点 ( 1,0),而不过点 (3,0)9已知抛物线 c： y2=4 （ x1），椭圆 c1的左焦点及左准线与抛物线c 的焦点 f 和准线 l 分别重合（ 1）设 b 是椭圆 c1 短轴的一个端点，线段bf 的中点为 p，求点 p 的轨迹 c2 的方程；（ 2）如果直线 x+y=m 与曲线 c2 相交于不同两点 m、 n，求 m 的取值范围（ 1）解法一：由 y2=4（ x 1）知抛物线 c 的焦点 f 坐标为（ 2， 0）准线 l 的方程为 x=0设动椭圆 c1 的短轴的一个

26、端点 b 的坐标为（ x1， y1）（ x1 2，y1 0），点 p（ x，y），x= x12 ，x1=2 x2，则2y1，y1y=2y2 b（ 2x 2， 2y）（ x 2，y 0）设点 b 在准线 x=0 上的射影为点b，椭圆的中心为点o，则椭圆离心率e= | fo | ，| bf |由 | bf | = | fo | ，得( 2x 22) 2(2 y) 22x 2 2，=| bb | | bf |2x2(2x 2 2) 2(2 y) 2整理，化简得 y2=x2（ y 0），这就是点 p 的轨迹方程解法二：抛物线y2=4（ x 1）焦点为 f（ 2， 0），准线 l ： x=0设 p（ x

27、， y）， p 为 bf 中点， b（ 2x2，2y）（ x 2，y 0）设椭圆 c1的长半轴、 短半轴、 半焦距分别为a、b、c，则 c=（2x 2） 2=2x 4，b2=（ 2y） 2=4 y2，（ c）（a2 ） =2，c a 2 c 2 =2 ， c即 b2=2 c 4y2=2（ 2x4），即 y2=x 2（ y 0），此即 c2 的轨迹方程（2）解：由x+y=m，=1 4（ m+2） 0，解得（ y0），得 y2+ym+2=0，令第15页共21页y2 =x2m 7 4而当 m=2 时，直线x+y=2 过点（ 2， 0），这时它与曲线c2 只有一个交点，7410（2006 北京）已知点

28、m (2,0), n (2,0) ，动点 p 满足条件 | pm | pn |2 2 记动点 p 的轨迹为 w （）求 w 的方程；（）若 a, b 是 w 上的不同两点，o 是坐标原点，求oa ob 的最小值解法一：（）由 |pm |-|pn|=22 知动点 p 的轨迹是以m，n 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a=2 又半焦距 c=2 。故虚半轴长b=22ca2 ，所以 w 的方程为 x2y21, x222（）设 a、 b 的坐标分别为（x1y1），（ x2y2）当 abx 轴时， x1 x2 , y1y2 ，从而 oa obx1 x2y1 y2 x12y122 。当 ab与 x 轴不垂直

29、时，设直线ab 的方程为 ykmx ，与 w 的方程联立，消去y 得9k 2 x22kmx m220 ，2km2 , x1 x2m22故 x1x221 kk1所以第16页共21页oa obx1 x2y1 y2x1 x2( kx1m)(kx2m)(1k 2 )x1x2km(x1x2 )m2(1k 2 )(m22)2k 2 m2m22k 2k 211k2224k 21k 21又因为 x1 x20 ，所以 k210 ，从而 oa ob 2 综上，当 abx 轴时， oa ob 取得最小值 2解法二：（）同解法一（）设 a 、 b 的坐标分别为x1 , y1 ,y1, y2 ，则xi2yi2( xiyi)( xiyi ) 2(i1,2)令 sixi yi , tixiyi ，则 stii2 ，且 si0 ， ti0(i1,2) ，所以oa obx1 x2y1 y21(s1t1 )(s2t2 )1t1 )(s2t2 )4( s14112