高中数学第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系精品学案新人教B版必修

1、名校名 推荐2.4空间直角坐标系 学习目标 1. 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2. 掌握空间两点的距离公式 . 知识链接 在平面直角坐标系中，点1(1，1) ， 2(2，2) 的中点坐标为x12y12xxx，y，两点的距离pypy22为x2 x12 y2 y12. 预习导引 1. 空间直角坐标系及相关概念为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xoy的基础上，通过原点o，再作一条数轴z，使它与 x 轴， y 轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看，x 轴的正半轴沿逆时针方向转90能与 y 轴的正半轴重合. 这时，我们说在空

2、间建立了一个空间直角坐标系oxyz，o叫做坐标原点， 每两条坐标轴分别确定的平面yoz、 xoz、xoy叫做坐标平面 .2. 空间中点的坐标过点 p 作一个平面平行于yoz( 垂直于 x 轴 ) ，这个平面与 x 轴的交点记为p ，它在 x 轴上的x坐标为 x，这个数 x 叫做点 p的 x 坐标 .过点 p 作一个平面平行于xoz( 垂直于 y 轴 ) ，这个平面与 y 轴的交点记为p ，它在 y 轴上的y坐标为 y，这个数 y 叫做点 p的 y 坐标 .过点 p 作一个平面平行于坐标xoy( 垂直于 z 轴 ) ，这个平面与 z 轴的交点记为 pz ，它在 z 轴上的坐标为 z，这个数 z

3、就叫做点 p的 z 坐标 .这样对空间的一点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作(， ， ) ，其中x，pp xy zy， z 也可称为点p的坐标分量 .3. 三个坐标平面把空间分为八部分， 每一部分都称为一个卦限， 在每个卦限内， 点的坐标各分量的符号是不变的 .4. 空间两点的距离公式空 间 两 点a( x1 ， y1 ， z1) ， b( x2 ， y2 ， z2) 的 距 离d( a ， b) | ab|x2 x12y2 y12z2 z12.特别地，空间任意一点p( x，y， z) 与原点的距离d( o， p) | op| x2 y2z2.1名校名 推荐要点一求空间中点的坐标例

4、 1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为 3 的正三棱柱的各顶点的坐标.解以 bc的中点为原点，bc所在的直线为y 轴，以射线oa所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图.3由题意知， ao 2 23，从而可知各顶点的坐标分别为a( 3，0,0) ， b(0,1,0)，c(0 ，1,0) ， a (3， 0,3) ， b (0,1,3)，11c1(0 ， 1,3).规律方法(1) 题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性.(2) 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的投影，确定其两个坐标，再找出它在

5、另一轴上的投影 ( 或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号) 确定第三个坐标 .跟踪演练1画一个正方体abcda11c1d1，以 a 为坐标原点，以棱ab， ad，aa1 所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.(1) 求各顶点的坐标；(2) 求棱 c1c中点的坐标；(3) 求面 aa1b1b对角线交点的坐标 .解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1) 各顶点坐标分别是a(0,0,0) ， b(1,0,0)， c(1,1,0)，d(0,1,0)，1(0,0,1)， 1(1,0,1)， 1(1,1,1)， 1(0,1,1).abcd1(2) 棱 cc1

6、 的中点为m 1，1， 2 .2名校名 推荐1 1(3) 面 aa1b1b 对角线交点为 n 2， 0， 2 .要点二求空间中对称点的坐标例 2 在空间直角坐标系中，点 p( 2,1,4).(1) 求点 p关于 x 轴的对称点的坐标；(2) 求点 p关于 xoy平面的对称点的坐标；(3) 求点 p关于点 m(2 ， 1， 4) 的对称点的坐标 .解(1) 由于点 p 关于 x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为p1( 2， 1， 4).(2) 由于点 p 关于 xoy平面对称后，它在x 轴、 y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，

7、所以对称点为p2( 2,1 ， 4).(3) 设对称点为 p3( x，y，z) ，则点 m为线段 pp3 的中点，由中点坐标公式， 可得 x22 ( 2) 6，y2( 1) 1 3， z2( 4) 4 12，所以 p3(6 ， 3， 12).规律方法任意一点 p( x， y， z) ，关于原点对称的点是1( ，y，z) ；关于x轴对称的点是2(x，z) ；关于y轴对称的点是3( ，pxpyp xy， z) ；关于 z 轴对称的点是 p ( x， y，z) ；关于 xoy平面对称的点是p( x，y， z) ；45关于 yoz平面对称的点是p6( x， y， z) ；关于 xoz平面对称的点是p7

8、( x， y， z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.跟踪演练 2求点 a(1,2 ， 1) 关于坐标平面xoy及 x 轴的对称点的坐标 .解如图所示，过点 a 作 am坐标平面 xoy交平面于点 m，并延长到点 c，使 am cm，则点 a 与点 c关于坐标平面xoy对称，且点c(1,2,1).过点 a 作 an x 轴于点 n并延长到点b，使 an nb，则点 a 与 b关于 x 轴对称且点b(1 ， 2,1).点 a(1,2 ， 1) 关于坐标平面 xoy对称的点为c(1,2,1)；点 a(1,2 ， 1) 关于 x 轴对称的点为b(1 ， 2,

9、1).要点三空间中两点之间的距离例 3 已知 abc的三个顶点 a(1,5,2) ， b(2,3,4)， c(3,1,5).(1) 求 abc中最短边的边长；(2) 求 ac边上中线的长度 .3名校名 推荐解 (1) 由空间两点距离公式得| ab| 22 2 3，| bc| 22 2 6，| ac| 22 2 29， abc中最短边是 |bc| ，其长度为6.7(2) 由中点坐标公式得， ac的中点坐标为 2， 3， 2 .ac边上中线的长度为22721 42 2.规律方法解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键 .跟踪演练 3已知两点

10、 p(1,0,1)与 q(4,3 ， 1).(1) 求 p、 q之间的距离；(2)求 z轴上的一点m，使 | mp| | mq|.解(1)| 2 2 2 22.pq(2) 设 m(0,0 ， z) ，由 | mp| | mq|，得 12 02 (1 z) 2 42 32 ( 1 z) 2， z 6.m(0,0 ， 6).1. 点 (2,0,3) 在空间直角坐标系中的()a. y 轴上b. xoy平面上c.xoz平面上d. 第一象限内答案c解析点 (2,0,3) 的纵坐标为0，所以该点在 xoz平面上 .2. 在空间直角坐标系中，点(3,4,5)与 (3 ， 4， 5) 两点的位置关系是 ()p

11、qa. 关于 x 轴对称b. 关于 xoy平面对称c.关于坐标原点对称d. 以上都不对答案a解析点 p(3,4,5)与 q(3 ， 4， 5) 两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对称 .3. 已知点 a( x, 1,2)和点 b(2,3,4) ，且 | ab| 2 6，则实数 x 的值是 ()4名校名 推荐a. 3 或 4b.6 或 2c.3 或 4d.6 或 2答案d解析由题意得x2 2 2 2 6解得 x 2 或 x 6.4. 已知 a(3,2 ， 4) ， b(5 ， 2,2) ，则线段 ab中点的坐标为 _.答案(4,0 ， 1)解析设中点坐标为 ( x0， y0， z0) ，则 x03 522 4 24，y0 0， z0 1，222中点坐标为 (4,0， 1).5. 在空间直角坐标系中，点a(1,0,1)与点 b(2,1， 1) 间的距离为 _.答案6