高二数学教案：7.6圆的方程(三)

1、课题： 7.6 圆的方程（三）教学目的：1. 理解圆的参数方程 王新敞2. 熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程王新敞3. 理解参数 的意义 王新敞4. 理解圆心不在原点的圆的参数方程王新敞5. 能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程王新敞6. 可将圆的参数方程化为圆的普通方程王新敞教学重点： 圆的参数方程 ( 分圆心在原点与不在原点的两种情形) 王新敞教学难点： 参数方程，参数的概念王新敞授课类型： 新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析 ：本节为 第三课时 讲解圆的参数方程王新敞为了突出重点，突破难点，可以对本节的例题、练习进行适当的调整和

2、组合，并安排一些变式练习王新敞将参数方程化为普通方程时，常用的消参方法有：代入法、加减法、换元法等王新敞要注意不能缩小或扩大曲线中x, y 的取值范围王新敞圆上的点的特征性质，在圆的参数方程中，得到了另一种形式的表示点距离、面积、定值、最值等问题时，用圆的参数方程来解往往更为简捷教学过程 ：一、复习引入：一、复习引入：王新敞在涉及圆上的动王新敞王新敞1圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞2求曲线方程的一般步骤为：（ 1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点m 的坐标；（ 2）写出适合条件 p 的点 m 的集合； (可以省略 ，直接列出曲线方程王新敞 )（ 3）

3、用坐标表示条件p（ m），列出方程 f (x, y) 0 ;（ 4）化方程 f ( x, y)0 为最简形式；（ 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞(可以省略不写 ,如有特殊情况，可以适当予以说明 王新敞)3建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程王新敞4. 圆的标准方程 ： (x a)2( yb)2r 2圆心为 c ( a,b) ，半径为 r ，若圆心在坐标原点上，这时ab0，则圆的方程就是x2y2r 2 王新敞5圆的标准方程的两个基本要素 ： a,b, r 王新敞yrm6圆的一般方程： 只有当d2e24f 0 时， 表c(a,b)ox第 1页共 7页

4、示的曲线才是圆，把形如x2y2dxeyf0 的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞（ 1）当 d 2e24f0时，表示以（-d ， - e ）为圆心 ,1d 2e 24 f 为半径的222圆；（ 2）当 d 2e24f0时，方程只有实数解 xd ， ye ，即只表示一个点 （ -22d ， - e ）;22（ 3）当22efd4 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞王新敞二、讲解新课：1. “旋转角”的概念 ：一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；按顺时针方向旋转形成的角形成的角，叫做负角；若没有旋转，就称为零角王新敞2圆心为原点半径为 r 的圆的参数方程y如

5、图所示在圆 x2y 2r 2 上，对于 的每一个允许值，rpyxr cosoxx由方程组，所确定的点p( x, y )都在圆yr sinx2y2r2上王新敞方程组叫做圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程，为参数王新敞3圆心为 (a, b) 原点半径为 r 的圆的参数方程把圆心为原点 o，半径为 r 的圆按向量 v(a,b) 平移，可得到圆心为o1( ,)，半径a b为 r 的圆王新敞如图，设圆 o1 上任意一点 p(x,y)，它是圆 o 上一点 p1 ( x1, y1) 按平移向量 v(a, b) 平xx1a移后得到的，则根据平移公式，有y1，ybr cos , y1r sinxar cosy

6、p由于 x1，故br sinryby这就是圆心为 o1 (a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程 王新敞vax4 参数方程的意义： 一般地， 在取定的坐标系ox中，如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数，即xf (t ),yg(t ),并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点m（ x, y ) 都在这条曲线上，那么方第 2页共 7页程组就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x, y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数王新敞点评：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、

7、纵坐标与参数之间的关系王新敞三、讲解范例：例 如图所示，已知点 p 是圆 x2y216 上的一个动点， 点 a是 x 轴上的定点， 坐标为（ 12，0）.点 p在圆上运动时， 线段 pa的中点 m的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式特点 m的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型 王新敞解：设点 m的坐标是 (x, y ) 王新敞圆 x 2y216 的参数方程为：x4 cos,y4 sin,又点 p 在圆上，设p的坐标为 (4cos ,4sin)yp(4cos,4sin)moa(12,0) x由线段中点坐标公式可得点x6 2 cos ,的轨迹的参数方程为：my2 sin

8、 .王新敞从而判断线段 pa的中点 m的轨迹是以点（6， 0）为圆心、 2 为半径的圆王新敞四、课堂练习 ：课本 p81 练习1， 2.1. 填空：已知圆 o的参数方程是x5 cos,(0 2） 王新敞y5 sin .(1) 如果圆上点 p 所对应的参数 =5 ，则点 p的坐标是王新敞3（ 2）如果圆上点的坐标是（ -553），则点所对应的参数等于,qq王新敞22x5 cos 5x52解析： (1) 由3 得53y5 sin5y32x5cos512 (0cos = 2(2)由5 2）得2.y5sin3332sin2答案：（ 1）（5532,）王新敞（ 2）王新敞223第 3页共 7页2. 把圆

9、的参数方程化成普通方程：x12 cos,(2)x2cos ,（ 1）3 2 sin;y2sinyx12 cos,cosx12解： (1) 由32 sin得y3y;sin2 sin 2cos21 ( x1) 2( y3) 2122即： ( x1) 2( y3) 24 王新敞x2cos,得cosx2(2) 由2sinsiny2y又 sin 2cos21 ( x 2) 2( y2) 21王新敞3. 经过圆 x2y 24 上任一点 p作 x 轴的垂线， 垂足为 q，求线段 pq中点轨迹的普通方程y王新敞解：设 m（ x, y ) 为线段 pq的中点，p(2cos ,2sin)圆 x 2y 24的参数方

10、程为x2 cosmy2 sino q(2cos ,0)x又点 p 为圆上任一点可设点 p 的坐标为 (2cos ,2sin )则 q点的坐标为（ 2cos , )由线段中点坐标公式，得点x2 cosm的轨迹的参数方程为：siny消去参数 , 可得： ( x ) 2y 21 即 x 2y 21王新敞24五、小结 ：圆的参数方程 ( 分圆心在原点与不在原点的两种情形) 王新敞 参数方程，参数的概念；参数方程与普通方程的互化；参数方程的意义及实际应用王新敞六、课后作业 ：1. 填空题（ 1）已知圆的参数方程是x8cos(0 2 ）若圆上一点 m的坐标为 (4,-43 ) ，y8sin则 所对应的参数

11、的值为m王新敞分析：将点 m的坐标代入参数方程分别求得sin ,cos 的值，由此求 的值王新敞解：将点 m（ 4， -43）代入第 4页共 7页x8 coscos12得y8sin3sin2又 0 2, =5.答案：5王新敞33(2)已知圆的参数方程为x53cos, 则它的普通方程为王新敞y33sin分析：由参数方程解得cos 、sin 的表达式，由 sin 2cos21求出 x 与 y 的关系式，即可求得王新敞x53coscosx53得解：由33siny3ysin3由 sin 2cos21得 ( x 5) 2( y3) 29 王新敞答案： ( x5) 2( y3) 29 王新敞2. 已知点

12、m是圆x2y24x0 上的一个动点，点2 6m在圆上n（ ， ）为定点，当点运动时，求线段mn的中点 p 的轨迹方程，并说明轨迹的图形王新敞分析：先将圆 x2y24x0 化为(x2)2y24 利用圆的参数方程求解王新敞解：将已知圆的方程化为：(x2) 2y 24则其参数方程为x22 cos, 故可设点 m（2+2cos ,2sin )y2 sin又点 n（ 2， 6） . mn的中点 p为x2cosy3sin点 p的轨迹方程为：x2cosy3sin它表示圆心在（2， 3），半径为1 的圆王新敞3. 若实数 x, y 满足 x2y22x4 y0 ，求 xy 的最大值 .分析一：将圆化为参数方程来

13、解王新敞解法一：将圆x2y 22 x4y 0 变为 ( x1) 2( y 2)25第 5页共 7页x15 cos圆的参数方程为y25 sin代入 x y 得xy =（1+5 cos ） -(-2+5sin )=3+ 5（ cos-sin )=3+10 cos( +) 3+ 104 xy 的最大值为 3+10 王新敞分析二：令 xy=u 代入圆方程来解 .解析二：令 u= xy ，则 yxu 代入圆方程得2x22(1u)xu 24u0由4(1u)28(u 24u)0 即 u 26u1 0 3- 10 u 3+ 10 ，即 3- 10 x- y 3+ 10 x y 的最大值为 3+10 王新敞4.

14、 已知对于圆x2(y1) 21上任意一点px, y），不等式x y m0 恒成立，（求实数 m 的取值范围王新敞分析：将圆的参数方程代入x y m 0，转化为求 m 的最值问题来解王新敞解：由 x 2( y1)21 得其参数方程为：xcosy1 sin代入 x ym0 ，得 cos +1+sin + m 0 m -cos -sin -1 王新敞 m -2 sin(4)-1恒成立，转化为求 -2 sin( +)-1 的最大值，4 - 2 sin （ +4） -1的最大值为2-1 王新敞 m 2 -1 王新敞5. 已知圆x2y21,定点 ab、c是圆上两个动点，保持a、b、c在圆上逆时针(1,0),排列，且 boc=（ o为坐标原点），