《微积分英文版》PPT课件.ppt

1、CHAPTER 3,THE DERIVATIVE,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,2.1,Two Problems with One Theme,Tangent Lines ,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,

2、机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.6 Leibniz Notation,Differentiability implies continuity.,If the graph of a function has a tangent at point c, then there is no “jump” on the graph at that point, thus is

3、continuous there.,函数的可导性与连续性的关系,定理.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.3,Rules for Finding Derivatives,常数和基本初等函数的导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求椭圆,在点,处

4、的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四则运算求导法则,定理.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例.

5、,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.4,Derivatives of Trigonometric Functions,Formula,解,f(sin x ) = cos xf(cos x) = - sin x,Find derivatives of other trig. functions using these derivatives and applying product rule and/or quotient rule,例. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Der

6、ivatives of sec(x), csc(x) and cot(x),All are found by applying the product and/or quotient rules and using known derivatives of sin(x) and cos(x).,2.5,The Chain Rule,复合函数求导法则,For a composite function, its derivative is found by taking the derivative of the outer function, with respect to the inner

7、function, times the derivative of the inner function with respect to x.,If the composition consists of 3 or more functions, continue to take the derivative of the next inner function, with respect to the function within it, until, finally, the derivative is taken with respect to x.,在点 x 可导,复合函数求导法则,

8、定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列函数的导数,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.,求,解:,例.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Find the derivative (note this is the composit

9、ion of 3 functions, therefore there will be 3 “pieces” to the chain.),3.7,Higher-Order Derivatives,f=2nd derivativef=3rd derivativef=4th derivative, etc,The 2nd derivative is the derivative of the 1st derivative. The 3rd derivative is the derivative of the 2nd derivative, etc.,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类

10、似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Velocity is the derivative of distance with respect to time (1st derivative) and Acceleration is the derivative of velocity with respect to time (2nd derivative of distance with respect to time),Up (or right) is a p

11、ositive velocity. Down (or left) is a negative velocity. When an object reaches its peak, its velocity equals zero.,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.8,Implicit Differentiation (An application of the chain rule!) y is now considered as a function of x, therefore we apply the chain rule to y A

12、pply all appropriate rules and solve for dy/dx.,Find the derivative,例. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边

13、取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,分别用对数微分法求,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.8,Related Rates A very, very important application of the derivative! Applies to situations where more than one variable is changing with respect to time. The other variabl

14、es are defined with respect to time, and we differentiate implicitly with respect to time.,相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束

15、,例. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体

16、速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.9,Differentials & Approximations dx is the differential of x, graphically it is the change in the x of the tangent to the curve (dy/dx) dy is the differential of y, graphically is corresponds to the change in the y of the tangent to the curve (dy/dx),微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,误