第2节导数在研究函数中的应用

1、第2节导数及其应用导数在研究函数中的应用2021新亮剑高考总复习第三章目录CONTENTS1 磨剑课前自学2 悟剑课堂精讲（课时1）3 悟剑课堂精讲（课时2）悟剑课堂精讲（课时2）悟剑课堂精讲（课时1）磨剑课前自学目 录 磨剑课前自学高考动态知识3拓展知识查缺补漏目 录知识拓展知识查缺补漏高考动态最新考纲考向分析1. 了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会利用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区间上函数的最大值、最小值.3. 会利用导数解决某些实际问题1. 考查函数的单调性、极值、最值, 利用函数的性质

2、求参数的取值范围; 与方程、不等式等知识相结合命题, 强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识;题型以解答题为主,一般难度较大.2. 重点考查数 算及逻辑推理素养4一、函数的单调性与导数的关系条件结论函数 y=f(x)在区间(a,b)上可导f(x)0f(x)在(a,b)内单调递增f(x)0f(x)在(a,b)内单调递减f(x)=0f(x)在(a,b)内是常数函数5查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录二、函数的极值若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点 x=a 附近的左侧 f(x)0 ,则点 a 叫作函

3、数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数 y=f(x)的极小值.若函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点 x=b 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0.() (2)若函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)=0,则 f(x)在此区间内没有单调性.()(3) 若在(a,b)内,f(x)0 且 f(x)=0 的根有有限个,则 f(x)在(a,b)内单调递减.()(4) 对可导函数 f(x),f(x0)=0 是 x0 为极值点的充要条件.()(5) 函数的极大值一定是函数的最大值.()(6) 开区间上的单调连续函数无

4、最值.()答案9查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录解析(1)错误.若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,则 f(x)0.(2) 正确.若在某区间内恒有 f(x)=0,则在该区间内 f(x)为常数.(3) 正确.因为 f(x)=0 的根有有限个,所以 f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零,故 f(x)在(a,b)内是减函数.(4) 错误.对可导函数 f(x),f(x0)=0 是 x0 为极值点的必要不充分条件.(5) 错误.函数的极值不一定是最值.(6) 正确.由于函数在区间内单调且不能取到端点,故函数无最值.10查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录【基础自测】1. 如图所示的是函数 f

5、(x)的导数 f(x)的图象,则下列判断正确的是( A.在区间(-3,1)上,f(x)单调递增B. 在区间(1,3)上,f(x)单调递减C. 在区间(4,5)上,f(x)单调递增D. 在区间(3,5)上,f(x)单调递减C).答案解析11解析由图象可知,当 x(4,5)时,f(x)0,故 f(x)在(4,5)上单调递增.查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录2. 函数 y=x-ex 的单调递减区间是(A).A.(0,+)B.(-,0)C.(1,+)D.(-,1)解析y=1-ex,令 y=1-ex0,y=x-ex 的单调递减区间是(0,+).答案解析12查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录3. 函数

6、f(x)=x3-3x2+1 在 x=2处取得极小值.解析由题意知 f(x)=3x2-6x=3x(x-2).由 f(x)0,得 x2,由 f(x)0,得 0x0,得 x2 或 x-2;令 f(x)0,得-2x2.4-4 与3.所以 f(x)在(-,-2)和(2,+)上单调递增,在(-2,2)上单调递减.又 f(2)=-4,f(0)=4,f(3)=1,故 f(x)在0,3上的最大值是 4,最小值是-4.33答案解析14查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录【易错检测】5. 函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点

7、,一个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点C).解析由图可知,导函数的图象与 x 轴的四个交点都是极值点,左起第一个答案解析15与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录6. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3,且 f(x)的导数 f(x)满足 f(x)2(xR),则不等式 f(x)2x+1 的解集为 (1,+).解析令 g(x)=f(x)-2x-1,g(x)=f(x)-20,g(x)在 R 上单调递减.g(1)=f(1)-2-1=0,由 g(x)1,答案解析16不等式的解集为(1,+).悟剑课堂精讲（课

8、时2）悟剑课堂精讲（课时1）磨剑课前自学目 录课时1利用导数研究函数的单调性 悟剑课堂精讲17考点探究素养达成高考真题目 录考点探究素养达成高考真题考点1判断或证明函数的单调性考向 1:不含参数的函数的单调性例 1(1)下列函数中,在(0,+)上单调递增的是(B) A.f(x)=sin 2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln x答案(2) 已知函数 f(x)=x2+2cos x,若 f(x)是 f(x)的导函数,则函数 f(x)的图象大致是(A).解析18解析(1)对于 A,f(x)=sin 2x 的单调递增区间是 - 4, + (kZ);4对于 B,f(x)=

9、ex(x+1),当 x(0,+)时,f(x)0,函数 f(x)=xex 在(0,+)上单调递增;对于 C,f(x)=3x2-1,令 f(x)0,得 x 3或 x0,得 0x0(f(x)0,讨论 f(x)在(0,2)上的单调性.4+44 + -4- 2(-) -4解析f(x)=- 2-1= 2=- 2 (0x0).当 0kk0,且42,所以当 x(0,k)时,f(x)0,所以函数 f(x)在(0,k)上单调递减,在(k,2)上单调递增.当 k=2 时,4=k=2,f(x)2 时,04 4 ,所以当 x 0, 4 时,f(x)0,解析21所以函数 f(x)在 0, 4 上单调递减,在 4 ,2 上

10、单调递增.方法总结：研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.22【针对训练1】1. 函数 f(x)=cDA.先增后减C.单调递增D.单调递减解析因为 f(x)=-sin x-10,所以 f(x)在(0,)上单调递减,故选 D.答案解析232.(2020 届四川达州一模)函数 f(x)=log2(x+1)与函数 g(x)=-2x3+3x2 在区间0,1上的图象大致是(A).答案解析24解析由 g(x)=-2x3+3x2,得 g(x)=-6x2+6x,令 h(x)=g(x),得 h(x)=-12x+6,当 0x0,即函数 g(x)=-2x3+3x2 的图象在区间 0,

11、1 上越来越陡峭;22当1x1 时,h(x)0,故 f(x)在(0,+)上单调递增.当 a0 时,f(x)0,故 f(x)在(0,+)上单调递减.当 0a1 时,令 f(x)=0,解得 x= 1-,2则当 x 0, 1- 时,f(x)0.22故 f(x) 在 0, 1-上单调递减,在 1- , + 上单调递增.解析26 22考点2求函数的单调区间考向 1:求不含参数的函数的单调区间例 3(1)函数 y=4x2+1的单调递增区间为(B).A.(0,+)B. 1 , + 2C.(-,-1)D. -,- 1 2(2)(2020 届河北省九校第二次联考)函数 y=x+3+2ln x 的单调递减区间是(

12、B).A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)答案解析27解析(1)由 y=4x2+1,得 y=8x- 1 ,令 y0,即 8x- 1 0,解得 x1, 2 22所以函数 y=4x2+1的单调递增区间为 1 , + .故选 B.2(2)令 y=1- 3 +20,得-3x0,故所求函数的单调递减区间为(0,1).故选 B. 2方法总结：求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x);(3) 在定义域内解不等式f(x)0,得到f(x)的单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f(x)2,令 f(x)=0,得 x=- 2-42或 x= + 2-4.解析2

13、当 x 0,- 2-42 + 2-42, + 时,f(x)0.所以 f(x)在 0,- 2-42 , + 2-42, + 上单调递减,在 - 2-42+ 2-4,2 上单调递增.29方法总结：划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.30【针对训练2】21.函数 f(x)=+1(a0)的单调递增区间是(B).A.(-,-1)B.(-1,1)C.(1,+)D.(-,-1)(1,+)(2)2解析f(x)=(1-2) ,令 f(x)0,解得-1x0,即32-10,解得 x 3.3令 f(x)0,即32-10,解得 0x 3.f(x)的单调递增区间为 33 ,

14、+ ,单调递减区间为 0, 33 .3答案解析32目 录考点探究素养达成高考真题3.(2020 届辽宁高考模拟)已知 a0,设函数 f(x)=2+,讨论 f(x)的单调性.e解析f(x)=-(-1)( +1-).e若 a=0,则 f(x)=-1,当 x0,当 x1 时,f(x)0.e所以 f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.若 a1,所以当 x1-1时,f(x)0,当 1x1-1时,f(x)0.所以 f(x)在(-,1), 1- 1, + 上单调递增,在 1,1- 1 上单调递减.解析33考点3已知函数的单调性求参数的取值范围例 5已知函数 f(x)=ln x-1ax2-2

15、x.2(1) 若函数 f(x)存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)在1,4上单调递减,求实数 a 的取值范围.解析34解析(1)因为 f(x)=ln x-1ax2-2x,x(0,+),所以 f(x)=1-ax-2,x(0,+).2因为 f(x)在(0,+)上存在单调递减区间,所以当 x(0,+)时,1-ax-2 1 -2有解. 2 设 g(x)= 1 -2,所以只要 ag(x)即可. 2而 g(x)= 12-1-1,所以 g(x)minmin=-1,所以 a-1.所以实数 a 的取值范围为(-1,+).35(2) 因为 f(x)在1,4上单调递减,所以当 x1,4

16、时,f(x)=1-ax-20 恒成立,即 a 1 -2恒成立.由(1)知 g(x)= 1 -2= 1 -1 2-1, 2 2 所以 ag(x)max.因为 x1,4,所以1 1 ,1 ,4所以 g(x)=- 7 (此时 x=4),所以 a- 7 ,max1616所以实数 a 的取值范围是 - 716, + .36方法总结：由函数的单调性求参数取值范围的方法:(1) 可导函数f(x)在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0) 恒成立,由此得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,进而求出参数的取值范围;(2) 可导函数f(x)在区间(a,b)上存在单调区间,实

17、际上就是f(x)0(或f(x)0(或f(x)min2,则 f(x)2x+4 的解集为(B).A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)(2)(2020 届安徽省示范高中联考)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f(x),对任意的 xR,有 f(-x)-f(x)=0,且当 x0,+)时,f(x)2x.若 f(a-2)-f(a)4-4a,则实数 a 的取值范围为(A).A.(-,1B.1,+)C.(-,2D.2,+)答案解析40考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由 f(x)2x+4,得 f(x)-2x-40.设 F(x)=f(x)-2x-4,则 F(x)=f(x)-2.因

18、为 f(x)2,所以 F(x)0 在 R 上恒成立,所以 F(x)在 R 上单调递增. 又 F(-1)=f(-1)-2(-1)-4=2+2-4=0,故不等式 f(x)-2x-40 等价于 F(x)F(-1),所以 x-1,故选 B.(2)令 G(x)=f(x)-x2,则 G(x)=f(x)-2x.当 x0,+)时,G(x)=f(x)-2x0,所以 G(x)在0,+)上单调递增.因为 G(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=G(x),所以 G(x)为偶函数,G(x)在(-,0)上单调递减.因为 f(a-2)-f(a)4-4a,所以 f(a-2)-4+4a-a2f(a)-a2,所以 f

19、(a-2)-(a-2)2f(a)-a2,即 G(a-2)G(a),所以|a-2|a|,所以 a1.故选 A.方法总结：一般地,在不等式中若同时含有f(x)与f(x),常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解,再借助导数探索新函数的性质,进而得出结果. 41目 录高考真题考点探究素养达成考向 2:比较大小例 7(1)(2020 届安徽模拟)已知 f(x)=ln,则(D).A.f(2)f(e)f(3)B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e)D.f(e)f(3)f(2)(2)(2020 届南昌调研)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,设函数 f(x)的导函数为

20、 f(x),若对任意 x0 都有 2f(x)+xf(x)0 成立,则(A).A.4f(-2)9f(3)C.2f(3)3f(-2)D.3f(-3)0;当 x(e,+)时,f(x)f(3)f(2).max2636(2)根据题意,令 g(x)=x2f(x),其导数 g(x)=2xf(x)+x2f(x),又对任意 x0 都有 2f(x)+xf(x)0 成立,则当 x0 时,有 g(x)=x 2() + () 0 恒成立,即函数 g(x)在(0,+)上单调递增.又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,则 f(-x)=f(x),g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数 g(x)也

21、为偶函数,g(-2)=g(2),且 g(2)g(3),g(-2)g(3),即 4f(-2)9f(3).故选 A.方法总结：利用题目条件,构造辅助函数,把求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小.43【针对训练4】1.(2020 届河南省九校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的连续函数 f(x)的导函数,若 f(x)-2f(x)0 的解集为(A).A.(-,-1)B.(-1,1)C.(-,0)D.(-1,+)解析设 g(x)=(),则 g(x)=()-2()0,所以 g(x)0,又 g(-1)=0,所以 x-1.答案解析442.(2020 届安徽合肥模拟)设 f(

22、x)和 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,f(x),g(x)分别为其导数,当 x0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)0 的解集是(D).A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)答案解析45解析 令 h(x)=f(x)g(x),当 x0,则 h(x)在(-,0) 上单调递增,又 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 h(x)为奇函数,所以 h(x)在(0,+)上单调递增.又由 g(-3)=0,可得 h(-3)=-h(3)=0,所以当 x-3 或 0x3 时,h(x)0,故选 D.3.

23、 设 f(x),g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当axf(b)g(b)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析令 F(x)=(),则 F(x)=()()-()()0,所以 F(x)在 R 上单调递减.()()2又 ax()().又 f(x)0,g(x)0,所以 f(x)g(b)f(b)g(x).()()()答案解析464.(2020 届武汉模拟)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导数为 f(x),当 x0时,xf(x)-f(x)0,若 a=(e),b=(ln

24、2),c= (-3),则 a,b,c 的大小关系是(D).eln 2-3A.abcB.bcaC.acbD.ca0 时,xf(x)-f(x)0 时,g(x)0.g(x)在(0,+)上单调递减.由 f(x)为奇函数,知 g(x)为偶函数,则 g(-3)=g(3),答案解析47又 a=g(e),b=g(ln 2),c=g(-3)=g(3),g(3)g(e)g(ln 2),故 ca0.(1) 讨论 f(x)在其定义域上的单调性;(2) 当 x0,1时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.解析48解析(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令 f(x)=0,得 x=

25、-1- 4+3,x=-1+ 4+3 ,且 xx ,所以 f(x)=-3(x-x)(x-x ).13231212当 xx2 时,f(x)0;当 x1x0.故 f(x) 在 -, -1- 4+3和 -1+ 4+3 , + 上单调递减, 33在 -1- 4+3 , -1+ 4+3上单调递增. 3349(2)因为 a0,所以 x10.当 a4 时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值.当 0a4 时,x21,由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减,因此,f(x)在 x=x =-1+ 4+3 处取得最大值.

26、23又 f(0)=1,f(1)=a,所以当 0a1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值;当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1a0 时,求函数 f(x)的单调区间.解析(1)当 a=0 时,f(x)=(x+1)ex,所以切线的斜率 k=f(1)=2e.所以 y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为 y-e=2e(x-1),即 2ex-y-e=0.解析51目 录高考真题考点探究素养达成(2)f(x)=(x+1)(ex-a),令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=ln a.当 a=1时,f(x)0 恒成立,所以 f(x)在 R 上单调递增.e当 0a1时,l

27、n a0,得 x-1;由 f(x)0,得 ln ax1时,ln a-1,由 f(x)0,得 xln a;由 f(x)0,得-1xln a,e所以 f(x)的单调递增区间为(-,-1),(ln a,+),单调递减区间为(-1,ln a).综上所述,当 a=1时,f(x)在 R 上单调递增;e当 0a1时,f(x)的单调递增区间为(-,-1),(ln a,+),单调递减区间为(-1,ln a).e52考点探究素养达成高考真题目 录1.(2017 年浙江卷)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是(D).答案解析53解析函数 f(x)先减再增,再减再增

28、,且由增变减时,极值点大于 0,故选 D.考点探究素养达成高考真题目 录2.(2018 年全(1) 若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2) 证明:f(x)只有一个零点.解析(1)当 a=3 时,f(x)=1x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.3令 f(x)=0,解得 x=3-2 3或 x=3+2 3.当 x(-,3-2 3)(3+2 3,+)时,f(x)0;当 x(3-2 3,3+2 3)时,f(x)0,所以 f(x)=0 等价于3+1-3a=0.设g(x)=3 2+x+1-3a,则 g(x)=2( 2+2+3)0,当且仅当 x=0 时 g(x)=0,(22)+1所以 g(x

29、)在(-,+)上单调递增.故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点.又 f(3a-1)=-6a2+2a-1=-6 - 1 2-10,故 f(x)只有一个零点.366355悟剑课堂精讲（课时2）悟剑课堂精讲（课时1）磨剑课前自学目 录课时2利用导数研究函数的极值与最值悟剑课堂精讲56考点探究素养达成高考真题目 录考点探究素养达成高考真题考点1利用导数解决函数的极值问题考向 1:根据图象判断函数的极值例 1(1)设函数 f(x)在 R 上可导,其导数为 f(x),且函数 y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(D).A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极

30、小值 f(1)B. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1)C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2)答案解析57D. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)解析(1)由题图可知,当 x3,此时 f(x)0;当-2x1 时,01-x3,此时 f(x)0;当 1x2 时,-11-x0,此时 f(x)2 时,1-x0.由此可得函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值.58(2)函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象如图所示,则2+2等于(C).12A.89B.109C.169D.289答案解析59解析(2)因为函数 f

31、(x)的图象过原点,所以 d=0.又 f(-1)=0 且 f(2)=0,即-1+b-c=0 且 8+4b+2c=0,解得 b=-1,c=-2,所以函数 f(x)=x3-x2-2x,所以 f(x)=3x2-2x-2.由题意知 x1,x2 是函数 f(x)的极值点,所以 x1,x2 是 f(x)=0 的两个根,所以 x+x =2,xx =-2,所以2+2=(x+x )2-2xx =4+4=16.12312312121 2939方法总结：对于根据图象判断函数极值的情况,先找导数为0的点,再判断导数为0的点左、右两侧的导数符号.60考向 2:求函数的极值例 2(2020 届湖南省十校联考)已知函数 f

32、(x)=ln x-1ax2+x,aR.2(1) 当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2) 令 g(x)=f(x)-(ax-1),求函数 g(x)的极值.解析(1)当 a=0 时,f(x)=ln x+x,则 f(1)=1,所以切点为(1,1).又 f(x)=1+1,所以切线斜率 k=f(1)=2,故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.解析61考点探究素养达成高考真题目 录(2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-1ax2+(1-a)x+1,则 g(x)=1-ax+(1-a)=-2+(1-)+1,2当 a0 时,因为 x0,所以 g(x

33、)0,所以 g(x)在(0,+)上单调递增,函数 g(x)无极值.- 2+(1-)+1 -1 (+1)1当 a0 时,g(x)=-,令 g(x)=0,得 x=,所以当 x 0, 1 时,g(x)0;当 x 1 , + 时,g(x)0 时,函数 g(x)有极大值,极大值为 1 -ln a,无极小值.262目 录考点探究素养达成高考真题方法总结：求函数f(x)极值的步骤:第一步,确定函数的定义域;第二步,求导数f(x);第三步,解方程f(x)=0,求出在函数定义域内的所有根;第四步,列表检验f(x)在f(x)=0的根x0左、右两侧的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那

34、么f(x)在x0处取极小值.63考向 3:已知函数的极值求参数例 3已知函数 f(x)=ex-a(ln x+1)(aR).(1) 求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2) 若函数 y=f(x)在 1 ,1 上有极值,求实数 a 的取值范围.2解析(1)函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ex-.因为 f(1)=e-a,f(1)=e-a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-(e-a)=(e-a)(x-1),即 y=(e-a)x.解析64(2)由题意知,f(x)=ex-.当 a0 时,对于任意 x 1 ,1 ,都有 f(x)0,所以函数 f(x)在 1 ,1 上单调递增,22没有极值,不合题意.当 a0 时,令 g(x)=ex-,则 g(x)=ex+ 0.所以 g(x)在 1 ,1 上单调递增,即 f(x) 22(1) 0,在 1 ,1 上单调递增,所以函数 f(x)在 1 ,1 上有极值,等价于12所 以 e- 0,2解得 eae. 2