平面向量2.2.2---2.2.3.ppt

1、平面向量的线性运算,2.2.2向量的减法运算及其几何意义,2.2.3向量的数乘运算及其几何意义,学习目标： 1.了解相反向量。 2.理解向量减法法则几何意义。 3.通用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差。,重难点： 1.向量减法的运算。（重点） 2.对向量减法法则的理解。（难点） 3.数的减法与向量减法的联系及区别。（易混点）,2020年10月10日星期六4时58分25秒,问题提出,1.用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？,2020年10月10日星期六4时58分25秒,2.向量的加法运算有哪些运算性质？, = = , 与 为相反向量 = , + = + ,( + )

2、+ = +( + ),| | | |,| | | | | |,2020年10月10日星期六4时58分25秒,4.加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那自然也可以相减.因此，两个向量如何进行减法运算，就成为研究的必然.,3.相等向量与相反向量有什么联系和区别？,向量的减法运算及其几何意义,2020年10月10日星期六4时58分25秒,2020年10月10日星期六4时58分25秒,探究一：向量减法的含义,思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎样表示？,思考2：a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？,规定：零向量的相反向量仍是零向量.,（a）=a,a,2020年1

3、0月10日星期六4时58分25秒,思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量ab可以怎样理解？,思考4：两个向量的差还是一个向量吗？,思考5：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b，c，若a+cb，则c等于什么？,定义：aba（b）., + = = ,2020年10月10日星期六4时58分25秒,探究二：向量减法的几何意义,思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量ab？,思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量ab？,2020年10月10日星期六4时58分25秒,思考3：设向量a与b不共线，作 =a， =

4、b，由 + = 可得什么结论？,2020年10月10日星期六4时58分25秒,思考4：设向量 与 不共线，作 = ， = ，以OA、OC为两邻边作平行四边形OADC，则 =ab. 如何理解 = ?,2020年10月10日星期六4时58分25秒,思考5：求作两个向量的差向量也有三角形法则和平行四边形法则，其中三角形法则的作图特点是什么？,起点相同连终点，被减向量定指向.,2020年10月10日星期六4时58分25秒,思考6：向量ab与ba是什么关系？|ab|与|a|b|、|a|b|的大小关系如何？,|ab|a|b|，当且仅当a与b反向时取等号； |ab|a|b|，当且仅当a与b同向时取等号.,a

5、b与ba是相反向量.,2020年10月10日星期六4时58分25秒,思考7：| |与| |有什么大小关系吗？为什么？,思考8：对于非零向量 与 ，向量 与 可能相等吗？,2020年10月10日星期六4时58分25秒,理论迁移,例1 任意画一对非零向量 , ,求作它们的差,2020年10月10日星期六4时58分25秒,巩固练习,如图，已知向量 ， ， ，求作向量 .,2020年10月10日星期六4时58分25秒,a,c,A,C,B,O,例2 （1）在平行四边形ABCD中， + = . A、 B、 C、 D、 （2）化简 + + .,2020年10月10日星期六4时58分25秒,2020年10月1

6、0日星期六4时58分25秒,2020年10月10日星期六4时58分25秒,2020年10月10日星期六4时58分25秒,当堂检测,1.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是（ ）. A、 = B、 = C、 = D、 = ,2.若非零向量 ， 互为相反向量，则下列说法错误的是（ ）. A、 / B、 C、| | | D、 = ,2020年10月10日星期六4时58分25秒,小结作业,1.向量的减法运算与加法运算是对立统一的两种运算，在向量的几何运算的主体内容，二者相互协调和补充.,2.用三角形法则求两个向量的差向量，要注意起点相同的条件，差向量的方向要指向被减向量的终点.这个法则对共线向量也适

7、应.,3.如果ab=c，则a=cb，这是向量运算的移项法则，它与实数运算的移项法则完全一致，体现了数学的和谐美.,作业： P91习题2.2A组：4，6，7.,2020年10月10日星期六4时58分25秒,向量的数乘运算及其几何意义,学习目标： 1.通过实例，理解并掌握向量数乘的定义及其规定。 2.理解两个向量共线的含义。 3.掌握向量数乘的运算法则，会应用运算法则进行有关的运算。,重难点： 1.向量的数乘运算及其几何意义。（重点） 2.向量共线定理的应用。（难点） 3.实数相乘与向量数乘的区别。（易混点）,2020年10月10日星期六4时58分25秒,1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？

8、,2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如33333=53 =15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.,3.已知非零向量 ,如何求作向量 + + 和( )+( )+( )？, = + + , =( )+( )+( ),2020年10月10日星期六4时58分25秒,4.向量 + + 和( )+( )+( ) 分别如何简化其表示形式？, + + 记为 ， ( )+( )+( )记为 .,5.向量 和 与向量a的大小和方向有什么关系？, = + + = , = + + = ,6.设a为非零向量，那么 和 还是向量吗？它们分别与向量 有什么关系？,2020年10

9、月10日星期六4时58分26秒,7.定义：一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作 ，该向量的长度与方向与向量 有什么关系？,（1）| |=| |；,（2）0时, 与 方向相同； 0时, 与 方向相反； =0时, = .,8.如图,设点M为ABC的重心,D为BC的中点,那么向量 与 , 与 分别有什么关系？,2020年10月10日星期六4时58分26秒,9.你认为2（5 ），2 2 ，（+ ） 可分别转化为什么运算？,-2 (5 )= (-25) =-10 ； 2 2 = 2( + )； (3 ) =3 .,10.一般地，设l，m为实数,则l(m ),(l m

10、) , l( b)分别等于什么？,l(m )=(l m) ； (l m) = l m ； l( )= l l .,2020年10月10日星期六4时58分26秒,11.对于向量 （ 0）和 ，若存在实数，使 =l ，则 与 的方向有什么关系？,12.若向量 （ 0）与 共线，则一定存在实数，使 = 成立吗？,13.综上可得向量共线定理：向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.,若a0，上述定理成立吗？,14.若存在实数l ,使 = ，则A、B、C三点的位置关系如何？, = A、B、C三点共线,15.如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？,A,B,P,O,2020年10

11、月10日星期六4时58分26秒,16.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 、 ，以及任意实数l、x、y， l(x y ）可转化为什么运算？,l(x y ）= lx l y ,2020年10月10日星期六4时58分26秒,例1 已知 、 是两个非零向量，判断下列各说法是否正确，并说明 理由。,2 与 方向相同，且2 的模是 的模的2倍； 2 与5 方向相反，且2 的模是5 的模的 2 5 ； 2 与2 是一对相反向量； 与( )是一对相反向量。,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分

12、26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,课堂检测,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2020年10月10日星期六4时58分26秒,已知AM是ABC的边BC上的中线，若 = ， = ，则 等于( ),课下练习,（C） ( + ) （D ） ( + ),（

13、A） ( ) （B） ( ),【解析】选C.如图所示，结合平行四边形法则 易知：,2020年10月10日星期六4时58分26秒,2.若O为ABCD的中心， = ， = ， 则 等于 ( ) A、 B、 C、 D、 ,【解析】选A.如图.设AB、BC的中点分别为E、F，则 = = , = = , = = + = ,3.已知 = + ， = + ， = ， 则( ) A、A、B、D三点共线 B、A、B、C三点共线 C、A、C、D三点共线 D、 B、C、D三点共线 【解析】 选A. = + = + + = + = .,2020年10月10日星期六4时58分26秒,4.如图，在ABC中，AD、BE、C

14、F分别是 BC、CA、AB上的中线，它们交于点G， 则下列各等式中不正确的是( ) A、 B、 C、 D、,【解析】选C.由题意可知G是ABC的重心. 故A、B正确； 故C错误； 又 故D正确.,2020年10月10日星期六4时58分26秒,5.若| |=6， 与 的方向相反，且| |=3，则 =_（用 表示）. 【解析】因为 = （0），所以| |=| |. -6=3，即=- .所以 = =-2 答案：-2 ,6.已知M是ABC的重心，则 =_. 【解析】 答案： ,7.计算：（1）2(3 -2 )+3( +5 )-5(4 - )； （2） 2(2 +8 )-4(4 -2 ).,2020年10月10日星期六4时58分26秒,8.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上且 BN= BD，求证：M、N、C三点共线