命题1修改.ppt

1、如： “明天下雨”符号化为：P “你带伞”符号化为：Q 这两个都是原子命题的符号化 复合命题的符号化： “明天不下雨”符号化为： P “明天下雨并且你带伞”符号化为：P Q “明天下雨或者你带伞”符号化为：P Q “如果明天下雨那么你带伞”符号化为：P Q “明天下雨当且仅当你带伞”符号化为：P Q 还可以继续复合下去，公式可以很长，如： P( ( QR) S) 继续研究真值表、等值演算、推理等等,真值表，如：,【例】 用等值演算验证等值式 p（qr）（pq）r。 证明,（蕴涵等值式）,（蕴涵等值式）,（结合律）,（德摩根律）,（蕴涵等值式）,【例】 如果小张去看电影， 则当小王去看电影时，

2、小李也去。 小赵不去看电影或小张去看电影。 小王去看电影。 所以当小赵去看电影时， 小李也去。 解 设 p： 小张去看电影， q： 小王去看电影， r： 小李去看电影， s： 小赵去看电影。 前提： p（qr）， sp， q 结论： sr,（1） sp 前提引入 （2） s 附加前提引入 （3） p s （1）置换 （4） s （2）置换 （5） p （3）（4）析取三段论 （6） p（qr） 前提引入 （7） qr （5）（6）假言推理 （8） q 前提引入 （9） r （7）（8）假言推理 （10） sr CP,命题逻辑推理如： 构造下面推理的证明，要求写出前提、结论和证明过程。 前提：

3、P Q， Q R ， P， 结论： R,证明： (1) P Q 前提引入 (2) Q R 前提引入 (3) Q R (2)置换 (4) PR (2)(3)假言三段论 (5) P 前提引入 (6) R (4)(5)假言推理,谓词逻辑推理如： 设：F(x)：x是偶数 G(x)：x能被2整除 a：6 前提： x（ F(x) G(x)）， F(a) 结论： G(a) 证明： x（ F(x) G(x)） 前提引人 F(a) G(a) 全称量词消去规则 F(a) 前提引人 G(a) 假言推理,图论如： 七桥问题: 在图中求一条回路，此回路经过每条边一次且仅有一次。 欧拉确定了此问题是不能解的。,在特别指定

4、的范围、时间和空间内，具有唯一确定的真假性的陈述句为命题（proposition）。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个：真与假。 真值为真的命题称为真命题。 真值为假的命题称为假命题。,感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。 陈述句中的悖论不是命题。,说明,4是素数。 x大于y。 充分大的偶数等于两个素数之和。 今天是星期二。 请不要吸烟！ 这朵花真美丽啊！ 我正在说假话。,例1.1 判断下列句子是否为命题。,是，假命题 是，真命题 不是，无确定的真值 是，真值客观存在 是，真值根据具体情况而定。 不是，疑问句 不是，祈使句

5、 不是，感叹句 不是，悖论,命题和真值的符号化,用（大）小写英文字母p,q,r,pi ,qi ,ri 表示命题 用“1”表示真，用“0”表示假,不能被分解成更简单的陈述句，称这样的命题为简单命题或原子命题。 由简单陈述句通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。,第二节 命题联结词,否定联结词： 合取联结词： 析取联结词： 条件联结词： 双条件联结词：,定义1.1否定(negation),设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作p，符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假。,例如：p：哈尔滨是一个大城市。 p：哈尔滨是一个不大城市。 p：哈尔滨不是一个大城

6、市。,陈述句中出现“不是”“并非”“非”“是不对的” 时用否定联接词；,定义1.2合取(conjunction),设p,q为二命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作pq，称作合取联结词，并规定pq为真当且仅当p与q同时为真。,使用合取联结词时要注意的两点： 1、描述合取式的灵活性与多样性。自然语言中的“既又”、“不但而且”、“虽然但是”、“并且”、“也”、 “与” “既又”、 “不但而且”“一面一面”等联结词都可以符号化为。 2、分清简单命题与复合命题。不要见到“与”或“和”就使用联结词。,合取举例,p：我们去看电影。q：房间里有十张桌子。 pq：我们去看电影并且房

7、间里有十张桌子。,在数理逻辑中，关心的只是复合命题与构成复合命题的各原子命题之间的真值关系，即抽象的逻辑关系，并不关心各语句的具体内容。,说明,例1.3 将下列命题符号化,吴颖既用功又聪明。 吴颖不仅用功而且聪明。 吴颖虽然聪明，但不用功。 张辉与王丽都是三好学生。 张辉与王丽是同学。,p: 吴颖用功。 q: 吴颖聪明。 r: 张辉是三好学生。 s: 王丽是三好学生。 t: 张辉与王丽是同学。,(1)pq (2)pq (3)qp (4)rs (5)t,解题要点： 正确理解命题含义。 找出原子命题并符号化。 选择恰当的联结词。,定义1.3析取(disjunction),设p，q为二命题，复合命题

8、“p或q”称作p与q的析取式，记作pq，称作析取联结词，并规定pq为假当且仅当p与q同时为假。,自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的命题有时具有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和排斥或(排异或,不可兼或)。,说明,语句出现： “或”、“要么要么 ”、“或者或者” “不是就是”时， 用析取联结词。 例如： 她或许数学成绩好，或许英语成绩好：PQ P：她数学成绩好. Q：她英语成绩好.,例1.4 将下列命题符号化,张晓静爱唱歌或爱听音乐。 张晓静只能挑选202或203房间。 张晓静是江西人或安徽人。 他昨天做了二十或三十道习题。,设 p：张晓静爱唱歌，q：张晓静爱听音乐。相容

9、或，符号化为 pq 设t：张晓静挑选202房间，u：张晓静挑选203房间。排斥或，符号化为：(tu)(tu) 设r：张晓静是江西人，s：张晓静是安徽人。排斥或，(排斥或联结的两个命题事实上不可能同时为真)或符号化为：(rs)(rs) 原子命题，因为“或”只表示了习题的近似数目。,定义1.4蕴涵（条件）(implication),设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，称作蕴涵联结词,并规定pq为假当且仅当p为真q为假。,说明,pq的逻辑关系表示q是p的必要条件。 q是p的必要条件有许多不同的叙述方式 语句中有：只要p，就q

10、 ；因为p，所以q；p仅当q；只有q才p 除非q才p；除非q，否则非p “如果P则q” 、“q当P” 、 “P是q的充分条件”、“q是P的必要条件”时，用条件联结词。 （P q ）,注 :作为一种规定，当前件p为假时，无论后件q是真是假，pq均为真。也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题pq为假。称为实质蕴含或“善意推定” 。 例如： 只要不下雨，我就骑自行车上班。PQ 只有不下雨，我才骑自行车上班。QP P ：下雨. Q：我骑自行车上班.,例1.5 将下列命题符号化，并指出其真值,如果3+36，则雪是白的。 如果3+36，则雪是白的。 如果3+36，则雪不是白的。 如果3+36，则

11、雪不是白的。,解：令p：3+36，p的真值为1。 q：雪是白色的，q的真值也为1。 pq pq pq pq,1 1 0 1,1 1 0 1,定义1.5等价(two-way-implication)（双条件),设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作pq，称作等价联结词，并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。,说明,“当且仅当”（if and only if） pq的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。 (pq)(qp)与pq的逻辑关系完全一致。,语句出现： “当且仅当”、“充要条件”、“反之亦然”、 “反之”时， 用双条件联结词。 例如： 两个圆的面积相等当且

12、仅当它们的半径相等：PQ P：两个圆的面积相等. Q：两个圆的半径相等.,练习题： 一、判断题： 凡陈诉句都是命题（） 语句3x+5y=0是一个命题。（） 3.命题“如果1+2=3，那么雪是黑的”是真命题。（） 4. 设p,q是两个命题,若p为假、q为真,则pq为真（） 二、填空题： 1、设P：三角形三条边相等；Q：三个角相等则“当三角形三条边相等时三个角相等”的符号化形式为 2、设P:小王走路，Q:小王听音乐，则在命题逻辑中，命题“小王边走路边听音乐”的符号化形式为 ,三、选择题： 1.设P：我将去镇上，Q：我有时间。命题“我将去镇上，当我有时间时”符号化为（） A. PQ B. QP C.P Q D.QP 2.设P：我们划船，Q