2015学年余姚自主招生数学试题

1、2015学年余姚自主招生数学试题一、选择题（共7题，每题5分，共35分）1二次函数的图像如右图所示，则化简二次根式 的结果是（ ）Aa+b B-a-b Ca-b+2c D-a+b-2c2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）A7 B8 C9 D103已知a是方程的一个实数根，则直线不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为

2、5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。A20根 B21根 C24根 D25根5将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）A B C D 6用x表示不大于x的最大整数，则方程的解的个数是（ ）A1 B2 C3 D4 7. 对每个x，y是,三个值中的最小值，则当x变化时，函数y的最大值是（ ）A 4 B 6 C 8 D 二、填空题（共7题，每题5分，共35分）8. 已知，且a0,则= 。9G是ABC的重心，过G的直线交AB于M，交AC于N，则= 。10. 已知a、b、c都是实数，且满足abc,a+b+c=0.那么，的取值范围是

3、。11.在ABC中，AB=AC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为 。12对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作(n2),则= 。 13. 设抛物线的图象与x轴只有一个交点，则= 。14.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 3、 解答题（本题有4小题，共60分）15. （10分）试求实数（ 1），使得方程 的两根都是正整数。16.（12分）如图1, 矩形铁片ABCD的长为, 宽为; 为了要让铁片能穿过直径为的圆孔, 需对铁片

4、进行处理 (规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔); (1)如图2, M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点, 若将矩形铁片的四个角去掉, 只余下四边形MNPQ, 则此时铁片的形状是_, 给出证明, 并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔; (2)如图3, 过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F(不与端点重合), 沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;当BE=DF=时, 判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔, 并说明理由;为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔, 请直接写出线段BE的长度的取值范围 图2图1图317.（14分）喜欢钻研的小亮对75

5、角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75的正弦值呢？经研究，他发现：sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30,于是他大胆猜想：（为锐角）。将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）。如图,锐角为的直角三角形斜边为m，锐角为的直角三角形斜边为n，请你借助图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立。18.（14分）已知菱形ABCD的边长为1ADC=60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边

6、DC、CB的中点求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF的外心为点P猜想验证：如图2猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由自主招生模拟答卷（数学卷） 班级 姓名 学号一、选择题（每小题5分，共35分）题号1234567答案二、填空题（每小题6分，共35分）8 9 10 11 12 13 14 三、解答题（第15题10分，第16题12分，第17、18每题14分

7、，共50分）1516图2图1图317 18重点中学提前招生试卷（数学）答案一、 选择题1. C 2. B 3. D 4.B 5. A 6. C 7. B二、 填空题8. 2 ；9. 1； 10. ；11. （45、45、90）（36、36、108）（36、72、72）（、）；12.； 13. 5796 14.三、 解答题15. ，16. 解：（1）是菱形，如图，过点M作MGNP于点G，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，AMNBPNCPQDMQ，MN=NP=PQ=QM，四边形MNPQ是菱形，能穿过圆孔（2）如图，过点A作AHEF于点H，过点E作EKAD于点K显然AB=a，故沿着与

8、AB垂直的方向无法穿过圆孔，过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，AHF=EKF=90，AFH=EFK，AHFEKF，该直角梯形铁片不能穿过圆孔；17.如图2(a)，原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m，n为相邻两边，其夹角为，得它的面积是mnsin()（其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度）如图2(b)，原来的两个小正方形变成了两个矩形，其面积之和是msinncosmcosnsin与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin()msinncosmcosnsin，化简得sin()sincossincos。18（1）证明：如图1，连接OE、0F，四边形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ADC，AD=DC=BC，COD=COB=AOD=90又E、F分别为DC、CB中点，,点O即为AEF的外心；猜想：外心P一定落在直线DB上理由如下：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI