223向量数乘运算及其几何意义

1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想,（重点）,（重、难点）,如何求作两个非零向量的和向量？,首尾相接首尾连,如何求作两个非零向量的差向量？,首同尾连指被减,问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，那么 它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向 量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向上按照相同的速度 行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是 吗? 你能 用图形表示吗？,位移与

2、速度的关系：,思考1：已知非零向量 ，如何求作向量 和 （ ）（ ） （ ）？,O,A,B,C,O,M,N,P,向量数乘的定义,（ ）（ ）（ ）,思考2：向量 和（ ）（ ）（ ）分别如何简化其表示形式？, 记为3 ， （ ）（ ）（ ）记为3 .,思考4：设 为非零向量，那么 还是向量吗？ 它们分别与向量 有什么关系？,思考5：一般地，我们规定：实数与向量 的积是一个 向量，这种运算叫做向量的数乘.记作 ，该向量的长度 及方向与向量 有什么关系？,（1）| |=| |；,（2）0时, 与 方向相同； 0时, 与 方向相反； =0时, = .,思考6：如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中

3、点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？,向量数乘的运算律及共线向量基本定理,思考1：你认为2（5 ），2 2 ， 可分别转化为什么运算？,-2 (5 )= -10 ； 2 2 = 2( + )； (3 ) =3 ,思考2：一般地，设，为实数，则( )， () ，( )分别等于什么？,=,A,D,E,提升总结：,思考3：对于向量 （ 0）和 ，若存在实数， 使 = ，则向量 与 的方向有什么关系？,思考4：若向量 （ 0）与 共线，则一定存在实数 ，使 = 成立吗？,思考5：综上可得向量共线定理：向量 （ 0）与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 = . 若 ，上述定理成立吗？,共线,一定存

4、在,不成立,思考6：若存在实数，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？,A、B、C三点共线,思考7：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？,思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算， 对于任意向量 、 ，以及任意实数、x、y，(x y ）可转化为什么运算？,(x y ）=x y .,例1.计算 （1）（3）4 ； （2）3（ ）2（ ） ； （3）（2 3 ）（3 2 ）.,2,3,O,例2.如图，已知任意两个非零向量 试作 你能判断A、B、C三点之间的位 置关系吗？为什么？,A,B,C,A、B、C三点共线,解：分别作向量 ，过点A、C作直线AC.观察发 现，不论向量 怎样

5、变化，点B始终在直线AC上，猜 想A、B、C三点共线. 事实上，因为,例3.如图，ABCD的两条对角线相交于点M， 且 = ， = ，试用 , 表示 、 、 和 .,D,3.计算：,2.(2012聊城模拟）在ABC中，已知D是AB边上的一点， ,若 ，则 等于 （ ） A. B. C. D.,A,4.根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明.,简析:（1）平行四边形，一组对边平行且相等.,（2）梯形，一组对边平行且不相等.,（3）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等.,5.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线 段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线.,提示：设 ，,则,一、 的定义及运算律. 向量共线定理.,二、 定