【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 7.2两条直线的位置关系、对称问题配套课件 理 新人教A版

1、第二节 两条直线的位置关系、对称问题,三年2考 高考指数: 1.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式. 2.能够根据两直线的方程判断两条直线的位置关系.,1.两条直线位置关系的判断，两直线的交点、对称问题及距离公式是高考考查的重点； 2.利用数形结合、分类讨论判断两直线的位置关系，利用待定系数法求直线方程等问题是重点，也是难点； 3.题型以选择题和填空题为主，与圆锥曲线交汇时以解答题为主.,1.两条直线的位置关系,k1=k2且b1b2,条件,方程,关系,k1k2=-1,k1k2,k1=k2且b1=b2,【即时应用】 (1)思考：两条直线l1,l2的斜率之积为-1是

2、两直线垂直的什么条件？ 提示:充分不必要条件.由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直.,(2)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和 D(0,a),若l1l2,则a=_； 【解析】l1与l2的斜率分别为 由l1l2可知：a=-2. 答案：-2,(3)直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_. 【解析】由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30= l1l，k1=k=

3、 l2l,k2k=-1,k2= = 答案：,2.两条直线所成的角,l1到l2的角与l2到l1的角中不超过90的角,直线l1与直线l2相交，l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转过的最小的角,【即时应用】 (1)思考:l1到l2的角1与l2到l1的角2有何关系？ 提示:1+2=. (2)已知三条直线l1:y= x-1,l2:y=1,l3:x+y+1=0,l1与l2的夹角 为, l2与l3的夹角为，则+的值为_. 【解析】直线l1:y= x-1的倾斜角为60，l2:y=1的倾斜角为 0,l3:x+y+1=0的倾斜角为135，故=60，=45,+=105. 答案：105,3.距离,【即时应用】 (1

4、)原点到直线x+2y-5=0的距离是_； (2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_； (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_. 【解析】(1)因为 (2)依题设及两点间的距离公式得： 解得：a=8；,(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平 行线间的距离为： 答案：(1) (2)8 (3),直线平行、垂直关系的判断及应用 【方法点睛】 两直线平行、垂直的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； 两直线垂直两直线的斜率之积等于-1；,(2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出

5、斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：,A1A2+B1B2=0,【例1】(1)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)已知过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则 m的值为_； (3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.,【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直， 由两直线垂直是否能得出a=1；(2)可根据两直线平行，斜率相 等，得出一个等式，解方程即可求

6、值；(3)设所求点的坐标为 D(x,y)，利用长方形的性质得出关于x、y的方程组，解方程组 即可得出D点的坐标. 【规范解答】(1)选C.当a=1时，直线x-ay=0可化为x-y=0, 此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直； 当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时，11+1(-a)=0, 解得：a=1,因此，“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要 条件. (2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2， 又因为过A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，所以 解得m=-8. 答案：-8,(3)设D的坐标为(x,y)，因为四边形ABCD为长方形

7、，所以， 即 解得 即点D的坐标为(2,3).,【互动探究】本例(3)中条件不变，试求该四边形的四条边所在的直线方程. 【解析】因为A(0,1)，B(1,0)，所以AB边所在的直线方程为： 即x+y-1=0; 又因为B(1,0)，C(3,2)，所以BC边所在的直线方程为： 即x-y-1=0； 同理可得：CD边所在的直线方程为：x+y-5=0； AD边所在的直线方程为：x-y+1=0.,【反思感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合.,【变式备选】若直线l过点(-1,2)且与直线2

8、x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为_. 【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为:k= 设所求直线的斜率为k， 所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，kk=-1, k= 所求直线方程为y-2= (x+1), 即:3x+2y-1=0.,方法二：由已知,设所求直线l的方程为： 3x+2y+C=0. 又l过点(-1,2),3(-1)+22+C=0, 得:C=-1, 所以所求直线方程为3x+2y-1=0. 答案：3x+2y-1=0,两直线的交点及夹角问题 【方法点睛】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点； 2.过直线A1x

9、+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0),3.应用夹角公式与到角公式时应注意以下两种情况的区别 (1)过A点与l夹角为的直线有两条； (2)过A点到l的角为的直线只有一条.,【例2】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_. (2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件. (3)已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是

10、(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程. 【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；,(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满 足的条件； (3)求直线方程的关键是求点和斜率，利用等腰直角三角形的 性质可求出ABC=45，据此可构造方程求斜率. 【规范解答】(1)方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的 交点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程为： 即x+2y=0；,方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为 x+y+1+(x-y+3)=0， 又因为直线过A(8,-4

11、)，所以8-4+1+(8+4+3)=0，解得: = 所以，所求直线方程为x+2y=0. 答案：x+2y=0,(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当 m=0时，l1的方程为y= l2的方程为x= 两直线相交，此 时，实数m、n满足的条件为m=0，nR；当m0时，两直线 相交， 解得m4，此时，实数m、n满足的条件为m4， nR. (3)直线BC的斜率 直线AC与直线BC垂直， AC边所在的直线方程为y4 (x5)，,即3x2y70. ABC45， kAB5或kAB AB边所在的直线方程为: y4 (x5)或y45(x5)， 即x5y150或5xy290.

12、,【互动探究】本例(1)中的“且也经过点A(8,-4)”改为“与直 线2x-y=0垂直”,求该直线方程. 【解析】方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标 为(-2,1)，又直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率 因此所求直线方程为： 即x+2y=0. 方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为 x+y+1+(x-y+3)=0，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,又因为直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率 即有 解得:= 所以所求直线方程为x+2y=0.,【反思感悟】1.本例(1)是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可

13、以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求的值; 2.本例(2)考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在. 3.本例(3)考查两直线的夹角公式，要注意夹角公式中的绝对值符号，以免漏解.,【变式备选】当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与 l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形? 【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点， 当m0时， 解得：m 且m 又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)， 所以2+3m-40，解得

14、m,当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为 (2,-5)， l1与l2的交点为(1,-1), l2与l3的交点为(2,-2)， 能构成三角形，符合题意. 综上可知：m ,m 且m,距离公式的应用 【方法点睛】 1.两点间的距离的求法 可直接用公式求解 设点A(xA,yA),B(xB,yB)， 特例：ABx轴时，|AB|=|yA-yB| ABy轴时，|AB|=|xA-xB|.,2.点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式. 3.两平行直线间的距离的求法 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转

15、化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式. 【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.,【例3】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是 (1)求a的值； (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件： P是第一象限的点； P点到l1的距离是P点到l2的距离的 P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 若能，求P点坐标；若不能，说明理由.,【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式， 可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；

16、 (2)由点P(x0,y0)满足条件可得出关于x0、y0的方程组， 解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件. 【规范解答】(1)l2为2x-y- =0, l1与l2的距离 a0,a=3. (2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件,则P点在与l1、l2 平行的直线l:2x-y+c=0上且,即c= 或c= 2x0-y0+ =0或2x0-y0+ =0. 若P点满足条件，由点到直线的距离公式有： 即|2x0-y0+3=|x0+y0-1|, x0-2y0+4=0或3x0+2=0. P在第一象限， 3x0+2=0不可能.,由 解得 由 解得 存在P( )同时满足条件.,【反思感悟】在解

17、答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组)，这是很关键的问题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解.,【变式训练】已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0，在坐 标平面内求一点P，使PA=|PB|，且点P到直线l的距离为2. 【解析】设点P的坐标为(a,b). A(4，-3)，B(2,-1)， 线段AB的中点M的坐标为(3，-2)， 线段AB的垂直平分线的方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. 由题意知点P(a,b)在上述直线上，a-b-5=0. 又点P(a,b)到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，,

18、即4a+3b-2=10, 联立可得 所求点P的坐标为(1，-4)或( ).,【变式备选】过点P(-1,2)引一直线，两点A(2,3)，B(-4,5)到 该直线的距离相等，求这条直线的方程. 【解析】方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)的直线方程 为：x=-1，A(2,3)到x=-1的距离等于3，且B(-4,5)到x=-1的距 离也等于3，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k，过点P(-1,2)的直线方程为： y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0， 依题设知： 解上式得：,所以，所求直线方程为：x+3y-5=0； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0. 方法二：

19、依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点 P(-1,2)与AB平行的直线，另一条是过点P及AB中点的直线. 因为A(2,3)，B(-4,5)，所以 因此，过点P与AB平行的直线的方程为： y-2= (x+1),即x+3y-5=0;,又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)， 所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.,对称问题 【方法点睛】 1.对称中心的求法 若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即 2.轴对称的两个公式 若两点M(x1,y1)、N(x2,y2

20、)关于直线l：Ax+By+C=0(A0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连结MN的直线垂直于对称轴l.故有,3.对称问题的类型 (1)点关于点对称；(2)点关于直线对称； (3)直线关于点对称；(4)直线关于直线对称. 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称. 4.对称问题的具体应用 (1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题,当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求; 当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形来解决. (2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题 当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边

21、之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求; 当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形解决.,【例4】求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线 b的方程. 【解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点 的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程 的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对 称点在已知曲线上，即可求得. 【规范解答】方法一：由 解得直线a与l的交点 E(3,-2)，E点也在直线b上.,在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称 点B的坐标为(x0,y0)，

22、 由两点式得直线b的方程为 即 2x+11y+16=0.,方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对称点为 解上式得： 由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则 化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.,【反思感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程，通过求解本题，我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解. 2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程.,【变式训练】 (1)在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4) 的距离之差最大；

23、(2)在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4) 的距离之和最小. 【解析】(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B，连结 AB并延长交l于P，此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.,设B的坐标为(a,b),则kBBkl=-1. 即 3-1,a+3b-12=0, 又由于线段BB的中点坐标为 且在直线l上， 即3a-b-6=0. ,联立，解得a=3,b=3,B(3,3). 于是AB的方程为 即2x+y-9=0, 解 得 所求P点的坐标为(2，5). (2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C，连结AC与l交于 点Q，此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小,设C的坐

24、标为(x,y), 由两点式得直线AC的方程为 即19x+17y-93=0. 所求Q点的坐标为,新定义下的直线方程问题 【创新探究】 【典例】(2012上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)， 定义OP=|x|+|y|，其中O为坐标原点. 对于以下结论：符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2； 设P为直线 x+2y-2=0上任意一点，则OP的最小值为1； 其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号) .,【解题指南】根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为1是假命题.

25、【规范解答】由OP=1，根据新定义得： |x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1(0 x1)， y=-x-1(-1x0)，y=x+1(-1x0)， y=x-1(0 x1),画出图象如图所示：,根据图形得到：四边形ABCD为边长是 的正方形，所以面积 等于2，故正确； 当点P为( ，0)时，OP=|x|+|y|= +01,所以OP的最 小值不为1，故错误； 所以正确的结论有：. 答案：,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：,1.(2012钦州模拟)如图，已知A(4，0)、 B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线 AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反