2006年考研数学一真题及解析

1、年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 2006.分 24 分，共 4 小题，每小题 61填空题：一、.把答案填在题中横线上lim ）1（)x +ln(1x2.=x cos 1 0 x0.未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可本题为 【分析】0)x + ln(1x xxlim 【详解】lim =. 2 =x cos 110 x0 x2x)x (1y2x = y 微分方程 ）2（eCx =y 的通解是.0) x (x本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【分析】原方程等价为 【详解】y d=11，x dyx两边积分得lnln =y，整理得 C +x x1eCx =yx e =

2、C （.C）1= z 是锥面 设）3（ z (022的下侧，则1)xy +. 2 =ydxd1)z 3( +x dz dy 2 +z dy dx 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 本题【分析】：1 =z + ，取上侧，使11221 + xy构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计.算即可22x 1(= z ： 设 【详解】，取上侧，则 1) y +1ydxd1)z 3( +x dz dy 2 +z dy dx =.ydxd1) z 3( +xdzdy 2 +zdydx ydx d1)z 3( +x dz dy 2 +z dy dx +11211而6 =v 6d

3、ydxd1) z 3(+x dz dy 2 +z dy dx d， 2 = z d r dr00r +V1.0 =ydxd1)z 3( +x dz dy 2 +z dy dx 1 资料下载中心弘毅考研您所下载的资料来源于 获取更多考研资料，请访问所以. 2 =ydxd1)z 3( +x dz dy 2 +z dy dx = d 的距离 0 = z 5 +y 4 +x 3 到平面0) (2,1, 点）4（. 2本题直接利用点到平面距离公式 【分析】= dD + Cz + By + Ax000222B + AC +, x ( 其中 .进行计算即可, y.

4、为平面方程 0 =D +Cz +By +Ax 为点的坐标， ) z000d+ 1 4 + 2 0 53【详解】=. 2324 +2+25设矩阵）5（=A21，则E 2 + B =BA 满足B 阶单位矩阵，矩阵 2 为E ，12B=. 2的形式，再用方阵相乘的行C =AXB 或B =XA 或B = AX 将矩阵方程改写为 【分析】.列式性质进行计算即可【详解】由题设，有E 2 = )E A (BBE A，而 4 =E A12 =B. 2 =于是有=1，所以11（ 则， 布 分匀 均的 上 3 0, 间 区从 服均 且 ，立 独互 相 Y与X 量变 机随 设 ） 6= 1 Y ,X maxP1.9

5、.的独立性及分布计算 Y 与X 利用 【分析】具有相同的概率密度 Y 与X 由题设知， 【详解】1,3 x 03= )x ( f.0,其他Xmax P 则Y ,X= 1 P1 Y 1, XP =1 1 Y P()21121=P1 X=3x d=.09资料下载中心弘毅考研您所下载的资料来源于 获取更多考研资料，请访问本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 【评注】则 . 1 = 阴S = 1 Y 1, X P = 1 Y ,X maxP9 S每小题给出的四个选项中，只有一项符合 .分 32 分，共 4 小题，每小题 147二、选择题：.题目要求，把所选

6、项前的字母填在题后的括号内处的 0x 在点x 为自变量x ， 0 )x ( f 0, )x (f 具有二阶导数，且 )x (f =y 设函数）7（，则 0 x 处对应的增量与微分，若 x 在点 )x ( f 分别为y d与y 增量，0(A).y d y 0 (B) .y y d 0(C) . 0 y y d (D) .0 y d )x ( f 0, )x (f 由的图形如 )x (f =y 凹向，作函数 )x (f =y 调增加，曲线时， 0 x 右图所示，显然当.)(，故应选 0 x ) 0x (f =x)d 0x (f =y d y （8设 ）,x ( f则 ， 数 函 续 连 为 )y

7、d1等于 rdr ) sinr , cosr (f4002222（）x dx 1.y )dy ,x (f） B（x 122x0002222(C)y dy 1(D)y 1. x )dy ,x ( f 22y000.本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可 【分析】Y 如右图所示，显然是D 由题设可知积分区域 【详解】型域，则资料下载中心弘毅考研您所下载的资料来源于 获取更多考研资料，请访问22= 原式y dy 12y0.故选（）若级数）9（n a收敛，则级数1=n(A)n. 收敛）B（1) (nn.收敛aa1=n1=na +

8、an 1+nn1+n(C)a a.收敛(D).收敛 1=n1 =n2.可以通过举反例及级数的性质来判定 【分析】a + an 1+n n1+n由 【详解】收敛知 aa收敛，所以级数.) (收敛，故应选21=n1=n1=n或利用排除法：1)( = a 取n1，则可排除选项（），（）；nn1)( = a 取n1.故（）项正确.，则可排除选项（）nn 均为可微函数，且 )y ,x ( 与)y ,x ( f 设）10（,x (在约 )y ,x ( f 是 ) y , x ( ，已知 0 )yy00,x ( 束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 0 = )y(A) . 0 = ) 0y , 0x (y

9、 f ，则 0 = )0y ,0x (xf 若(B) . 0 ) 0y , 0x (yf ，则 0 = )0y ,0x (xf 若(C) . 0 = ) 0y , 0x (yf ，则0 ) 0y , 0x ( xf 若(D) . 0 ) 0y , 0x (yf ，则 0 )0y ,0x (xf 若是对应 0 （) 0 , 0y , 0x ( 在 )y ,x ( + )y ,x (f = ) ,y ,x (F 利用拉格朗日函数 【分析】.的值）取到极值的必要条件即可 的参数 0y , 0x的 的参数 0y , 0x ，并记对应)y ,x ( + )y ,x (f = ) ,y ,x (F 作拉格

10、朗日函数【详解】，则 0 值为资料下载中心弘毅考研您所下载的资料来源于 获取更多考研资料，请访问x ( Fy ,0 = ) ,x ( f, x ( + ) y ,0 = ) yx000即 ，x000x00.x ( Fy ,0 = ) ,0 = ) y , x ( + ) y , x ( fy000y000y00 消去，得0fx ( ) y ,x () y , x ( f) yx ( , 0 = ) y ,x00y00y00x00整理得 f= ) y , x (1f, x ( ) y , x (,x ( （因为. ) y）， 0 )yx00, x (

11、y00x00y) yy00若 .故选（）. 0 ) 0y , 0x (yf ，则0 ) 0y , 0x ( xf 设）11（ ,矩阵，下列选项正确的是n m 为A 维列向量，n 均为 ,12s(A) .线性相关 sA ,2A ,1A 线性相关，则s , 2 , 1 若(B) .线性无关 sA ,2A ,1A 线性相关，则s , 2 , 1 若(C) .线性相关 sA ,2A ,1A 线性无关，则s , , 2 , 1 若(D) .线性无关 sA , , 2A ,1A 线性无关，则s , 2 ,1 若 C.本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定 【分析】 , ( = B 记 【详

12、解】 , A ( ，则 )AA ,.AB = )12s12s 所以，若向量组 )B (r )AB (r ，从而 s )B (P 为随机事件，且B，则必有1 = )B(A)A (P )B A (P(B)B (P )B A (P(C)A (P = )B A (P(D)B (P = )B A (PB.利用事件和的运算和条件概率的概念即可 【分析】)AB (P由题设，知 【详解】= )B |A (P. )A (P = )AB (P ，即1 =)B (P又 . )A (P = )AB (P )B (P + )A (P = )B A (P.)(故应选2 (N 服从正态分布 Y ， )2，且 ) , (N

13、服从正态分布X 设随机变量）14（ ,1122 X YP1 1 12则必有(A) 2121(C) D1212.利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得 【分析】由题设可得 【详解】 X1 Y1P12 121 ，即11 1.2112.是标准正态分布的分布函数 )x ( 其中是单调不减函数，则 )x ( 又11. ，即1221.(A)故选资料下载中心弘毅考研您所下载的资料来源于 获取更多考研资料，请访问.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分 94 小题，共 2315、解答题： 三分） 10 ）（本题满分15（22xy + 1=D 设区域,x ()y+ x1, yx计算二重积分 ， 0.y dx d22D1y + x +轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求x 关于D 由于积分区域 【分析】.积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可轴对称， x 关于D 因为区域.如右图所示D 积分区域 【详解】,x ( f 函数= )y1的偶函数，y 是变量2+2x +1y,x (g 函数= )yxy.的奇函数 y 是变量22x + 1y +则1=y dx