主讲人孙云龙04.ppt

1、第4讲 微分方程建模(动态模型),Email:,数学实验,与,数学建模,微分方程建模(动态模型),随时间(空间)变化的数量关系 微分方程: 含有导数(微分)的方程 例: 人口模型,解,微分方程研究,定量,定性,解有初等函数表达式,数值解: 计算机,稳定性,模型一：传染病模型,问题提出 方法: 机理分析 基本假设: 封闭地区中 总人数 N ,时间 t (天) 模型(一)(SI) 假设 人群: 易感染者(健康人): s(t) 比例 已感染者(病人): i(t) 病人日接触率 感染,建立模型,病人数: 每病人每天使健康者变为病人数: 每天共有 个被新感染者 即: 病人数 的增加率为:,传染病模型,N

2、 i(t),s(t),s(t)N i(t),N i(t),而 s ,t:,s + t =1,模型,Logistic模型,总人数 N、时间 t 比例：健康s(t)、病人i(t) 病人日接触率 ,模型分析, 的作用,传染病模型,此时,t ,i 1,模型改进,tm 1/ ,0,i,1/2,tm,t,i0,0,1/2,i,i(t) t,i=1/2 时， 达到最大,模型(二)(SIS),假设: (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例 (易感染者) (日治愈率) 于是有 1/ 为平均传染期 于是模型变为 N(di/dt) = Nsi - Ni 即:,传染病模型,解:,模型分析,令 = / = (1/) 接

3、触数: 一个传染期间内每病人有效接触的平均人数,传染病模型,1,i,i0,0,i0,t,1,i,i0,0,t,阈值,1 1,模型(三)(SIR),假设: (3)免疫移出者, 比例 r(t) 日接触数 ,日治愈率 传染期接触数 = / 建立模型 s(t)+i(t)+r(t)=1 移出率 模型,传染病模型,模型分析,相 s ,t 原相 t 定义域 (s,i) D D = (s,t)|s0, i0, s+t1 于是消去 dt:,传染病模型,解为,相轨线 t,t(s,i),i,s,0,D,1,1,P1,P2,s0 ,i0 i()=0,证: ds/dt 0, s(t) 0 s() dr/dt 0, r(

4、t) 1 r() 若 i() = 0 t1 有 dr/dt /2 r() = 矛盾,传染病模型,i,s,0,D,1,1,P1,P2,未被感染的健康 s()=s,的解: 相轨线与 s 轴交点横坐标 即: i()=0 时 s s0 1/, P1(s0,i0) s0 1/, P2(s0,i0) 阈值 1/ 提高: 卫生水平 模型验证: 印度孟买 模型应用: 减少 s(t) 减少 = /,传染病模型,i,s,0,D,1,1,P1,P2,模型小结,符号 总人数 N ,时间 t ,健康人s(t),感染者i(t), s+i=1 病人日接触率 ,日治愈率 ,免疫移出 r(t), s+i+r =1 模型(一)(

5、SI): 病人, 健康人,传染病模型,模型(二)(SIS): 病人, 健康人, 治愈者,模型(三)(SIR): 病人, 健康人, 移出者,模型解,传染病模型,模型(一) SI,模型(二) SIS,模型(三) SIR: 相点分析法(s,i),重要参数 健康人s(t),感染者i(t), s+i=1 病人日接触率 ,日治愈率 ,免疫移出 r(t), s+i+r =1 1/ 为平均传染期 传染期接触数 = /,模型二: 人口的预测与控制(一),问题提出 指数模型, 阻滞模型 考虑年龄结构 模型假设 设: 人口分布函数 F(r,t) : 时刻,年龄小于 r 的人口数 人口总数 N(t) ,最高龄 rm

6、F(0,t) ,F(rm ,t) =0 =N(t) 定义:人口年龄密度函数 p(r,t)= F/r 0 (0rrm ) p(rm ,t)=0 时刻 t 年龄 r 的人的死亡率: (r,t) 时刻 t 年龄 r 在 r,r+dr 内单位时间死亡人数 (r,t) p(r ,t)dr,人口模型,目标: 求 p(r,t) 考察 r,r+dr),t,t+dt) t 时刻: r,r+dr)年龄 t+dt: r+dr1 ,r+dr+dr1) dr1=dt 死亡人数 (r,t) p(r ,t)dr 于是有 t t+dt 时人口数变化: p(r ,t)dr - p(r+dr1 ,t+dt)dr = (r,t) p(r ,t)drdt 即 p(r+dr1 ,t+dt) - p(r ,t+dt)dt +p(r ,t+dt) - p(r ,t)dr = -(r,t) p(r ,t)drdt 两边除以 drdt 得,人口模型,模型构造,一阶偏微分方程,定解条件 p(r,0) = p0(r),人口模型,p(0,t) = f(t),已知,婴儿出生率:预