概率模型9.6-航空公司的预定票策略

1、.,航空公司的预定票策略,主讲人：袁仁杰 刘 帅 季泽林,.,问题背景,在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一 个优质服务项目是预订票业务。 开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量 恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按 时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。而 如果不限制预订票数量，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞 机容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不管以 什么方式补救，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减 少、挤掉以后班机的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿 金等。所以航空公司需要综合考虑经济利益

2、和社会声誉，确定预 订票数量的最佳限额。,.,问题重述,问题一：只考虑公司的经济利益，怎样确定航班的预定票数量。 问题二：公司为争取更多的客源只考虑经济利益，对该公司的 长久利益而言，肯定不是最佳的，所以公司还考虑社会声誉问题 ，公司当然希望被挤掉的乘客越少而乘坐的航班的乘客越多，这 种情况下，去确定该航班的预订票数量。,.,问题分析,公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利 润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登机、但因满员不能飞 走的乘客（以下称被挤掉者）限制在一定数量为标准，注意到这 个问题的关键因素-预订票的乘客是否按时前来登机-是随机的 ，所以经济利益和社会声誉两个指标

3、都应在平均意义下衡量，这 是两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的限额。,.,模型假设,1.飞机容量是常量n，机票价格为常数g，飞行费用为常数r，r 与乘客数量无关，机票价格按照g=r/n来制订，其中（n），每位乘客不按时前来登 机的概率为p，且相互独立。 3.每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b。,.,模型建立问题一,公司的经济利益可以用平均利润s来衡量； 每次航班的利润s = 机票收入 （飞行费用+可能发生的赔偿金） 当m位乘客中有k位不按时前来登机时 s= （1） 由假设2，不按时前来登机的乘客数k服从二项分布，概率为 （2）,.,问题一,那么平均利润s（即s的期望） （3） 化简（3）式

4、，并注意到 ， （4） 当给定n, g, r, p时，可以求得m使得s（m）最大。,.,模型建立问题二,2.从社会声誉和经济利益两方面考虑，应该要求被挤掉的乘客 不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客 数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j人的概 率为 ，因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于不能前来登机的乘客 数不能超过m-n-j-1人 综上， 虽 是这个优化问题的两个目标，但是我们可以将 不超过某给定值作为约束条件，以s（m）为单目标函数来求解。,.,模型求解,化为单目标求解，先将（4）式除以r，变为j（m），g=r/n （6） b/g-赔偿金占机票价格的比

5、例. 问题化为,（7）,.,模型求解,模型（6）与模型（7）无法求解析解，我们设定几组数据，给出数值解 （1）当n=300，=0.6，p=0.03，b/g=0.1，0,2和0.4，=0.05时， 计算j（m)和p5（m） matlab程序如下（此程序是b/g=0.1情形，0.2和0.4类似）：,.,结果如表所示(表1),.,从表1可以看出，当m=309时，社会声誉指标p5（309）=0.04420.05, 所以为了使j（m）尽量大，且要满足社会声誉指标小于0.05，则最佳订票数量可取为m=309.,.,画出表1中m和p5(m)的关系图，其matlab程序如下：,.,画出表1中m和j(m) 的关

6、系图，,.,模型求解,（2）当n=150，=0.6，p=0.05，b/g=0.1，0,2和0.4，=0.02时， 计算j（m)和p5（m），程序与（1）类似，结果如表2所示,.,从表2可以看出，当m=309时，社会声誉指标p5（157）=0.01370.02, 所以为了使j（m）尽量大，且要满足社会声誉指标小于0.05，则最佳订票数量可取为m=157.,.,表2中m与p5(m)的关系图如下：,.,表2中m与j(m)的关系 图如下：,.,结果分析,（1）对于所取的n,p, b/g，平均利润j(m)随m的增加，先单调递增（达到最大后）再单调递减，但在最大值附近变化不大，而被挤掉的乘客数超过5的概率

7、 增加的相当快，所以应该参考j(m)的值尽量大，并结合给定约束条件式可接受的 ，确定适合的m. （2）对于一定的n,p,当 b/g有些变化时（如从0.1,0.2到0.4），j(m)变化微小（不超过2.1%，表1和表2），所以，不妨付给被挤掉的乘客以较多的赔偿金，赢得社会声誉. （3）综合考虑经济效益和社会声誉，当n=300, =0.6，p=0.03, b/g=0.1,0.2和0.4时，给定p5（m） 0.05,由表1，则最佳订票数可取m=309；当n=150， =0.6，p=0.05，b/g =0.1,0.2和0.4时，给定 p5（m）0.02，由表2，则最佳订票数可取m=157.,.,对机票预定限额模型的优化：,考虑到不同客源的实际需求，如商业界、文艺界人士喜欢这种无约束条件的预订票业务，他们宁愿接受更高的票价，而不按时前来登机的可能性较大；游客与按时上下班的雇员，会愿意以不按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。所以，航空公司为了降低风险，可以把上述第2类乘客作为基本客源，对他们降低票价，但购票时即付款，不能按时前来登机即机票作废。,.,设预订票数量m中有t张是专门预售给第二类乘客的，其折扣票价为 g（1），当m-t位第1类乘客中有k位不按时前来登机时每次航班的利润s为k位乘客不按时前来登机的概率为,.,平均利润s为 正常票价