小学奥数教程之-整数分拆之最值应用教师版(73)全国通用(含答案)

1、5-2-2. 整数分拆之最值应用教学目标1. 熟练掌握整除的性质；2. 运用整除的性质解最值问题；3. 整除性质的综合运用求最值 .知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2 或5 整除，这个数就能被 2或 5 整除；一个数的末两位能被4或 25 整除，这个数就能被4 或 25 整除；一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就能被8 或 125 整除；2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被 9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11 整除 .4.如果

2、一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、 11 或13 整除，那么这个数能被7、 11或 13 整除 .【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除即如果c a，c b，那么 c (ab)性质 2如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数c 整除，那么a 也能被 c 整除即如果ba，cb，那么 c a用同样的方法，我们还可以得出：性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么a 也能被 b 或 c 整除即如果bc a，那么 b a， c a性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被

3、数c 整除，且数b 和数 c 互质，那么a 一定能被b与 c 的乘积整除即如果 b a， c a，且 (b， c)=1，那么 bc a例如：如果 3 12，4 12，且 (3 ，4)=1 ，那么 (3 4) 12性质 5如果数 a 能被数 b 整除，那么am 也能被 bm 整除如果ba，那么 bmam（m 为非 0 整数）；性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数c 能被数 d 整除，那么ac 也能被 bd 整除如果ba ，且 d c ，那么 bd ac；例题精讲模块一、 2、3、 5 系列【例 1 】要使 15abc6 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么a,b, c 分 是多少？【考

4、点】整除最 之2、 3、5 系列【 度】 3 星【 型】解答【解析】分解 互 的几个数的乘 ，3649 分 考 所以c6 能被 4 整除 ,从而9.要使商最小，a,b 尽可能小，先取a0 ，又 156abc12bc 只可能是 c ，所以31， 3， 5， 7，bc 是 9 的倍数所以b1 ， c5 ，取得最小 .【答案】a0 ， b1 ， c5【例 2 】把若干个自然数 1、 2、 3、 乘到一起，如果已知 个乘 的最末十三位恰好都是零，那么最后出 的自然数最小 是多少？最大是多少？【考点】整除最 之2、 3、5 系列【 度】4 星【 型】解答【解析】乘 末尾的零的个数是由乘数中因数2 和5

5、的个数决定的，有一 2 和5 乘 末尾就有一个零由于相 两个自然数中必定有一个是2 的倍数，而相 5 个数中才有一个5 的倍数，所以我 只要 察因数 5 的个数就可以了551 ，1052 ，1553 ， 20 只有25、50、75、100、 的数中才会出 多个因数54 ，2555 ，305，乘到 55 共出 1156 ， ，213 个因数 5，所以至少 当写到 55，最多可以写到 59【答案】最小 55，最大 59【巩固】把若干个自然数1、2、3、 乘到一起，如果已知 个乘 的最末出 的自然数最小 是多少？最大是多少？53 位恰好都是零，那么最后【考点】整除最 之2、 3、5 系列【 度】4

6、星【 型】解答【解析】 1 到 10 的乘 里会出 25 和 10 两次末尾添零的情况，估算从 200 开始，是 40要 大至220 再增加4 个 0，所以最小的数 是220，而最大 是224【答案】最小的数 是220，而最大 是2248149 个0， 【例 3 】各位数 是0、 1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？【考点】整除最 之2、 3、5 系列【 度】 3 星【 型】解答【解析】被合数整除把225 分解，分 考 能被25 和 9 整除特征。225925 ，所以要求分 能被25 和整除。要能被25 整除，所以最后两位就是00。要能被9 整除，所以所有数字的和是9 的倍数，

7、 了使得位数尽可能少，只能是4 个 2 和 1 个 1， 得到1222200 。9【答案】1222200【例 4 】在 865 后面 上三个数字， 成一个六位数，使它能分 被3、4、5 整除，且使 个数 尽可能的小。【考点】整除最 之2、 3、5 系列【 度】 4 星【 型】解答【解析】方法一： 上数字后的六位数是865abc ，因 个六位数能分 被3、 4、 5 整除，所以它 足以下三个条件：第一：数字和(865abc) 是 3 的倍数；第二：末两位数字 成的两位数bc 是 4 的倍数；第三：末位数字c 是 0 或 5。由以上条件，4| bc ，且 c 只能取 0 或 5，又能被 4 整除的

8、数的个位数不可能是5， c 只能取 0，因而 b 只能取 0， 2， 4， 6，8 中之一。又3| 865ab0 ，且（ 8+6+5）除以 3 余 1， ab 除以 3 余 2。 足 意 “数 尽可能小”，只需取 a0 ， b2 。 要求的六位数是865020。方法二：利用 除法，由于要求最小数，用865000 行 除分 被3、 4、 5 整除，就是被60 整除，865000 60 14416 40 ，所以 86500020 865020 能被 60 整除 要求的六位数是 865020。【答案】 865020模块二、 11 系列【例 5 】由 1，3， 4， 5， 7， 8 六个数字所 成的六

9、位数中，能被【考点】整除最 之11 系列【 度】 3 星【 型】解答11 整除的最大的数是多少？【解析】根据 11 的整除判定特征我 知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要 不妨 奇数位上的数和 a，偶数位上的数和 b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,11 的倍数，我 同 有a-b=0 或a-b=11 或 a-b=22 等情况，根据奇偶性分析自然数a 与 b 的和 偶数，那么差也必 偶数，但是a-b 不可能 22，所以 a-b=0 ，解得 a=b=14 ， 容易排列出最大数875413.【答案】最大数875413【例6 】多位数200920092009736，能被11 整除，

10、n 最小 多少？n个 2009【考点】整除最 之11 系列【 度】 3 星【 型】解答【解析】奇 数 位 数 字 之 和 为 672n ， 偶 数 位 数 字 之 和 为(39n)(672n)7 n10 能被 11 整除， n 最小取 339n， 这 个 多 位 数 被11 整 除 ， 即【答案】n 最小取3【巩固】 20092009200909能被11 整除，那么，n 的最小 多少？n个2009【考点】整除最 之11 系列【 度】3 星【 型】解答【解析】 20092009200909中奇位数减偶位数的差 (92)n97 n9 ，当n5 ，(7 n9) 是11 的倍n个2009数，所以n 的

11、最小 是5.【答案】n 最小 是5模块三、综合系列【例7 】如果一个至少两位的自然数n 足下列性 ：在n 的前面任意添加一些数字，使得得到的新数的数字和 n，但无 如何添加， 得到的新数一定不能被n 整除， 称n 为 “学而思数 ”。那么最小的 “学而思数 ”是。【考点】整除最 之 合系列【 度】3 星【 型】解答【关 】2009年，学而思杯，6 年 【解析】 求最小的 “学而思数 ”n，而且n 至少是两位数，故从最小的两位数10 开始考虑，显然10 不满足条件，接着考虑11，在11 前面添加一些数字构成一个数字和是11 的多位数，这个多位数的奇数位与偶数位的数字和不可能相等，也不可能相差11

12、 的倍数，11 是满足要求的最小的学而思数。【答案】11【例 8 】从 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8、 9 十个数字中 出五个不同的数字 成一个五位数，使它能被3、 5、 7、 13 整除， 个数最大是多少？【考点】整除最 之 合系列【 度】 3 星【 型】解答【解析】本 采用 除法。因 3， 5， 7， 13 的最小公倍数 1365，在100000 之内最大的1365 的倍数 99645(100000 1365=73 355，100000-355=99645) ，但是不符合数字各不相同的条件，于是 减1365依次 找第二大，第三大的数，看是否符合即可。有 99645-13

13、65=98280 ， 98280-1365=96915 96915-1365=95550 95550-1365=94185 所以， 足 意的 5 位数最大 94185【答案】 94185【例 9 】 求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、 13 整除，且各位数字互不相同， 个七位数是多少？【考点】整除最 之 合系列【 度】 4 星【 型】解答【解析】解法一：因 7 11 131001， 999 1001999999 不是七位数， 个七位数是1001 abcdabcd000 abcd，如果 c 不是 9，那么 b 就会重复，所以c9，因 是5 的倍数，所以d 5，要使最大，先假 a 8

14、， b 取 8，5，2 都不符合要求，当 a 7 ， b 取 9，6，3，0 中 3 符合要求，所以最大的是7402395分析 意知， 个七位数是7 11 13 1001 的倍数，根据1001 的特点，解法二 :假 个七位数是abcdefg， 足 abcd efg n00n，很容易得出c0， f 9， b 和 e 相差 1，如果 g 0，那么 ad，所以 g 5。假 a 8，那么 d 3， b 和 e 就是 2， 1 或者 7， 6， 都不符合要求。假 a 7，那么 d 2，b 和 e 就是 4， 3， 好可以。 个七位数是7402395.【答案】7402395【例 10 】某个自然数既能写成

15、9 个 自然数的和， 同 可以写成10 个 自然数的和，也能写成11个 自然数的和，那么 的自然数最小可以是几？【考点】整除最 之 合系列【 度】 4 星【 型】解答【解析】本 所体 的是一个常用小 ，即任意奇数个 自然数的和必定是 个奇数的倍数。任意偶数个 自然数的和必定是 个偶数的一半的倍数，并且除以 个偶数的一半后所得的商 一个奇数。 明方法很 ，以 9 个奇数 例子：我 可以令 9 个奇数 ： a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 他 的和 9a，即 9 的倍数。 对于 10 个自然数，可以 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4， a+5 它 的和 10a+5=5 （ 2a+1），即是 5 的倍数且除以5 后商是奇数。所以本 中要求的数是5， 9，11 的最小公倍数的倍数即495 的倍数，最小 即495.【答案】最小 即495