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1、,典型例题,习 题 课一,主要内容,第十一章 无穷级数,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛

2、法,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,(3) 和函数,二、典型例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数收敛,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,问题:,研究例子:,发散!,收敛!,因而,由性质，,发散.,例 3,A. 绝对收敛,B. 发散,C. 条件收敛,D. 收敛性与a的取值有关,解,与P级数比,解,收敛,解,解,利用达朗贝尔判别法,(为什么？),结论:,证明,注意到等式,设数列 的极限为A ，级数 的 部分和为 ，级数 的部分和为,即,两边取极限：,故级数 收敛。,证明：由于 ，所以,又因为 ，,于是级数 收敛。,注意

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