分数阶传递函数的SIMULINK实现

1、DOI:10.14107/ki.kzgc.2013.06.0012013 年11 月控制工程Nov 2 0 1 3第20卷第6期Control Engineering of ChinaVol 20，No 6文章编号: 1671-7848( 2013) 06-1066-04分数阶传递函数的 SIMULINK 实现郑永军，白伟，薛生虎( 中国计量学院 计量测试工程学院，浙江 杭州310018)摘要: 由于分数阶微积分具有 “无限记忆”的特点，采用分数阶微分方程能够更全面准确的描述系统的动态特性。目前对于由分数阶传递函数所描述的分数阶系统的分析仿真主要是在 MATLAB 的工作空间中完成的，

2、而不能如对整数阶系统的仿真分析可在 SIMULINK 环境下进行。基于分数阶微积分基本理论和 SIMULINK 模块封装技术，设计了一个可在 SIMU-LINK 环境下对分数阶传递函数进行显示、对分数阶系统进行分析的模块。该模块的调用与 SIMULINK 中整数阶传递函数模块的调用类似，具有便捷、直观的特点。通过工程实例验证，所设计的模块对分数阶系统的分析、设计可获得较好的效果。关键词: 分数阶传递函数;分数阶微分算子近似化;SIMULINK; 模块封装中图分类号: TP 27文献标识码: ASIMULINK ealization for Fractional Order Transfer F

3、unctionZHENG Yong-jun，BAI Wei，XUE Sheng-hu( College of Metrology and Measurement Engineering，China Jiliang University，Hangzhou 310018，China)Abstract: The dynamic system can be more accurately described by fractional-order differential equation due to the unlimited memo-ryprinciple of fractional-orde

4、r calculus Unlike the analysis and simulation of integral-order system which are frequently completed in the SIMULINK environment，the same procession for fractional-order systems are mainly realized in MATLAB workspace at present as the absence of corresponding SIMULINK blocks In this paper，a block

5、was designed which can display fractional-order transfer func-tion，thus fractional order system can be analyzed in the SIMULINK environment based on fractional-order calculus theory and SIMU-LINK mask technology This block is used as convenient and intuitionistic as the integral-order one By enginee

6、ring application，it is validated that the designed block is more useful for the design and analysis of fractional-order system Key words: fractional-order transfer function; approximation; SIMULINK; block mask1引言目前大部分用微分方程描述的控制系统都是整数阶的。然而，文献1指出了实际系统通常都是分数阶的。采用分数阶微分方程能更好的揭示对象的特性和行为，之所以将系统考虑为整数阶是因为其复杂

7、性和缺乏相应的数学工具。对于分数阶系统的仿真分析已有诸多学者开发了许多实用程序及工具。文献2给出了一些分数阶控制系统分析仿真的程序，可完成在 MATLAB 工作空间下对分数阶系统传递函数的显示、基本代数运算，阶跃及任意输入的响应的求解、伯德图及尼克尔斯图的绘制。文献3开发了一个基于 SIMULINK 的分数阶微积分算子的整数阶逼近的方法，并设计了相应的SIMULINK 仿真模块。文献4-7从连续和离散的角度对分数阶微积分算子的近似方法进行了比较分析，为分数阶控制系统的分析打下坚实的基础。但是现有分数阶控制系统的仿真分析绝大部分都都是在 MATLAB 工作空间下完成的，而不能像整数阶控制系统那样

8、能在 SIMULINK 环境下进行。基于上述原因，本文在现有理论基础之上，采用 SIMULINK 模块封装技术，设计出一个分数阶传递函数模块，利用该模块，再辅以文献3所开发的模块，便可对分数阶控制系统在 SIMUILINK 环境下实现仿真分析。2 分数阶微积分及分数阶系统分数阶微积分是阶次为任意数的微积分，整数阶微积分是分数阶微积分的特例，分数阶微积分是整数阶微积分的延伸和拓展。连续分数阶微积分算子的定义如下:收稿日期: 2012-06-03;收修定稿日期: 2012-09-11基金项目: 浙江省自然科学基金( LY13A020004)作者简介: 郑永军( 1977-) ，男，浙江宁海人，副教

9、授，主要从事分数阶控制及智能仪表设计研究等方面的教学与科研工作。第 6 期郑永军等:分数阶传递函数的 SIMULINK 实现1067de() 0dta Dte( )( 1)= 1= 0ta ( d)e( ) 0式中，a 和 t 为微分或积分的上下限; 为任意实数。常用的分数阶微积分定义有 Grunwald-Letnikov 定义、iemann-Liouville 定义和 Caputo 定义。本文所采用的分数阶微积分基于 iemann-Liouville 定义。对于 ( 0 1) ，f( t) 是 t 的因果函数，即有当t 0 时，f( t) = 0，则 iemann-Liouville 分数阶

10、积分定义如下:1tD f( t)= ( ) 0 ( t ) 1 f( ) d( 2)D f( t) = ( 11 ) ddt 0t ( t ) 1 f( ) d ( 3) 本文所关心的是上述微积分算子在 S 域内的拉氏变换。因此引入了基于 iemann-Liouville 分数阶微积分定义的分数阶微积分算子的拉氏变换。在零初始条件下分数阶微分的拉氏变换如式( 4) 所示:L D f( t) = s F( s)( 4)当 0 1 时，分数阶微分的拉氏变换如式 ( 5) 所示:L D f( t) = s F( s) D 1 f( t) ( 5)t = 0有了分数阶微积分的定义及其拉氏变换，分数阶控

11、制系统就可以用如式( 6) 所示的分数阶微分方程来描述:bm Dtm y( t) + b1 Dt1 y( t) + b0 Dt0 y( t) =an Dtn x( t) + + a1 Dt1 x( t) + a0 Dt0 x( t)( 6)也可以用式 ( 7 ) 所示的分数阶传递函数来描述:G( s) = XY( ss) =bm sm + bm 1 sm 1 + + b1 s1 + b0 s0( 7)an sn + an 1 sn 1 + a1 s1 + a0 s03 分数阶传递函数近似化1) 分数阶微积分算子近似化 分数阶系统的特征方程一般来说不是一个真正的多项式，它是一个具有复变量的分数阶

12、指数的伪多项式，不能直接应用整数阶系统的一些控制方法。因此用一个有限的微分方程来描述分数阶系统是十分必要的。对分数阶系统进行有理函数的近似化、离散化是研究分数阶系统的主要方法之一。分数阶系统的近似化分为直接近似化和间接近似化两大类，直接近似化一般是将分数阶系统转化为离散的整数阶系统，主要利用 Z 变换来实现。间接近似化是将分数阶传递函数转化为连续的整数阶系统，主要利用拉氏变换来实现。间接近似法一般首先是在连续的频域内选定近似频段，然后再近似成合适的整数阶有理传递函数。这样就可以按整数阶系统的分析方法对分数阶系统进行分析。常用的间接近似法有连分式展开法、Carlson法、Matsuade 法、O

13、ustaloup 法及 Chareff 法等。其中，近似效果较好的要属 Oustaloup 法。Oustaloup法是建立在对形如式( 8) 的传递函数的基础之上。H( s) = s( 8)其近似步骤如下:给定近似频段的范围b ，h及近似阶次 N。根据分数阶微积分的阶次 ，分别由式 ( 9-11) 计算 k 、k 和 K。k = b (h)k + N + ( 1 ) /2( 9)2N + 1bk= b (h)k + N + ( 1 + ) /2( 10)2N + 1bK = b = h ( 11)再由式( 12) 计算出分数阶 Laplace 算 s 的整数阶有理传递函数表示形式;G( s)N

14、1 + s / k( 12)= K k = N 1 + s / k2) 分数阶传递函数的近似 按照上述对对单个分数阶微积分算子的近似方法，对于任意阶分数阶传递函数流程，如图 1 所示。图 1分数阶传递函数的近似流程Fig. 1Approximation flowchart of fractional-ordertransfer function将其近似为与其具有相近频率特性的整数阶传递函数。获取分数阶传递函数中分子多项式的系数及其阶次 a，na、分母多项式的系数和阶次 b，nb。计算分子、分母多项式中微分阶次的整数部分和小数部分，并将小数部分阶次按照前述方法近似为整数阶传递函数。将分子、分母整

15、数多项式的整数阶次与近1068控制工程第 20 卷似出的对应整数阶传递函数相乘。将步骤所得的各项相加并整理即可得到最终的近似整数阶传递函数。为了说明上述近似方法的有效性，在此以文献8中的分数阶系统为例加以说明。按照前述方法可分别将分数阶传递函数及分数阶 PID 控制器进行整数阶近似。由于近似后的传递函数阶次较高，不便于书写排版故在此省略。分数阶系统的实际频域响应和近似整数阶系统的频域响应曲线，如图 2 所示。图 2分数阶系统及其近似整数阶系统的 Bode 图Fig. 2Bode plot of the fractional-order system andapproximated integr

16、al-order system由图可知采用上述近似方法所得到的近似整数阶系统与原分数阶系统具有一致的频域特性。4 分数阶传递函数模块实现在上文中实现了从分数阶传递函数到整数阶传递函数的近似，如若采用 SIMULINK 模块封装技术，即可设计一个分数阶传递函数模块。该模块分为两层，外部主要实现分数阶传递函数的实时显示，如图 3 所示。图 3分数阶传递函数模块Fig. 3Fractional-order transfer function block内部主要实现近似得到的整数阶传递函数的功能。调用该模块时，只需在图 3 所示图中输入分子、分母系数及其阶次，并点击 “OK”按钮后即可实现模块的初始化

17、。初始化过程中，后台程序一方面将分数阶传递函数按前述近似方法近似成相应的分数阶传递函数，另一方面程序还将计算所得的整数阶传递函数分子分母系数传递到模块内部的 num 和 den 2 个变量中，从而使得该模块能够在 SIMULINK 环境下正常工作。5 仿真实例本节还以文献8中所建立的某加热炉的整数阶模型和分数阶模型，并以文献9中对这两种模型设计的整数阶 PID 控制器和分数阶 PID 控制器为例。利用上节设计的分数阶传递函数模块，辅以文献3中的模块可在 SIMULINK 环境下搭建，仿真框图，如图 4 所示。图 4 系统的 SIMULINK 仿真程序Fig. 4SIMULINK simulat

18、ion program第 6 期郑永军等:分数阶传递函数的 SIMULINK 实现1069运行仿真程序，打开仿真框图的显示器即可观察到仿真结果，如图 5 所示。图 5 系统的 SIMULINK 仿真结果Fig. 5Simulation result in SIMULINK如果要在 MATLAB 工作空间下完成对系统的仿真，则需输入大量代码，运行结束后可得，仿真结果，如图 6 所示。图 6MATLAB 工作空间下的仿真结果Fig. 6Simulation result in MATLAB workspace根据分数阶控制系统和整数阶控制系统分别在MATLAB 工作空间和 SIMULINK 环境下

19、的仿真结果而得到的性能指标。其中 W-I、W-II、S-I、S-II 分别表示整数阶系统在工作空间下的仿真结果、分数阶系统在工作空间下的仿真结果、整数阶系统在 SIMULINK 环境下的仿真结果、分数阶系统在 SIM-ULINK 环境下的仿真结果，见表 1。表 1 两种不同环境下系统性能指标比较 Table 1 Performances comparison of the two systems simulated in different environment上升时间峰值时间超调量调节时间tr( s)Tp( s)Mts( s)W-I23 371 957 530 90 324 8113 26

20、4 0W-II29 560 067 100 00 096 1123 460 0S-I23 231 261 114 30 365 4120 769 4S-II29 912 367 183 90 065 1112 167 0由上述仿真例程可知，本文所设计的分数阶传递函数模块在 SIMULINK 环境下，无需繁琐的命令输入操作，能够准确、便捷的以结构化、模块化的框图对分数阶控制系统进行仿真，使得整个过程清晰直观。同时从表 1 中也不难看出，在两种仿真环境下，分数阶系统和整数阶系统的各项性能指标有较好的一致性，这也说明了本文所设计的模块在SIMULINK 环境下对分数阶控制系统进行仿真的可行性和准确性

21、。表 1 也再次证明了采用分数阶控制策略，可达到较为理想的控制系统性能指标。6结语从上文的仿真实例可以看出，本文所设计的分数阶模块能在 SIMULINK 环境下正确的完成对分数阶系统的仿真分析，由于整数阶系统是分数阶系统的特例，所以该模块同样适用于整数阶的仿真分析，同时还可以用于整数阶模型和分数阶模型同时存在的系统的仿真分析。本文所采用的仿真实例均来源于有工程实践中，且用分数阶传递函数描述系统已广泛应用在电机控制、液位控制、导航制导等领域，将本文所设计的模块应用到上述领域可大大提高工作效率。参考文献( eferences) :1Torvik P J ，Bagley L On the appea

22、rance of the f ractional de-rivative in the behavior of real material J Journal of Applied Mechanics，Transaction of the ASMF，1984，51 ( 2) : 294-2982YangQuan Chen，Ivo Petras，Dingyu Xue Fractional order control- a tutorial Hyatt egency iverfront，St Louis，MO，USA， June 10-12，20093 薛定宇，赵春娜，潘峰 基于框图的分数阶非线性

23、系统仿真方法及应用J 系统仿真学报，2006，18 ( 9 ) : 2405-2408( XueDingyu，Zhao Chunna，Pan Feng Fractional-order non-linear system simulation method and its application based on diagramJJournal of System Simulation，2006，18( 8) : 2405-2408 )4齐乃明，宋志国，秦昌茂 基于最优 Oustaloup 的分数阶 PID 控制器参数整定J 控制工程，2012，19 ( 2) : 284-285 ( Qi N

24、aiming，Song Guozhi，Qin Maochang Tunning of fraction order PID controller based on optimal oustaloupJ Control Enginnering China 2012，19( 2) : 284-285 )5B M Vinagre，I Podlubny，A Hernandez，et al Some approxima-tions of fractional order operators used in control theory and appli-cationsJ Fractional Calculus and Applied Analysis，2000，3( 3) : 231 2486 J A Tenreiro Machado Fractional order modelling of fractional-or-der holdsJ Nonlinear Dynamics 2012，70( 1) : 789-7967 I Petras，I Podlubny，P O Leary Analogue realization of fractional order controllersJ Nonlinear Dynamics