56《平面向量》知识点总结

1、基础-综合-能力-创新平面向量基础知识知识点归纳:一. 向量的基本概念与基本运算:1向量的概念:1)向量:既有大小又有方向的量区别于标量与数量.向量一般用来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:几何画图表示法,;坐标表示法向量的大小就是向量的模(即长度)。向量的模(长度),记作|;向量的大小,记作向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小2)零向量:长度为0的向量,记为。其方向是任意的,与任何向量平行,零向量0.由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与数0的区别)3)单位向量:模为1个单位长度的向量与向量

2、同方向的单位向量,记作1,且4)平行向量(共线向量):向量与平行,记作.平行向量的定义有两层:方向相同或相反的非零向量,称为平行向量;与任何向量平行.由于向量可以进行任意的自由平移(即自由向量),因此任意一组平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量.数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.5)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量经过平移后总可以重合.如向量与相等,记为2向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法

3、设,则+=1)向量加法满足交换律与结合律;注意:;2)向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:用平行四边形法则时,两个向量是要共起点,和向量就是从公共起点出发的那条对角线,而差向量则是另一条对角线,方向是从减向量终点指向被减向量的终点三角形法则的特点是“首尾相接”“粘连”,即上一个向量的终点是下一个向量的起点.由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就是这些向量的和;两个向量共起点的前提下,差向量方向是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则,可推广至多个向量相加:,但这时必须“首尾相连”

4、“粘连”的3向量的减法 1)相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有:=;+()=()+=;若、是互为相反向量,则=,=,+=2)向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,记作:求两个向量差的运算,叫做向量的减法3)作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(前提是、有共同起点)4实数与向量的积:1)实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:;当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,方向是任意的与平行.2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律:5两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=6平

5、面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的两个向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7.特别注意:(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算

6、向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中x叫作在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标1)相等的向量,其坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2.平面向量的坐标运

7、算:1)若,则2)若,则特别注意:两点间的距离公式3)若=,则4)若,则5)若,则特殊地,若,则3.向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质三.平面向量的数量积1两个向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=cos,叫做与的数量积(或内积) 规定特别注意:两个向量夹角的定义:1)已知两个非零向量与,作=,=,则AOB=叫做向量与的夹角2)向量与夹角的取值范围是当两个非零向量与同方向时,当与反方向时与其它任何非零向量之间,不谈夹角这一问题2向量的投影:cos=,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影长另注:cos=R3数量积的几何意义:

8、等于的长度即与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:即求模公式为:5公式成立: 1);2)6平面向量数量积的运算律:交换律成立:对实数的结合律成立:分配律成立:特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=还有7两个向量的数量积的坐标表示:已知两个向量,则=8两个非零向量的夹角坐标表示:cos=9垂直:如果与的夹角为, 则称与垂直,记作10两个非零向量垂直的充要条件:O四.平移公式:(一)点的平移:点按向量平移后得(二)图像的平移:函数按向量平移后得到函数即的图象(三)图像平移的几种题型:1.由原图像及平移向量,求新图像2.由新图像及平移向量,求原图像3.由原图像及新图像,