第3章 布尔代数与逻辑函数化简.ppt

1、第3章 布尔代数与逻辑函数化简,3.1 基本公式和法则 3.2 逻辑函数的代数法化简 3.3 卡诺图化简,布尔代数又叫逻辑代数或开关代数，它是英国人乔治布尔(G，Boo1e)于1849年首先建立的。1938年香农(Shannon)才开始将其用于开关电路的设计。到20世纪60年代，数字技术的发展才使布尔代数成为逻辑设计的基础，在数字电路的分析与设计中得到广泛的应用。,在布尔代数中，它把矛盾的一方假定为“1”,另一方假定为“0”，这样就把逻辑问题数学化了，然后利用布尔代数中的一些基本前提及定理，对问题作数学运算便可得到合乎逻辑推理的结果。 由于数字电路采用的是“0”和“l”二进制代码，因此布尔代数

2、也就成了逻辑电路分析和设计的重要数学工具。,布尔代数与普通代数均是以字母A、B、C、X、Y、Z等来表示变量的。但在布尔代数中，这些变量的取值范围仅是“0”和“1”，这些变量称为逻辑变量。,逻辑运算有三种基本运算，即与、或、非。 而一个实际的逻辑电路往往是比较复杂的，是由许多基本运算组成的，即由许多门电路组成。 如何分析它的功能，如何设计出这些电路，还需要我们进一步来讨论布尔代数的一些基本公式和规则。,3.1 基本公式和规则,3.1.1 基本公式,基本公式反映了逻辑运算的一些基本规律，只有掌握了这些基本公式，才能正确地分析和设计出逻辑电路。下表给出了布尔代数常用的基本公式。,1.基本公式和规则,

3、可见，每个定律几乎都是成对出现的，它们互为对偶式，证明一个即可,2. 逻辑代数的基本公式验证用真值表,3. 分配律证明 A+BC = (A+B)(A+C),由表中可知A+BC=(A+B)(A+C) 吸收律1的证明中， 只证第二式： 在吸收律2的证明中， 也只证第二式： A+AB=A(1+B) =A (因为1+B=1) 吸收律3也只证第二式：,（证毕）,（证毕）,（证毕）,4. 吸收律证明,5. 多余项定律证明,6. 多余项定律可推广为,3.1.2 逻辑代数的基本法则,1、代入法则 逻辑等式中的任何变量A， 都可用另一函数Z代替，等式仍然成立。 代入法则可以扩大基本公式的应用范围。,两变量以上的

4、非号不动， 则可得原函数F的对偶式G， 且F和G互为对偶式。 根据对偶法则知原式F成立，则其对偶式也一定成立。 这样，我们只需记忆表3-1基本公式的一半即可，另一半按对偶法则可求出。注意，在求对偶式时，为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号， 否则就要发生错误。 如,逻辑代数的基本法则,将任何一个逻辑表达式中的所有 “”换成“+”，“+”换成“” “0换成“1”，“1”换成“0” 变量不变 变量以上的非号要保留 所得到的表达式就是原函数F 的对偶函数G ，且F和G互为对偶式，这个规则称为对偶规则。,例如：,2. 对偶法则,讨论对偶函数的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。

5、利用对偶规则，我们只需记忆基本公式的一半即可，另一半按对偶法则可求出。,其对偶式为,如不加括号，就变成,显然是错误的。,注意：在求一个函数的对偶函数时，要注意先后顺序，为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号， 否则就要发生错误。,如：,逻辑代数的基本法则,由原函数求反函数，称为反演或求反。摩根定律是进行反演的重要工具。 多次应用摩根定律，可以求出一个函数的反函数。 例 2,求,的反函数,解 用摩根定律求,3. 反演法则,逻辑代数的基本法则,先算第一个大非号,由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较复杂时， 求反过程就相当麻烦。为此，人们从实践中归纳出求反的法则。,逻辑代数的基本法则,将任

6、何一个逻辑表达式中的所有 “”换成“+”，“+”换成“” “0换成“1”，“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量 公共非号(两个或两个以上变量的非号)要保留 那么所得到的表达式就是函数F的反函数 (或称补函数) 。这个规则称为反演规则。,反演法则,逻辑代数的基本法则,反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。,逻辑代数的基本法则,例2 与上面用摩根定律求出结果一样。,例1：,例2：,注意：在运用反演规则求一个函数的反函数时，逻辑运算的优先顺序： 先算括号 与运算 或运算 非运算。 另外，为保持原式的逻辑优先关系， 也要正确使用括号， 否则就要发生错误。 ,逻辑代数的基本法则,

7、证明等式 我们可以通过上述基本公式证明等式的成立。,例 3 用公式证明,异或逻辑的非同或逻辑，用真值表可以证明,用基本公式也能证明。,3.1.3 基本公式应用,解：,得,将此等式推广：在两项组成的与或表达式中，如果其中一项中含有原变量 ，而另一项含有变 ，将这两项的其余因子各自取反，就可得该函数的反函数。,例 4 求 的反函数。,逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示， 每一种函数对应一种逻辑电路。,2. 逻辑函数不同形式的转换,逻辑函数的表 达形式有五种：,与或表达式 或与表达式 与或非表达式 与非-与非表达式 或非-或非表达式,例 5 将函数与或表达式 转换

8、为其它形式。 (1) 将与或式 与非-与非式 解: 将与或式两次取反，利用摩根定律可得,(2) 将与或式 与或非式 首先求出反函数 然后再取反一次即得与或非表达式,逻辑函数不同形式的转换,(3) 或与式 将与或非式用摩根定律展开， 即得或与表达式如下：,(4) 或非-或非式 将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次得或非-或非表达式,逻辑函数不同形式的转换,同一逻辑的五种逻辑图,由此可见，不管是何种形式给出的逻辑函数，总可转换为我们所需要的形式，用相应的逻辑门电路实现。由于“与或”形式物理意义明确，与真值表相对应，且对其相应的基本公式较为熟悉。因此，一般情况下，函数均以“与或”形式给出。,同

9、一逻辑的五种逻辑图,3. 逻辑函数的化简,逻辑函数的化简方法,代数法- 用基本公式化简， 称为代数法化简 卡诺图,逻辑函数的化简，在逻辑设计中是十分重要。,3.2 逻辑函数的代数法化简,逻辑函数的的实现，需要逻辑图(即用逻辑门组成的电路图)。 如： 从式子可看出它是由“与”、“或”、“非”运算组合成的， 故可用“与”门、“或”门和“非”门来实现，如图32所示。,3.2.1 逻辑函数与逻辑图,图 3 2 函数的逻辑图,由于从逻辑问题概括出来的逻辑函数式，不一定是最简式。化简电路，就是为了降低系统的成本，提高电路的可靠性，以便用最少的门实现它们。,逻辑图与逻辑函数有直接关系，函数式越简单，则实现该

10、逻辑函数式所需要的门数就越少，这样既可节省器材，且焊点少，又可提高电路的可靠性。,例如函数,如直接由该函数式得到电路图，则如图3 - 3所示。,图 3 3 F原函数的逻辑图,但如果将函数化简后其函数式为 F=AC+B 只要两个门就够了， 如图3 - 4所示。,图 3 4 函数化简后的逻辑图,由此可看出函数化简的重要性。,逻辑函数化简通常遵循以下几条原则： (1) 逻辑电路所用的门最少； (2) 各个门的输入端要少；,3.2.2 逻辑函数化简的原则,它们之间常常是矛盾的，如门数少，往往性能可靠性就要降低。因此，实际中要兼顾各项指标。为了便于比较，确定化简的标准，我们以门数最少和输入端数最少作为化

11、简的标准。,(3) 逻辑电路所用的级数要少；从速度上来考虑 (4) 逻辑电路能可靠地工作。从可靠性方面来考虑,主要从成本上来考虑,3.2.3 与或逻辑函数的化简,如AB与 ，ABC与 都是相邻关系。 如果函数存在相邻项，可利用吸收定律1， 将它们合并为一项，同时消去一个变量。 ,代数法化简逻辑函数，就是直接运用基本公式将已给逻辑函数化简。因此，我们对基本公式必须熟悉。,相邻项任何两个相同变量的逻辑项， 只有一个变量取值不同(一项以原变量形式出现， 另一项以反变量形式出现)， 我们称为逻辑相邻项(简称相邻项)。,例 6,解,有时两个相邻项并非典型形式， 应用代入法则可以扩大吸收定律1的应用范围。,1. 应用吸收定律 1 化简函数,与或逻辑函数的化简,例 8,解,令,与或逻辑函数的化简,例 9,解,利用等幂律，一项可以重复用几次。,例 10,其中 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。,解,所以,与或逻辑函数的化简,2. 应用吸收定律2、 3,利用它们，可以消去逻辑函数式中某些多余项和多余因子。 若式中存在某单因子项，则包含该因子的其它项为多余项，可消去。如其它项包含该因子的“反”形式， 则该项中的“反”因子为多余变量，可消去。,例 11,解,例 12,解 令 , 则,例 13,解,令,3. 应用多余项定律,